AMC 10 · 2006 · #12

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-circlescircular-sectorspatial-visualization area-difference ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

개를 한 변이 16 ft인 정사각형 창고 바깥쪽에 8 ft짜리 밧줄로 묶는다. 배치 I은 한 변의 중점에 밧줄을 묶고, 배치 II는 같은 변에서 한 모서리로부터 4 ft 떨어진 지점에 묶는다. 밧줄은 벽을 통과할 수 없다. 어느 배치가 개가 돌아다닐 넓이를 더 크게 하며, 몇 제곱피트만큼 더 큰지 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$I,\,\textrm{ by }\,8\pi$

(B)

$I,\,\textrm{ by }\,6\pi$

(C)

$II,\,\textrm{ by }\,4\pi$

(D)

$II,\,\textrm{ by }\,8\pi$

(E)

$II,\,\textrm{ by }\,10\pi$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 밧줄이 벽에 막혀 어떤 영역을 쓸 수 있는지에 관한 것이므로 도구 #1(그림 그리기)이 자연스러운 출발점이다. 묶은 지점, 벽, 팽팽한 밧줄이 그리는 호를 그려 본다. 핵심 아이디어 — 모서리 근처에 묶인 밧줄이 모서리를 감아 돈다는 것 — 은 공간적 관찰(도구 #17)이고, 밧줄이 감기고 나면 돌아다니는 영역이 큰 호와 작은 나머지 호로 나뉘므로 이는 깔끔한 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 분해가 된다. 각 조각이 원의 일부이므로, 두 배치를 비교하는 일은 π의 배수를 더하고 비교하는 문제로 줄어든다.

1STEP 1

배치 I: 깔끔한 반원

벽 중점의 8 ft 밧줄은 두 모서리에 딱 닿아 감을 여유가 없다. 반지름 8인 반원, 32π.

A_I = 1/2π (8)² = 1/2π · 64 = 32π ft²

2STEP 2

배치 II: 먼저 같은 반원

모서리에서 4 ft 떨어져 묶어도 벽 바깥 반원은 그대로다. 여전히 반지름 8인 반원, 32π.

1/2π (8)² = 32π ft²

3STEP 3

밧줄이 가까운 모서리를 감아 돈다

가까운 모서리는 4 ft, 밧줄은 8이라 남은 4 ft가 모서리를 감아 반지름 4인 사분원을 쓴다: 4π.

1/4π (4)² = 1/4π · 16 = 4π ft²

4STEP 4

배치 II를 합산해 비교하기

배치 II는 32π + 4π = 36π, 배치 I은 32π. 공통 반원이 상쇄되어 남는 차이는 감아 돈 사분원 4π다.

A_II = 32π + 4π = 36π; A_II - A_I = 36π - 32π = 4π → (C)

정답

II, by 4π

경계 상황의 논리를 점검하자. 배치 I에서는 밧줄 길이(8)가 각 모서리까지의 거리(8)와 같아서 밧줄이 여유 없이 모서리에 도달한다 — 감김 없이 순수한 32π이며, 바로 이 경계 때문에 배치 I은 추가 영역을 얻지 못한다. 배치 II에서는 묶은 지점이 가까운 모서리에서 4 ft, 8보다 확실히 작아 반드시 감기고, 남은 4 ft는 원래 8보다 작으므로 보너스 호의 반지름이 더 작은 4이다 — 그래서 사분원 넓이는 큰 조각이 아니라 4π뿐이다. 반대 모서리(12 ft)는 닿지 않아 두 번째 보너스는 없다. 두 배치 모두 동일한 32π 앞쪽 반원을 공유하므로 승부는 오직 그 4π 감김 하나로 갈린다 — 배치 II가 4π만큼 이기며 (C)와 일치한다. 함정 선택지 (D) 8π와 (E) 10π는 더 큰 보너스 호나 두 번째 호를 상상해 과대 계산한 것이다.

💡핵심 정리

밧줄이 자기 길이보다 모서리에 더 가깝게 묶이면 모서리를 감아 돌고, 남은 밧줄이 여분의 호를 그린다 — 여기서는 그 사분원 하나가 바로 4π의 차이 전부다.

배치 I: 깔끔한 반원
배치 II: 먼저 같은 반원
밧줄이 가까운 모서리를 감아 돈다
배치 II를 합산해 비교하기

배치 I: 깔끔한 반원

배치 II: 먼저 같은 반원

밧줄이 가까운 모서리를 감아 돈다

배치 II를 합산해 비교하기

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