AMC 10 · 2005 · #8

학년 7 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid
area-circlesarea-rectanglesarea-difference identify-subproblemsarea-differencespatial-visualization ↑ 선수 지식: area-circlesarea-rectangles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
욕실 바닥은 가로 8 피트, 세로 10 피트이고 1피트×1피트 정사각형 타일로 빈틈없이 덮여 있다. 각 타일에는 반지름 1/2 피트인 흰색 사분원이 네 모서리마다 하나씩 있고, 나머지 부분은 색칠되어 있다. 색칠된 부분의 총 넓이를 제곱피트 단위로 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$80-20\pi$
(B)
$60-10\pi$
(C)
$80-10\pi$
(D)
$60+10\pi$
(E)
$80+10\pi$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

바닥 전체를 한 번에 다루기는 벅차므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 개의 쉬운 물음으로 나눈다 — 타일은 몇 개인가, 그리고 타일 하나에서 색칠된 넓이는 얼마인가? 타일 하나에서의 핵심 열쇠는 도구 #17(공간 상상하기)이다. 네 모서리의 사분원을 머릿속에서 미끄러뜨려 하나의 온전한 원으로 모으면, 어색한 네 조각짜리 흰색 영역이 넓이를 구하기 쉬운 원 하나로 바뀐다. 그다음 도구 #16(관점 바꾸기)으로 색칠된 부분을 지름길로 구한다 — 이상한 색칠 모양을 직접 재는 대신 타일 넓이에서 흰색 원을 뺀다. 마지막으로 타일 하나의 색칠 넓이에 타일 개수를 곱해 마무리한다.

1STEP 1

타일 개수 세기

바닥은 8×10 = 80 제곱피트이고 타일 하나가 1 제곱피트이므로 똑같은 타일이 80개 있다.

8×10 = 80 개
2STEP 2

사분원을 모아 원 하나로 만들기

네 모서리의 사분원을 모으면 반지름 1/2인 온전한 원 하나가 되고, 그것이 타일의 흰색 전부다.

4×1/4 원 = 1 개의 온전한 반지름 1/2 원
3STEP 3

한 타일의 흰색 넓이 구하기

원의 넓이는 π r²이므로 r = 1/2일 때 한 타일의 흰색 넓이는 π(1/2)² = π/4 제곱피트다.

π r² = π(1/2)² = π/4
4STEP 4

한 타일의 색칠된 넓이

곡선 모양을 직접 재지 말고 빼자. 타일이 1 제곱피트이므로 색칠된 넓이는 1-π/4이다.

1 - π/4
5STEP 5

바닥 전체로 확장하기

타일 80개를 곱하고 분배하면 80×1 = 80, 80×π/4 = 20π이므로 80-20π 제곱피트, 보기 (A)이다.

80(1-π/4) = 80-20π → (A)
정답
80-20π
크기를 확인하자. π/4≈0.785이므로 타일 하나의 색칠 넓이는 약 1-0.785=0.215 제곱피트이고, 80×0.215≈17.2 제곱피트가 된다. 공식으로는 80-20π≈80-62.8=17.2로 일치한다. 이 값은 80보다 작은 양수인데, 색칠된 부분은 바닥 전체보다 작아야 하므로 타당하다. '+'가 붙은 (D)와 (E)는 80보다 크므로 80 제곱피트 바닥의 일부일 수 없어 곧바로 버릴 수 있다. 보기 (C) 80-10π는 타일마다 반원이 아니라 온전한 원을 빼야 한다는 점을 놓친 데서 나오고, 보기 (B) 60-10π는 바닥과 원의 크기를 모두 잘못 잡은 것이다.
💡핵심 정리

모서리의 사분원 넷은 온전한 원 하나가 되므로 타일마다 흰색으로 π/4를 잃고, 타일 80개 전체에서 색칠된 바닥은 80-20π 제곱피트다.

  • 타일 개수 세기
  • 사분원을 모아 원 하나로 만들기
  • 한 타일의 흰색 넓이 구하기
  • 한 타일의 색칠된 넓이
  • 바닥 전체로 확장하기

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