AMC 10 · 2006 · #18

학년 7 arithmetic
유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count
permutations-basicsystematic-enumeration identify-subproblems ↑ 선수 지식: permutations-basic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
번호판은 6개의 문자가 한 줄로 늘어선 것이다: 숫자 4개(각각 09, 중복 허용)와 알파벳 2개(각각 AZ, 중복 허용). 문자들은 어떤 순서로도 놓일 수 있지만 규칙이 하나 있다: 두 알파벳은 반드시 서로 붙어 있어야 한다. 서로 다른 번호판을 몇 개 만들 수 있는지 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$10^4\times 26^2$
(B)
$10^3\times 26^3$
(C)
$5\times 10^4\times 26^2$
(D)
$10^2\times 26^4$
(E)
$5\times 10^3\times 26^3$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

이 개수 세기에는 서로 독립인 세 가지 선택이 뒤엉켜 있다: 알파벳이 어디에 놓이는가, 어떤 알파벳인가, 나머지를 어떤 숫자로 채우는가. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 번호판을 이 세 개의 별개 개수로 나누고, 곱의 법칙으로 이들을 곱한다. 까다로운 부분은 "알파벳은 붙어 있어야 한다"는 규칙이므로, 도구 #16(관점 바꾸기)이 먼저 이를 처리한다: 두 알파벳을 하나의 덩어리로 묶으면, 흩어진 제약이 놓기 쉬운 하나의 단단한 단위로 바뀐다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그 덩어리가 놓일 수 있는 자리 수를 정확히 센다. 조각들이 독립이 되면, 곱한다.

1STEP 1

두 알파벳을 한 덩어리로 묶기

두 알파벳은 붙어 있어야 하므로 하나의 덩어리 LL로 묶는다. 이제 배열할 항목은 숫자 4 개와 그 덩어리, 모두 5 개이다.

6 개 문자 ⟶ 4 개 숫자 + 1 LL 덩어리 = 5 개 항목
2STEP 2

덩어리가 놓일 자리 세기

덩어리가 덮을 이웃한 칸 쌍은 (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)로 5 가지, 숫자는 남은 칸을 채운다.

(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6) → 5 가지 위치
3STEP 3

알파벳과 숫자 세기

알파벳 2 개는 26 × 26 = 26² 가지, 숫자 4 칸은 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴ 가지이다.

알파벳 = 26², 숫자 = 10⁴
4STEP 4

독립인 세 개수를 곱하기

위치, 알파벳, 숫자는 서로 독립이므로 곱한다: 5 × 26² × 10⁴ = 5 × 10⁴ × 26², 즉 선택지 (C)이다.

5 × 26² × 10⁴ = 5 × 10⁴ × 26² → (C)
정답
5 × 10⁴ × 26²
조각들을 선택지와 맞춰 본다. 모든 선택지는 알파벳에 대한 26의 거듭제곱과 숫자에 대한 10의 거듭제곱을 담고 있다. 알파벳이 정확히 2개, 숫자가 정확히 4개이므로 값의 개수는 반드시 26²과 10⁴이어야 한다 — 이것만으로 지수가 틀린 B, D, E가 걸러진다. 남은 것은 앞의 5가 필요한지이다: 선택지 (A)는 5라는 인수가 없는 10⁴ × 26²인데, 이는 알파벳이 고정된 칸에 묶여 있을 때의 개수이다. 하지만 번호판은 알파벳 덩어리를 5가지 서로 다른 위치로 옮길 수 있으므로, 올바른 개수는 그 5배이다. 이는 (C)와만 일치한다.
💡핵심 정리

두 알파벳을 한 덩어리로 묶어 항상 붙어 있게 한 뒤, 그 덩어리가 놓일 5곳을 세고, 숫자 선택 10⁴과 알파벳 선택 26²을 곱하면 5 × 10⁴ × 26²이 된다.

  • 두 알파벳을 한 덩어리로 묶기
  • 덩어리가 놓일 자리 세기
  • 알파벳과 숫자 세기
  • 독립인 세 개수를 곱하기

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