AMC 10 · 2006 · #22

학년 7 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

linear-diophantinegcdprime-factorization convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-diophantinegcd

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 농부가 돼지 한 마리는 $300$ 달러, 염소 한 마리는 $210$ 달러의 가치가 있다고 합의한다. 한 농부가 다른 농부에게 돈을 빚지면, 그는 돼지나 염소로 빚을 갚되 필요에 따라 염소나 돼지의 형태로 "거스름돈"을 받는다. (예를 들어, $390$ 달러의 빚은 돼지 두 마리로 갚고 거스름돈으로 염소 한 마리를 받으면 된다.) 이런 방식으로 해결할 수 있는 가장 작은 양의 빚은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

210

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 빚을 돼지 몇 마리(한 마리 $300)와 염소 몇 마리(한 마리 $210)를 건네서 갚고, 필요하면 다른 동물로 거스름을 받는다. 거스름은 동물이 오가는 방향을 뒤집으므로, 각 동물은 사실상 주는 것(양수)일 수도 받는 것(음수)일 수도 있다. 이런 교환으로 정확히 갚을 수 있는 가장 작은 양의 빚 금액을 구하는 문제다.

주어진 것: 돼지 한 마리는 $300, 염소 한 마리는 $210; 빚은 돼지나 염소로 갚고, 필요하면 염소나 돼지로 거스름을 돌려받는다; 예: $390 빚은 돼지 두 마리를 주고 염소 한 마리를 거스름으로 받는 것($600 - $210 = $390); 선택지: (A) 5, (B) 10, (C) 30, (D) 90, (E) 210

구하는 것: 이 방식으로 정확히 갚을 수 있는 가장 작은 양의 빚(달러)

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기

돼지와 염소의 수가 정해져 있지 않으므로 도구 #4(변수 도입하기)로 이름을 붙인다: 돼지의 순 개수를 $p$, 염소의 순 개수를 $g$ 라 하고, 음수는 그 동물이 거스름으로 돌아옴을 뜻한다. 그러면 갚을 수 있는 모든 빚은 $300p + 210g$ 이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 질문을 더 깔끔한 두 조각으로 나눈다: 먼저 어떤 빚도 내려갈 수 없는 바닥을 찾고, 그다음 그 바닥에 실제로 도달할 수 있는지 확인한다. 바닥은 $300$ 과 $210$ 이 공유하는 공약수에서 나오고, 도달은 정수를 찾는 작은 도구 #6(추측하고 확인하기) 탐색으로, 거스름을 음수로 모델링해 해결한다. 도달 가능한 바닥이 바로 가장 작은 양의 빚이다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

부호 있는 개수로 빚 모델링하기

손을 거치는 돼지의 순 개수를 $p$, 염소의 순 개수를 $g$ 라 하고, 음수는 그 동물을 거스름으로 돌려받음을 뜻한다.
갚아지는 달러 값은 $300p + 210g$ 이다.
주어진 예에서 돼지 두 마리를 주고 염소 한 마리를 받는 것은 $p = 2$, $g = -1$ 이고, $300(2) + 210(-1) = 390$ 으로 $390 빚과 맞는다.

$$\text{빚} = 300p + 210g, \qquad p, g \in \mathbb{Z}$$

💡 개수를 음수까지 허용하면 '거스름 받기'가 평범한 뺄셈이 되어, 주기와 받기를 한 식으로 담는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 2

공약수를 빼내 바닥 만들기

두 가격은 공약수를 공유한다.
$300$ 과 $210$ 의 최대공약수는 $30$ 이다.
$300 = 30 \times 10$, $210 = 30 \times 7$ 이기 때문이다.
빚에서 이를 빼내면 $300p + 210g = 30(10p + 7g)$ 이다.
$10p + 7g$ 는 항상 정수이므로, 갚을 수 있는 모든 빚은 $30$ 의 정수배다.
따라서 어떤 양의 빚도 $30$ 보다 작을 수 없다.

$$300p + 210g = 30(10p + 7g) \ \Rightarrow\ \text{빚은 } 30 \text{의 배수}$$

💡 두 가격의 공약수는 그 둘의 모든 조합을 나누므로, 아무것도 미끄러져 내려갈 수 없는 바닥을 정한다.

#6 추측하고 확인하기 7.NS.A.1 단계 3

바닥에 도달할 수 있음 보이기

이제 $30$ 자체가 가능한지 확인하는데, 이는 $10p + 7g = 1$ 을 필요로 한다.
$10$ 과 $7$ 은 $1$ 보다 큰 공약수가 없으므로 그런 정수가 존재한다.
$p = -2$, $g = 3$ 을 넣으면 $10(-2) + 7(3) = -20 + 21 = 1$ 이다.
여기서 $g = 3$ 은 염소 세 마리를 주는 것, $p = -2$ 는 돼지 두 마리를 거스름으로 받는 것을 뜻한다: $210(3) - 300(2) = 630 - 600 = 30$.

$$10(-2) + 7(3) = 1 \ \Rightarrow\ 300(-2) + 210(3) = 30$$

💡 $10$ 과 $7$ 은 공약수가 없으므로 정수량으로 섞으면 정확히 $1$ 에 안착할 수 있고, $30$ 배 하면 바닥 자체에 안착한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 4

바닥과 도달 가능성 합치기

모든 가능한 빚은 $30$ 의 배수이므로 어떤 양수도 $30$ 을 이기지 못하고, '염소 세 마리를 주고 돼지 두 마리를 받는' 교환이 정확히 $30 을 갚는다. 도달 가능한 바닥은 곧 최솟값이므로, 가장 작은 양의 빚은 $\$30$ 이고, 이는 $\textbf{(C)}$ 다.

$$\min\{300p + 210g > 0\} = 30 \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 아무것도 밑돌 수 없으면서 실제로 일어날 수 있는 값이 정의상 가장 작은 값이다.

[1] #4 6.EE.B.6 손을 거치는 돼지의 순 개수를 $p$, 염소의 순 개수를 $g$ 라 하고, 음수는 그 동물을 거스름으로 돌려받음을 뜻한다. 갚아지는 달러 값은

[2] #7 6.NS.B.4 두 가격은 공약수를 공유한다. $300$ 과 $210$ 의 최대공약수는 $30$ 이다. $300 = 30 \times 10$, $210 = 30

[3] #6 7.NS.A.1 이제 $30$ 자체가 가능한지 확인하는데, 이는 $10p + 7g = 1$ 을 필요로 한다. $10$ 과 $7$ 은 $1$ 보다 큰 공약수가 없

[4] #7 6.NS.B.4 모든 가능한 빚은 $30$ 의 배수이므로 어떤 양수도 $30$ 을 이기지 못하고, '염소 세 마리를 주고 돼지 두 마리를 받는' 교환이 정확히

검토

합리성 확인: 답 $30$ 은 두 가격 모두를 나눠야 하는데, 실제로 그렇다: $300 = 30 \times 10$, $210 = 30 \times 7$. 주어진 예에도 맞는다. $390 = 30 \times 13$ 으로 $30$ 의 배수이기 때문이다. 오답 선택지는 바닥 검사를 통과하지 못한다: $5$(A)와 $10$(B)은 $30$ 보다 작지만 어떤 빚도 $30$ 바닥을 이길 수 없으므로 불가능하고, $90$(D)은 갚을 수 있지만($300 - 210$, 돼지 한 마리를 주고 염소 한 마리를 받음) $30 \times 3$ 으로 최소가 아니며, $210$(E)은 염소 한 마리 값일 뿐 최소와는 거리가 멀다. 오직 $30$ 만이 도달 가능하면서 이길 수 없다.

대안 접근: 유클리드 호제법으로 최대공약수를 바로 구한다: $300 = 1 \times 210 + 90$, 다음 $210 = 2 \times 90 + 30$, 다음 $90 = 3 \times 30 + 0$ 이므로 $\gcd(300, 210) = 30$. 정수 범위에서 $300p + 210g$ 의 가장 작은 양의 값은 정확히 이 최대공약수라는 표준 사실에 의해 다시 $30$ 을 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (돼지의 순 개수 $p$ 와 염소의 순 개수 $g$ 에 이름을 붙이고, 갚아지는 빚을 식 $300p + 210g$ 로 쓰기.)
6.NS.B.4 Find greatest common factor and least common multiple of two numbers ($300$ 과 $210$ 의 최대공약수를 $30$ 으로 잡고 $300p + 210g = 30(10p + 7g)$ 로 인수분해해 모든 빚이 $30$ 의 배수임을 증명하기.)
7.NS.A.1 Apply and extend understanding of addition and subtraction to rational numbers (거스름으로 받는 동물을 음수 개수로 모델링하고 $210(3) - 300(2) = 30$ 으로 바닥에 도달하기.)

⭐ 거스름까지 주고받을 수 있으면, 갚을 수 있는 모든 금액은 두 가격의 최대공약수의 배수가 되므로, 가장 작은 빚은 그 최대공약수 자체다: 여기서는 $\gcd(300, 210) = 30$.