AMC 10 · 2006 · #18
학년 7 arithmetic어떤 주의 자동차 번호판은 반드시 서로 다를 필요는 없는 4 개의 숫자와, 역시 반드시 서로 다를 필요는 없는 2 개의 문자로 이루어진다. 이 여섯 개의 문자는 어떤 순서로든 나타날 수 있으나, 단 두 문자는 반드시 서로 이웃하여 나타나야 한다. 가능한 서로 다른 번호판은 몇 개인가?
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AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 번호판은 $6$개의 문자가 한 줄로 늘어선 것이다: 숫자 $4$개(각각 $0$~$9$, 중복 허용)와 알파벳 $2$개(각각 $A$~$Z$, 중복 허용). 문자들은 어떤 순서로도 놓일 수 있지만 규칙이 하나 있다: 두 알파벳은 반드시 서로 붙어 있어야 한다. 서로 다른 번호판을 몇 개 만들 수 있는지 세어라.
주어진 것: 숫자 문자 $4$개, 각각 독립적으로 $0$~$9$; 알파벳 문자 $2$개, 각각 독립적으로 $A$~$Z$; $6$개의 문자가 한 줄의 $6$칸을 채운다; 두 알파벳은 반드시 이웃한 두 칸을 차지한다; 선택지: (A) $10^4\times 26^2$, (B) $10^3\times 26^3$, (C) $5\times 10^4\times 26^2$, (D) $10^2\times 26^4$, (E) $5\times 10^3\times 26^3$
구하는 것: 서로 다른 번호판의 총 개수
이해
문제 재정리: 번호판은 $6$개의 문자가 한 줄로 늘어선 것이다: 숫자 $4$개(각각 $0$~$9$, 중복 허용)와 알파벳 $2$개(각각 $A$~$Z$, 중복 허용). 문자들은 어떤 순서로도 놓일 수 있지만 규칙이 하나 있다: 두 알파벳은 반드시 서로 붙어 있어야 한다. 서로 다른 번호판을 몇 개 만들 수 있는지 세어라.
주어진 것: 숫자 문자 $4$개, 각각 독립적으로 $0$~$9$; 알파벳 문자 $2$개, 각각 독립적으로 $A$~$Z$; $6$개의 문자가 한 줄의 $6$칸을 채운다; 두 알파벳은 반드시 이웃한 두 칸을 차지한다; 선택지: (A) $10^4\times 26^2$, (B) $10^3\times 26^3$, (C) $5\times 10^4\times 26^2$, (D) $10^2\times 26^4$, (E) $5\times 10^3\times 26^3$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #16 관점 바꾸기, #2 빠짐없이 나열하기
이 개수 세기에는 서로 독립인 세 가지 선택이 뒤엉켜 있다: 알파벳이 어디에 놓이는가, 어떤 알파벳인가, 나머지를 어떤 숫자로 채우는가. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 번호판을 이 세 개의 별개 개수로 나누고, 곱의 법칙으로 이들을 곱한다. 까다로운 부분은 "알파벳은 붙어 있어야 한다"는 규칙이므로, 도구 #16(관점 바꾸기)이 먼저 이를 처리한다: 두 알파벳을 하나의 덩어리로 묶으면, 흩어진 제약이 놓기 쉬운 하나의 단단한 단위로 바뀐다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그 덩어리가 놓일 수 있는 자리 수를 정확히 센다. 조각들이 독립이 되면, 곱한다.
실행 — 정답: C
7.SP.C.8 단계 1 두 알파벳을 한 덩어리로 묶기
- 두 알파벳은 반드시 붙어 있어야 하므로, 이들을 하나로 묶은 덩어리 $\boxed{LL}$로 다룬다.
- 이제 낱개 $6$개가 아니라 $5$개의 항목을 한 줄로 배열하는 셈이다: 숫자 $4$개와 이 알파벳 덩어리 하나.
- 붙어 있기 규칙을 먼저 해결해 두면 이후의 모든 선택은 자유롭다 — 다른 어떤 것에도 제약이 없다.
💡 두 알파벳을 한 조각으로 묶으면 "반드시 붙어 있어야 한다"가 계속 확인할 규칙이 아니라 저절로 성립하는 사실이 된다.
7.SP.C.8 단계 2 덩어리가 놓일 자리 세기
- 알파벳 덩어리는 $6$칸 중 이웃한 $2$칸을 덮는다.
- 덩어리가 차지할 수 있는 이웃한 칸 쌍을 나열하면: 칸 $(1,2)$, $(2,3)$, $(3,4)$, $(4,5)$, $(5,6)$.
- 즉 덩어리의 위치는 $5$가지이고, 숫자 $4$개는 남은 칸을 채운다.
💡 폭이 둘인 덩어리는 시작 자리가 줄 길이보다 하나 적으므로, $6$칸이면 시작 자리가 $5$곳이다.
6.EE.A.1 단계 3 알파벳과 숫자 세기
- 이제 값을 채운다.
- 덩어리는 알파벳 $2$개를 담는데, 각각 $26$개 중 하나를 독립적으로 고르므로 $26 \times 26 = 26^2$가지이다.
- 남은 $4$칸은 숫자를 담는데, 각각 $10$개 중 하나를 독립적으로 고르므로 $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4$가지이다.
- 각 인수는 같은 수의 반복 곱이며, 그것이 바로 지수가 기록하는 것이다.
💡 독립인 선택들은 곱해지고, 같은 개수의 선택지를 거듭 곱하는 것이 바로 거듭제곱의 뜻이다.
7.SP.C.8 단계 4 독립인 세 개수를 곱하기
- 덩어리의 위치, 그 안의 알파벳, 그 주위의 숫자는 서로 영향을 주지 않는 세 선택이므로 곱한다: $5 \times 26^2 \times 10^4$.
- 인수의 순서를 바꾸면 $5 \times 10^4 \times 26^2$이 되며, 이는 선택지 $\textbf{(C)}$이다.
💡 선택이 서로 독립으로 이루어질 때, 전체 경우의 수는 각 개수를 그냥 곱한 것이다.
7.SP.C.8 두 알파벳은 반드시 붙어 있어야 하므로, 이들을 하나로 묶은 덩어리 $\boxed{LL}$로 다룬다. 이제 낱개 $6$개가 아니라 $5$개의 항 7.SP.C.8 알파벳 덩어리는 $6$칸 중 이웃한 $2$칸을 덮는다. 덩어리가 차지할 수 있는 이웃한 칸 쌍을 나열하면: 칸 $(1,2)$, $(2,3)$, 6.EE.A.1 이제 값을 채운다. 덩어리는 알파벳 $2$개를 담는데, 각각 $26$개 중 하나를 독립적으로 고르므로 $26 \times 26 = 26^2$가지 7.SP.C.8 덩어리의 위치, 그 안의 알파벳, 그 주위의 숫자는 서로 영향을 주지 않는 세 선택이므로 곱한다: $5 \times 26^2 \times 10^ 검토
합리성 확인: 조각들을 선택지와 맞춰 본다. 모든 선택지는 알파벳에 대한 $26$의 거듭제곱과 숫자에 대한 $10$의 거듭제곱을 담고 있다. 알파벳이 정확히 $2$개, 숫자가 정확히 $4$개이므로 값의 개수는 반드시 $26^2$과 $10^4$이어야 한다 — 이것만으로 지수가 틀린 B, D, E가 걸러진다. 남은 것은 앞의 $5$가 필요한지이다: 선택지 (A)는 $5$라는 인수가 없는 $10^4\times 26^2$인데, 이는 알파벳이 고정된 칸에 묶여 있을 때의 개수이다. 하지만 번호판은 알파벳 덩어리를 $5$가지 서로 다른 위치로 옮길 수 있으므로, 올바른 개수는 그 $5$배이다. 이는 (C)와만 일치한다.
대안 접근: 묶지 않고 위치를 직접 세도 된다. $6$칸 중 어느 $2$칸이 알파벳인지 고르되, 이웃한 쌍만 허용되므로 그런 쌍은 $5$개이다. 그 $2$칸을 알파벳으로($26^2$가지), 나머지 $4$칸을 숫자로($10^4$가지) 채운다. 곱하면 $5\times 26^2\times 10^4$로 같은 결과가 나온다. 교차 확인으로, 붙어 있기 규칙을 아예 없앤다면 알파벳은 $6$칸 중 아무 $2$칸이나 차지할 수 있어 $\binom{6}{2}=15$쌍이 된다. 즉 붙어 있기 규칙이 $15$를 $5$로 줄여 정확히 $3$배 적은 번호판을 만드는데, 이는 대부분의 칸 쌍이 이웃하지 않는다는 그림과 들어맞는다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.8정리된 목록·표·나무 그림·시뮬레이션을 이용해 복합 사건의 경우의 수를 구하기 (번호판을 독립인 부분 개수로 정리하고 곱의 법칙을 적용하기: 덩어리 위치 $5$가지 곱하기 알파벳 $26^2$ 곱하기 숫자 $10^4$.)6.EE.A.1자연수 지수가 포함된 수식을 쓰고 계산하기 (반복되는 독립 선택을 거듭제곱으로 기록하기 — 두 알파벳에 대해 $26 \times 26 = 26^2$, 네 숫자에 대해 $10\times10\times10\times10 = 10^4$.)
⭐ 두 알파벳을 한 덩어리로 묶어 항상 붙어 있게 한 뒤, 그 덩어리가 놓일 $5$곳을 세고, 숫자 선택 $10^4$과 알파벳 선택 $26^2$을 곱하면 $5\times 10^4\times 26^2$이 된다.
⭐ 두 알파벳을 한 덩어리로 묶어 항상 붙어 있게 한 뒤, 그 덩어리가 놓일 $5$곳을 세고, 숫자 선택 $10^4$과 알파벳 선택 $26^2$을 곱하면 $5\times 10^4\times 26^2$이 된다.
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