AMC 10 · 2006 · #17

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area
coordinate-geometrysimilar-trianglesarea-triangles symmetry-argument ↑ 선수 지식: coordinate-geometry
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
직사각형 ADEH의 윗변 AD의 길이는 3, 높이 AH의 길이는 2이다. 점 B와 C는 윗변 AD를 세 등분하고, 점 G와 F는 아랫변 HE를 세 등분한다. 네 개의 비스듬한 선분 — A에서 F, B에서 E, C에서 H, D에서 G — 을 그으면 이들이 서로 교차하면서 가운데에 작고 기울어진 사각형 WXYZ를 만든다. WXYZ의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{2}$
(B)
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
(C)
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
(D)
$\sqrt{2}$
(E)
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

그림은 네 선분이 뒤엉킨 모양이므로, 가장 안전한 방법은 전체를 좌표평면 위에 올려놓는 것이다(도구 #1, 그림 그리기 — 좌표로 정확하게 만든다). 이름 붙은 모든 점이 (x,y) 주소를 가지면, 그은 각 선분은 간단한 직선의 식이 된다(도구 #4, 변수 도입하기 — 여기서 변수는 x와 y이다). 두 선은 한쪽으로 기울고 두 선은 반대쪽으로 기우는데, 두 기울기가 서로 수직이므로 WXYZ가 직사각형임을 이미 알 수 있다. 그러면 각 꼭짓점을 찾는 일은 두 직선이 만나는 곳을 푸는 작은 문제가 된다(도구 #7, 작은 문제로 쪼개기). 마지막으로 넓이는 꼭짓점 좌표에서 바로 나온다. 좌표는 헷갈리는 그림을 네 조각의 깔끔한 대수 계산으로 바꿔준다.

1STEP 1

직사각형을 좌표평면에 올리기

꼭짓점 H를 원점에 두면 E(3,0), A(0,2), D(3,2)이고, 삼등분점은 B(1,2), C(2,2), G(1,0), F(2,0)이다.

H(0,0), E(3,0), A(0,2), D(3,2), B(1,2), C(2,2), G(1,0), F(2,0)
2STEP 2

네 비스듬한 직선의 식 세우기

AF: y=2-x와 BE: y=3-x는 기울기 -1, CH: y=x와 DG: y=x-1은 +1이므로 두 무리는 서로 수직이다.

AF: y=2-x, BE: y=3-x, CH: y=x, DG: y=x-1
3STEP 3

네 꼭짓점 구하기

만나는 두 식을 같게 놓고 풀면 Z=(1,1), W=(3/2,3/2), Y=(3/2,1/2), X=(2,1)이다.

Z(1,1), W (3/2,3/2), X(2,1), Y (3/2,1/2)
4STEP 4

대각선으로 넓이 구하기

대각선 WY와 XZ는 서로 수직이고 길이가 각각 1이므로, 넓이는 두 길이 곱의 절반인 1/2, 즉 (A)이다.

WY=1, XZ=1, [WXYZ]=1/2 · WY · XZ=1/2 · 1 · 1=1/2 → (A)
정답
1/2
변의 길이로 빠르게 확인해도 일치한다: 한 변은 Z(1,1)에서 W(3/2,3/2)까지로 길이 √((1/2)²+(1/2)²)=√2/2이고, (√2/2)²=1/2 — 같은 넓이다. 크기로 봐도 자연스럽다: 직사각형 전체 넓이가 6인데, 가운데 작은 정사각형이 그중 1/2(즉 1/12)만 차지하는 것은 그림 속 작은 영역에 알맞다. 오답지들은 너무 일찍 멈추는 함정이다 — √2/2는 넓이가 아니라 변의 길이이고, √3이 들어간 선택지는 여기에 없는 30-60-90 각이 필요하다. (A)만 맞는다.
💡핵심 정리

선이 뒤엉킨 그림이 나오면 좌표평면에 올려라 — 그러면 모든 선이 식이 되고, 모든 교차점은 두 식이 일치하는 곳일 뿐이다.

  • 직사각형을 좌표평면에 올리기
  • 네 비스듬한 직선의 식 세우기
  • 네 꼭짓점 구하기
  • 대각선으로 넓이 구하기

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