AMC 10 · 2006 · #12

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-circlescircular-sectorspatial-visualization area-difference ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

Rolly는 각 변의 길이가 16피트인 정사각형 헛간에 8피트짜리 밧줄로 자신의 개를 묶어 두려고 한다. 그의 예비 도면이 아래에 나와 있다.

이 배치들 중 개가 돌아다닐 수 있는 넓이가 더 큰 것은 무엇이며, 몇 제곱피트만큼 더 큰가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$I,\,\textrm{ by }\,8\pi$

(B)

$I,\,\textrm{ by }\,6\pi$

(C)

$II,\,\textrm{ by }\,4\pi$

(D)

$II,\,\textrm{ by }\,8\pi$

(E)

$II,\,\textrm{ by }\,10\pi$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정사각형 창고(한 변 $16$ ft)에 개를 $8$ ft짜리 밧줄로 묶는다. 배치 I은 한 변의 한가운데에 밧줄을 묶고, 배치 II는 한 모서리에서 $4$ ft 떨어진 지점에 묶는다. 어느 배치가 개가 돌아다닐 넓이를 더 크게 해 주는지, 그리고 몇 제곱피트만큼 더 큰지 구하라.

주어진 것: 정사각형 창고, 각 변 $16$ ft; 밧줄 길이 $8$ ft, 벽 바깥쪽에 묶임; 배치 I: 한 변의 중점에 묶음 (그 변의 두 모서리로부터 각각 $8$ ft); 배치 II: 한 모서리에서 $4$ ft 떨어진 곳에 묶음 (반대 모서리로부터는 $12$ ft); 선택지는 두 영역의 차이를 $\pi$의 배수로 비교: (A) I이 $8\pi$만큼, (B) I이 $6\pi$만큼, (C) II가 $4\pi$만큼, (D) II가 $8\pi$만큼, (E) II가 $10\pi$만큼

구하는 것: 배치 I에서 개가 돌아다니는 넓이; 배치 II에서 개가 돌아다니는 넓이; 어느 쪽이 더 크고 그 차이는 몇 제곱피트인지

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #17 공간 상상하기

이 문제는 밧줄이 벽에 막혀 어떤 영역을 쓸 수 있는지에 관한 것이므로 도구 #1(그림 그리기)이 자연스러운 출발점이다. 묶은 지점, 벽, 팽팽한 밧줄이 그리는 호를 그려 본다. 핵심 아이디어 — 모서리 근처에 묶인 밧줄이 모서리를 감아 돈다는 것 — 은 공간적 관찰(도구 #17)이고, 밧줄이 감기고 나면 돌아다니는 영역이 큰 호와 작은 나머지 호로 나뉘므로 이는 깔끔한 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 분해가 된다. 각 조각이 원의 일부이므로, 두 배치를 비교하는 일은 $\pi$의 배수를 더하고 비교하는 문제로 줄어든다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1

배치 I: 깔끔한 반원

밧줄은 $16$ ft 벽의 중점에 묶여 있으므로, 그 벽의 두 모서리는 각각 정확히 $8$ ft 떨어져 있다 — 밧줄 길이와 같다.
팽팽한 밧줄은 남는 길이 없이 딱 모서리에 닿으므로 모서리를 감아 돌지 못한다.
개는 벽에 대고 반지름 $8$인 반원을 쓴다.

$$A_I = \tfrac{1}{2}\pi (8)^2 = \tfrac{1}{2}\pi \cdot 64 = 32\pi \text{ ft}^2$$

💡 벽이 원의 뒤쪽 절반을 막으므로, 개는 반지름 $8$인 원의 정확히 절반을 얻는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

배치 II: 먼저 같은 반원

이제 밧줄은 한 모서리에서 $4$ ft 떨어진 곳에 묶여 있다.
감기기 전에 벽 바깥으로 곧게 뻗으면 개는 여전히 벽을 따라 반지름 $8$인 반원을 쓴다 — 앞과 같은 $32\pi$이다.
이것이 첫 번째 작은 문제다.

$$\tfrac{1}{2}\pi (8)^2 = 32\pi \text{ ft}^2$$

💡 묶은 지점을 벽을 따라 옮겨도 그 벽에 대고 쓰는 반원은 변하지 않는다 — 반지름 $8$인 반원은 반지름 $8$인 반원이다.

#17 공간 상상하기 7.G.B.4 단계 3

밧줄이 가까운 모서리를 감아 돈다

묶은 지점은 가까운 모서리에서 $4$ ft뿐인데 밧줄은 $8$ ft이다.
그래서 밧줄은 $8 - 4 = 4$ ft를 남기고 그 모서리에 닿은 뒤, 모서리를 감아 돌아 그곳을 축으로 회전한다.
남은 $4$ ft가 창고 위쪽으로 반지름 $4$인 사분원을 쓴다 — 완전히 새로운 영역이다.
(반대 모서리는 $12$ ft로 $8$ ft 밧줄보다 멀어서 그쪽에서는 감기지 않는다.)

$$\tfrac{1}{4}\pi (4)^2 = \tfrac{1}{4}\pi \cdot 16 = 4\pi \text{ ft}^2$$

💡 밧줄이 모서리를 감싸는 순간 그 모서리가 새로운 회전축이 되고, 남은 길이가 그 둘레로 새 호를 그린다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.EE.A.1 단계 4

배치 II를 합산해 비교하기

배치 II의 넓이는 반원과 감아 돈 사분원의 합이다.
이를 배치 I과 비교한다.
두 넓이가 모두 $\pi$의 배수이므로 빼는 것은 동류항을 정리하는 일일 뿐이다.

$$A_{II} = 32\pi + 4\pi = 36\pi;\quad A_{II} - A_I = 36\pi - 32\pi = 4\pi \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 두 영역 모두 $32\pi$ 반원을 공유하므로, 추가로 감아 돈 사분원($4\pi$)이 바로 배치 II가 얼마나 더 넓은지를 나타낸다.

[1] #1 7.G.B.4 밧줄은 $16$ ft 벽의 중점에 묶여 있으므로, 그 벽의 두 모서리는 각각 정확히 $8$ ft 떨어져 있다 — 밧줄 길이와 같다. 팽팽한 밧줄

[2] #7 7.G.B.4 이제 밧줄은 한 모서리에서 $4$ ft 떨어진 곳에 묶여 있다. 감기기 전에 벽 바깥으로 곧게 뻗으면 개는 여전히 벽을 따라 반지름 $8$인 반

[3] #17 7.G.B.4 묶은 지점은 가까운 모서리에서 $4$ ft뿐인데 밧줄은 $8$ ft이다. 그래서 밧줄은 $8 - 4 = 4$ ft를 남기고 그 모서리에 닿은 뒤

[4] #7 7.EE.A.1 배치 II의 넓이는 반원과 감아 돈 사분원의 합이다. 이를 배치 I과 비교한다. 두 넓이가 모두 $\pi$의 배수이므로 빼는 것은 동류항을 정리

검토

합리성 확인: 경계 상황의 논리를 점검하자. 배치 I에서는 밧줄 길이($8$)가 각 모서리까지의 거리($8$)와 같아서 밧줄이 여유 없이 모서리에 도달한다 — 감김 없이 순수한 $32\pi$이며, 바로 이 경계 때문에 배치 I은 추가 영역을 얻지 못한다. 배치 II에서는 묶은 지점이 가까운 모서리에서 $4$ ft, $8$보다 확실히 작아 반드시 감기고, 남은 $4$ ft는 원래 $8$보다 작으므로 보너스 호의 반지름이 더 작은 $4$이다 — 그래서 사분원 넓이는 큰 조각이 아니라 $4\pi$뿐이다. 반대 모서리($12$ ft)는 닿지 않아 두 번째 보너스는 없다. 두 배치 모두 동일한 $32\pi$ 앞쪽 반원을 공유하므로 승부는 오직 그 $4\pi$ 감김 하나로 갈린다 — 배치 II가 $4\pi$만큼 이기며 (C)와 일치한다. 함정 선택지 (D) $8\pi$와 (E) $10\pi$는 더 큰 보너스 호나 두 번째 호를 상상해 과대 계산한 것이다.

대안 접근: 공유하는 반원을 아예 건너뛴다(도구 #16, 차이로 관점 바꾸기). 두 배치 모두 벽에 대고 똑같은 반지름 $8$ 반원 — 각각 $32\pi$ — 을 쓰므로 빼면 상쇄된다. 승부를 가를 수 있는 것은 모서리 감김뿐이다. 배치 I은 아무것도 감지 않는다(묶은 지점이 각 모서리에서 $8$ ft, 밧줄도 $8$ ft). 배치 II는 가까운 모서리를 $8-4=4$ ft 남기고 감아 반지름 $4$인 사분원, 넓이 $\tfrac14\pi(4)^2 = 4\pi$를 더한다. 차이 $= 4\pi$로 II가 앞서므로 (C)이다 — $32\pi$를 한 번도 계산하지 않고 도달한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고 이를 문제 해결에 활용하기 (쓸리는 각 영역을 원의 일부로 계산하기: 반지름 $8$ 반원($\tfrac12\pi\cdot8^2 = 32\pi$)과 감아 돈 반지름 $4$ 사분원($\tfrac14\pi\cdot4^2 = 4\pi$).)
5.NF.B.4 곱셈의 이해를 확장하여 분수 또는 자연수에 분수를 곱하기 (온전한 원 넓이의 절반($\tfrac12$)과 사분의 일($\tfrac14$)을 취해 반원과 사분원 조각을 얻기.)
7.EE.A.1 연산의 성질을 이용해 유리수 계수를 가진 일차식을 더하고 빼고 인수분해하고 전개하기 ($\pi$ 항을 동류항으로 정리하고 비교하기: $32\pi + 4\pi = 36\pi$, $36\pi - 32\pi = 4\pi$.)

⭐ 밧줄이 자기 길이보다 모서리에 더 가깝게 묶이면 모서리를 감아 돌고, 남은 밧줄이 여분의 호를 그린다 — 여기서는 그 사분원 하나가 바로 $4\pi$의 차이 전부다.