AMC 10 · 2005 · #8

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-circlesarea-rectanglesarea-difference identify-subproblemsarea-differencespatial-visualization ↑ 선수 지식: area-circlesarea-rectangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

가로 $8$ 피트, 세로 $10$ 피트인 욕실 바닥이 한 변의 길이가 $1$ 피트인 정사각형 타일로 덮여 있습니다. 각 타일에는 타일의 네 모서리를 중심으로 하는 반지름 $1/2$ 피트의 흰색 사분원 네 개로 이루어진 무늬가 있습니다. 타일의 나머지 부분은 색칠되어 있습니다. 바닥에서 색칠된 부분은 몇 제곱피트입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$80-20\pi$

(B)

$60-10\pi$

(C)

$80-10\pi$

(D)

$60+10\pi$

(E)

$80+10\pi$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 욕실 바닥은 가로 $8$ 피트, 세로 $10$ 피트이고 $1$피트$\times1$피트 정사각형 타일로 빈틈없이 덮여 있다. 각 타일에는 반지름 $\tfrac12$ 피트인 흰색 사분원이 네 모서리마다 하나씩 있고, 나머지 부분은 색칠되어 있다. 색칠된 부분의 총 넓이를 제곱피트 단위로 구하여라.

주어진 것: 바닥은 가로 $8$ ft, 세로 $10$ ft인 직사각형이다; 바닥은 각각 $1$ ft$\times1$ ft인 똑같은 정사각형 타일로 완전히 덮여 있다; 각 타일에는 반지름 $\tfrac12$ ft인 흰색 사분원이 네 모서리마다 하나씩 있다; 타일에서 흰색이 아닌 부분이 색칠되어 있다; 보기: (A) $80-20\pi$, (B) $60-10\pi$, (C) $80-10\pi$, (D) $60+10\pi$, (E) $80+10\pi$

구하는 것: 바닥 전체에서 색칠된 부분의 총 넓이(제곱피트)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #17 공간 상상하기, #16 관점 바꾸기

바닥 전체를 한 번에 다루기는 벅차므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 개의 쉬운 물음으로 나눈다 — 타일은 몇 개인가, 그리고 타일 하나에서 색칠된 넓이는 얼마인가? 타일 하나에서의 핵심 열쇠는 도구 #17(공간 상상하기)이다. 네 모서리의 사분원을 머릿속에서 미끄러뜨려 하나의 온전한 원으로 모으면, 어색한 네 조각짜리 흰색 영역이 넓이를 구하기 쉬운 원 하나로 바뀐다. 그다음 도구 #16(관점 바꾸기)으로 색칠된 부분을 지름길로 구한다 — 이상한 색칠 모양을 직접 재는 대신 타일 넓이에서 흰색 원을 뺀다. 마지막으로 타일 하나의 색칠 넓이에 타일 개수를 곱해 마무리한다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 1

타일 개수 세기

바닥은 $8$ ft $\times$ $10$ ft이므로 넓이는 $8\times10=80$ 제곱피트이다.
타일 하나는 $1$ ft $\times$ $1$ ft로 정확히 $1$ 제곱피트이므로 바닥에는 타일이 $80$개 들어간다.
모든 타일이 똑같아 보이므로 색칠된 총 넓이는 타일 하나의 색칠 넓이의 $80$배가 된다.

$$8\times10 = 80 \text{ 개}$$

💡 $8\times10$ 직사각형을 $1\times1$ 정사각형으로 채우면 그 개수는 그냥 $8\times10$개다.

#17 공간 상상하기 4.NF.B.4 단계 2

사분원을 모아 원 하나로 만들기

타일 하나에는 반지름 $\tfrac12$인 흰색 사분원이 네 모서리에 하나씩, 모두 넷 있다.
사분원 넷은 온전한 원 하나가 된다: $4\times\tfrac14 = 1$.
네 모서리 조각을 미끄러뜨려 모으는 모습을 상상하면, 반지름 $\tfrac12$인 온전한 원 하나로 맞춰진다.
따라서 한 타일의 흰색 총량은 정확히 반지름 $\tfrac12$인 원 하나다.

$$4\times\dfrac14\text{ 원} = 1\text{ 개의 온전한 반지름 }\tfrac12\text{ 원}$$

💡 무엇이든 사분의 넷을 모으면 다시 하나의 온전한 것이 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 3

한 타일의 흰색 넓이 구하기

원의 넓이는 $\pi r^2$이다.
여기서 반지름은 $r=\tfrac12$이므로 흰색 원의 넓이는 $\pi\left(\tfrac12\right)^2 = \pi\cdot\tfrac14 = \dfrac{\pi}{4}$ 제곱피트이다.
이것이 타일 하나의 흰색 넓이다.

$$\pi r^2 = \pi\left(\tfrac12\right)^2 = \dfrac{\pi}{4}$$

💡 반지름을 $\pi r^2$에 넣으면 되고, 반지름을 반으로 줄이면 넓이는 사분의 일이 된다.

#16 관점 바꾸기 7.G.B.4 단계 4

한 타일의 색칠된 넓이

색칠된 영역은 타일에서 흰색이 아닌 모든 부분이다.
그 곡선 모양을 직접 재는 대신, 타일 전체에서 흰색을 빼면 된다.
타일 넓이는 $1$ 제곱피트, 흰색 넓이는 $\dfrac{\pi}{4}$이므로 타일 하나의 색칠된 넓이는 $1-\dfrac{\pi}{4}$이다.

$$1 - \dfrac{\pi}{4}$$

💡 색칠된 부분은 타일 전체에서 그 안의 흰색 원을 뺀 것이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 5

바닥 전체로 확장하기

타일 하나의 색칠 넓이에 타일 $80$개를 곱한다.
$80$을 두 항에 분배하면 $80\times1 = 80$이고 $80\times\dfrac{\pi}{4} = 20\pi$이다.
따라서 색칠된 총 넓이는 $80-20\pi$ 제곱피트이고, 이는 보기 (A)이다.

$$80\left(1-\dfrac{\pi}{4}\right) = 80-20\pi \quad\Rightarrow\quad \textbf{(A)}$$

💡 똑같은 타일 $80$개는 타일 하나의 색칠 넓이의 $80$배를 뜻한다.

[1] #7 3.MD.C.7 바닥은 $8$ ft $\times$ $10$ ft이므로 넓이는 $8\times10=80$ 제곱피트이다. 타일 하나는 $1$ ft $\times$

[2] #17 4.NF.B.4 타일 하나에는 반지름 $\tfrac12$인 흰색 사분원이 네 모서리에 하나씩, 모두 넷 있다. 사분원 넷은 온전한 원 하나가 된다: $4\tim

[3] #7 7.G.B.4 원의 넓이는 $\pi r^2$이다. 여기서 반지름은 $r=\tfrac12$이므로 흰색 원의 넓이는 $\pi\left(\tfrac12\right)

[4] #16 7.G.B.4 색칠된 영역은 타일에서 흰색이 아닌 모든 부분이다. 그 곡선 모양을 직접 재는 대신, 타일 전체에서 흰색을 빼면 된다. 타일 넓이는 $1$ 제곱

[5] #7 6.EE.A.3 타일 하나의 색칠 넓이에 타일 $80$개를 곱한다. $80$을 두 항에 분배하면 $80\times1 = 80$이고 $80\times\dfrac{

검토

합리성 확인: 크기를 확인하자. $\dfrac{\pi}{4}\approx0.785$이므로 타일 하나의 색칠 넓이는 약 $1-0.785=0.215$ 제곱피트이고, $80\times0.215\approx17.2$ 제곱피트가 된다. 공식으로는 $80-20\pi\approx80-62.8=17.2$로 일치한다. 이 값은 $80$보다 작은 양수인데, 색칠된 부분은 바닥 전체보다 작아야 하므로 타당하다. '$+$'가 붙은 (D)와 (E)는 $80$보다 크므로 $80$ 제곱피트 바닥의 일부일 수 없어 곧바로 버릴 수 있다. 보기 (C) $80-10\pi$는 타일마다 반원이 아니라 온전한 원을 빼야 한다는 점을 놓친 데서 나오고, 보기 (B) $60-10\pi$는 바닥과 원의 크기를 모두 잘못 잡은 것이다.

대안 접근: 흰색 총량을 먼저 구하고 마지막에 한 번만 빼는 방법도 있다. 타일마다 넓이 $\dfrac{\pi}{4}$인 원 하나가 숨어 있고 타일이 $80$개이므로 흰색 총 넓이는 $80\times\dfrac{\pi}{4}=20\pi$이다. 바닥 전체는 $80$ 제곱피트이므로 색칠된 넓이는 $80-20\pi$ — 마지막에 뺄셈 한 번으로 같은 답 (A)가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

3.MD.C.7 Relate area to multiplication and addition operations (바닥 넓이와 타일 개수를 $8\times10=80$으로 구하기.)
4.NF.B.4 Apply and extend understanding of multiplication to multiply a fraction by a whole number (사분원 넷이 온전한 원 하나로 모인다는 것($4\times\tfrac14=1$)을 알아채기.)
7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (흰색 원의 넓이 $\pi(\tfrac12)^2=\tfrac{\pi}{4}$를 계산하고 타일에서 빼서 색칠된 넓이를 구하기.)
6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions ($80$을 $1-\tfrac{\pi}{4}$에 분배해 $80-20\pi$를 얻기.)

⭐ 모서리의 사분원 넷은 온전한 원 하나가 되므로 타일마다 흰색으로 $\tfrac{\pi}{4}$를 잃고, 타일 $80$개 전체에서 색칠된 바닥은 $80-20\pi$ 제곱피트다.