AMC 10 · 2006 · #17

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

coordinate-geometrysimilar-trianglesarea-triangles symmetry-argument ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

직사각형 $ADEH$ 에서 점 $B$ 와 $C$ 는 $\overline{AD}$ 를 삼등분하고, 점 $G$ 와 $F$ 는 $\overline{HE}$ 를 삼등분한다. 또한 $AH=AC=2$ 이고 $AD=3$ 이다. 그림에 나타난 사각형 $WXYZ$ 의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{2}$

(B)

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

(C)

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

(D)

$\sqrt{2}$

(E)

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형 $ADEH$의 윗변 $AD$의 길이는 $3$, 높이 $AH$의 길이는 $2$이다. 점 $B$와 $C$는 윗변 $AD$를 세 등분하고, 점 $G$와 $F$는 아랫변 $HE$를 세 등분한다. 네 개의 비스듬한 선분 — $A$에서 $F$, $B$에서 $E$, $C$에서 $H$, $D$에서 $G$ — 을 그으면 이들이 서로 교차하면서 가운데에 작고 기울어진 사각형 $WXYZ$를 만든다. $WXYZ$의 넓이를 구하여라.

주어진 것: $ADEH$는 $AD=3$(가로), $AH=2$(높이)인 직사각형이다; $B$와 $C$가 $\overline{AD}$를 삼등분하므로 $AB=BC=CD=1$이고, 문제 조건대로 $AC=2$이다; $G$와 $F$가 $\overline{HE}$를 삼등분하므로 $HG=GF=FE=1$이다; 그은 네 선분은 $A\!-\!F$, $B\!-\!E$, $C\!-\!H$, $D\!-\!G$이다; $W=B\!-\!E\cap C\!-\!H$, $X=B\!-\!E\cap D\!-\!G$, $Y=A\!-\!F\cap D\!-\!G$, $Z=A\!-\!F\cap C\!-\!H$; 선택지: (A) $\frac{1}{2}$, (B) $\frac{\sqrt{2}}{2}$, (C) $\frac{\sqrt{3}}{2}$, (D) $\sqrt{2}$, (E) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

구하는 것: 비스듬한 선분들이 교차하는 네 꼭짓점 $W$, $X$, $Y$, $Z$; 사각형 $WXYZ$의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

그림은 네 선분이 뒤엉킨 모양이므로, 가장 안전한 방법은 전체를 좌표평면 위에 올려놓는 것이다(도구 #1, 그림 그리기 — 좌표로 정확하게 만든다). 이름 붙은 모든 점이 $(x,y)$ 주소를 가지면, 그은 각 선분은 간단한 직선의 식이 된다(도구 #4, 변수 도입하기 — 여기서 변수는 $x$와 $y$이다). 두 선은 한쪽으로 기울고 두 선은 반대쪽으로 기우는데, 두 기울기가 서로 수직이므로 $WXYZ$가 직사각형임을 이미 알 수 있다. 그러면 각 꼭짓점을 찾는 일은 두 직선이 만나는 곳을 푸는 작은 문제가 된다(도구 #7, 작은 문제로 쪼개기). 마지막으로 넓이는 꼭짓점 좌표에서 바로 나온다. 좌표는 헷갈리는 그림을 네 조각의 깔끔한 대수 계산으로 바꿔준다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

직사각형을 좌표평면에 올리기

꼭짓점 $H$를 원점에 두고, 가로는 오른쪽으로, 높이는 위로 향하게 하자.
그러면 $H=(0,0)$, $E=(3,0)$, $A=(0,2)$, $D=(3,2)$이다.
삼등분점도 따라온다: 윗변에서 $B=(1,2)$, $C=(2,2)$; 아랫변에서 $G=(1,0)$, $F=(2,0)$.
이는 조건과 맞는다 — $AC$는 $(0,2)$에서 $(2,2)$까지로 길이 $2$이고, $AD$는 길이 $3$이다.

$$H(0,0),\;E(3,0),\;A(0,2),\;D(3,2),\;B(1,2),\;C(2,2),\;G(1,0),\;F(2,0)$$

💡 모든 점에 주소를 주면 지저분한 그림이 계산할 수 있는 숫자로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 8.EE.B.6 단계 2

네 비스듬한 직선의 식 세우기

그은 각 선분은 직선이므로 기울기와 식을 구한다.
$A(0,2)\!\to\!F(2,0)$은 가로로 $2$ 갈 때 세로로 $2$ 내려가므로 기울기 $-1$: $y=2-x$.
$B(1,2)\!\to\!E(3,0)$도 기울기 $-1$: $y=3-x$.
$C(2,2)\!\to\!H(0,0)$은 가로 $2$에 세로 $2$ 오르므로 기울기 $+1$: $y=x$.
$D(3,2)\!\to\!G(1,0)$도 기울기 $+1$: $y=x-1$.
따라서 $\{A F,\,B E\}$는 평행한 짝(기울기 $-1$), $\{C H,\,D G\}$는 평행한 짝(기울기 $+1$)이다.
기울기 $-1$과 $+1$을 곱하면 $-1$이므로 두 무리는 서로 수직이다 — 즉 $WXYZ$는 네 각이 직각인 직사각형이다.

$$AF:\,y=2-x,\quad BE:\,y=3-x,\quad CH:\,y=x,\quad DG:\,y=x-1$$

💡 기울기 $-1$과 $+1$의 두 기울기는 직각으로 만나므로 가운데 조각은 진짜 직사각형이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.8 단계 3

네 꼭짓점 구하기

각 꼭짓점은 이 직선들 중 둘이 만나는 곳이므로, 두 식을 같게 놓고 푼다.
$Z=AF\cap CH$: $2-x=x\Rightarrow x=1$, 따라서 $Z=(1,1)$.
$W=BE\cap CH$: $3-x=x\Rightarrow x=\tfrac32$, 따라서 $W=(\tfrac32,\tfrac32)$.
$Y=AF\cap DG$: $2-x=x-1\Rightarrow x=\tfrac32$, 따라서 $Y=(\tfrac32,\tfrac12)$.
$X=BE\cap DG$: $3-x=x-1\Rightarrow x=2$, 따라서 $X=(2,1)$.

$$Z(1,1),\quad W\!\left(\tfrac32,\tfrac32\right),\quad X(2,1),\quad Y\!\left(\tfrac32,\tfrac12\right)$$

💡 두 직선이 만나는 곳은 두 식이 같은 점을 주는 곳이므로, 그냥 같게 놓으면 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

대각선으로 넓이 구하기

$WXYZ$의 두 대각선은 $WY$와 $XZ$이다.
$W(\tfrac32,\tfrac32)$에서 $Y(\tfrac32,\tfrac12)$까지는 세로선으로 길이 $\tfrac32-\tfrac12=1$이다.
$X(2,1)$에서 $Z(1,1)$까지는 가로선으로 길이 $2-1=1$이다.
두 대각선은 수직이고(하나는 세로, 하나는 가로), 중심 $(\tfrac32,1)$에서 만나며, 길이가 같으므로 정사각형임이 확인된다.
대각선이 수직인 사각형의 넓이는 두 대각선 곱의 절반이다: $\tfrac12\cdot d_1\cdot d_2=\tfrac12\cdot 1\cdot 1=\tfrac12$.
따라서 $WXYZ$의 넓이는 $\tfrac12$, 즉 선택지 (A)이다.

$$WY=1,\;\;XZ=1,\;\;[WXYZ]=\tfrac12\cdot WY\cdot XZ=\tfrac12\cdot 1\cdot 1=\tfrac12\;\Rightarrow\;\textbf{(A)}$$

💡 대각선이 직각으로 만나면, 두 대각선 곱의 절반이 곧 전체 넓이이다.

[1] #1 6.G.A.3 꼭짓점 $H$를 원점에 두고, 가로는 오른쪽으로, 높이는 위로 향하게 하자. 그러면 $H=(0,0)$, $E=(3,0)$, $A=(0,2)$,

[2] #4 8.EE.B.6 그은 각 선분은 직선이므로 기울기와 식을 구한다. $A(0,2)\!\to\!F(2,0)$은 가로로 $2$ 갈 때 세로로 $2$ 내려가므로 기울기

[3] #7 8.EE.C.8 각 꼭짓점은 이 직선들 중 둘이 만나는 곳이므로, 두 식을 같게 놓고 푼다. $Z=AF\cap CH$: $2-x=x\Rightarrow x=1$

[4] #7 6.G.A.1 $WXYZ$의 두 대각선은 $WY$와 $XZ$이다. $W(\tfrac32,\tfrac32)$에서 $Y(\tfrac32,\tfrac12)$까지는

검토

합리성 확인: 변의 길이로 빠르게 확인해도 일치한다: 한 변은 $Z(1,1)$에서 $W(\tfrac32,\tfrac32)$까지로 길이 $\sqrt{(\tfrac12)^2+(\tfrac12)^2}=\tfrac{\sqrt2}{2}$이고, $\left(\tfrac{\sqrt2}{2}\right)^2=\tfrac12$ — 같은 넓이다. 크기로 봐도 자연스럽다: 직사각형 전체 넓이가 $6$인데, 가운데 작은 정사각형이 그중 $\tfrac12$(즉 $\tfrac{1}{12}$)만 차지하는 것은 그림 속 작은 영역에 알맞다. 오답지들은 너무 일찍 멈추는 함정이다 — $\tfrac{\sqrt2}{2}$는 넓이가 아니라 변의 길이이고, $\sqrt3$이 들어간 선택지는 여기에 없는 $30$-$60$-$90$ 각이 필요하다. (A)만 맞는다.

대안 접근: 좌표를 쓰지 않고 대칭으로 논증할 수도 있다. 기울기 $\pm1$은 $45^\circ$로 만나므로, 각 교차점마다 $45$-$45$-$90$ 직각삼각형이 생기고, 따라서 $WXYZ$는 $45^\circ$ 기울어진 정사각형이다. 그 대각선 $XZ$는 가로선으로, 높이 $y=1$에서 직선 $CH$부터 직선 $DG$까지 뻗는다: $CH$는 $x=1$, $DG$는 $x=2$를 주므로 대각선 길이는 $1$이다. 대각선이 $1$인 정사각형의 넓이는 $\tfrac12\cdot 1^2=\tfrac12$이다. $45^\circ$ 기울기와 가로 한 줄만으로 같은 답이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.3 Draw polygons in the coordinate plane given coordinates for the vertices (직사각형과 모든 삼등분점을 좌표평면에 올려 각 점에 정확한 $(x,y)$ 주소를 부여함.)
8.EE.B.6 Use similar triangles to explain why the slope is the same between any two points (그은 네 선분 각각의 기울기와 식을 구하고, 서로 수직인 두 직선 무리를 알아냄.)
8.EE.C.8 Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations (각 직선의 식 짝을 풀어 네 교차점 $W$, $X$, $Y$, $Z$를 찾음.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing ($WXYZ$의 넓이를 수직인 두 대각선 곱의 절반, $\frac12\cdot1\cdot1=\frac12$로 계산함.)

⭐ 선이 뒤엉킨 그림이 나오면 좌표평면에 올려라 — 그러면 모든 선이 식이 되고, 모든 교차점은 두 식이 일치하는 곳일 뿐이다.