AMC 10 · 2006 · #25

학년 7 geometry-3d

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count

probability-basicsystematic-enumerationspatial-visualization casework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

한 벌레가 정육면체의 한 꼭짓점에서 출발하여 다음 규칙에 따라 정육면체의 모서리를 따라 이동한다. 각 꼭짓점에서 벌레는 그 꼭짓점에서 뻗어 나오는 세 모서리 중 하나를 따라 이동하기를 선택한다. 각 모서리가 선택될 확률은 같고, 모든 선택은 서로 독립이다. 일곱 번 이동한 후 벌레가 모든 꼭짓점을 정확히 한 번씩 방문했을 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{2187}$

(B)

$\frac{1}{729}$

(C)

$\frac{2}{243}$

(D)

$\frac{1}{81}$

(E)

$\frac{5}{243}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 벌레 한 마리가 정육면체의 한 꼭짓점에 있습니다. 벌레는 $7$번 이동하는데, 매번 지금 있는 꼭짓점에서 뻗어 나온 $3$개의 모서리 중 하나를 따라 움직입니다. 각 모서리를 고를 확률은 모두 같고, 매번의 선택은 이전과 독립입니다. 이 $7$번의 이동으로 벌레가 $8$개의 꼭짓점을 모두 한 번씩만 지날 확률을 구하세요.

주어진 것: 벌레는 정육면체의 한 정해진 꼭짓점에서 출발합니다.; 각 꼭짓점에는 정확히 $3$개의 모서리가 뻗어 있습니다.; 모든 꼭짓점에서 $3$개의 모서리는 각각 확률 $\tfrac{1}{3}$로 똑같이 고를 수 있고, 선택은 서로 독립입니다.; 벌레는 정확히 $7$번 이동합니다.; 성공이란 $8$개의 꼭짓점을 각각 정확히 한 번씩 지나는 것입니다.; 선택지: (A) $\tfrac{1}{2187}$, (B) $\tfrac{1}{729}$, (C) $\tfrac{2}{243}$, (D) $\tfrac{1}{81}$, (E) $\tfrac{5}{243}$.

구하는 것: $7$번 이동하는 경로가 $8$개의 꼭짓점을 모두 한 번씩 지날 확률.

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #17 공간 상상하기, #7 작은 문제로 쪼개기

모든 $7$번 이동 순서가 똑같이 나올 수 있으므로, 확률은 그냥 (성공하는 경로의 수)를 (모든 경로의 수)로 나눈 값입니다. 이것이 작은 문제로 쪼개기입니다(도구 #7). 모든 경로를 세는 것은 쉽습니다. 이동마다 선택이 $3$가지입니다. 어려운 쪽은 성공하는 경로를 세는 것인데, 이는 어떤 꼭짓점도 다시 지나지 않으면서 $8$개 모두를 지나는 경로입니다. 그것을 깔끔하게 세려면 꼭짓점에 이름을 붙여야 하므로, 정육면체를 그려 이름을 붙이고(도구 #1) 그 모양을 머릿속에 그려 둡니다(도구 #17). 그런 다음 가능한 경우를 순서대로 훑습니다(도구 #2, '몇 가지 방법' 도구): 대칭을 이용해 첫 이동을 하나로 고정하고, 강제되는 갈래를 따라가며 좋은 경로를 모두 나열합니다. 성공 경로는 수가 적고 제약이 아주 강하므로 빠짐없이 나열하기가 알맞은 도구입니다. 대부분의 부분 경로는 스스로 막다른 길에 갇힙니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 1

확률을 경로의 수로 바꾸기

매 이동은 똑같이 나올 수 있는 $3$개 모서리 중 하나를 고르므로, 특정한 $7$번 이동 순서는 모두 같은 확률을 가집니다.
따라서 성공 확률은 성공하는 $7$번 이동 경로의 수를 모든 $7$번 이동 경로의 수로 나눈 값과 같습니다.
그래서 문제 전체가 두 개의 세기 문제가 됩니다: 모든 경로를 세고, 그다음 좋은 경로를 세는 것입니다.

$$P(\text{성공}) = \dfrac{\#\{\text{좋은 경로}\}}{\#\{\text{모든 경로}\}}$$

💡 모든 결과가 똑같이 나올 수 있으면, 확률은 그냥 유리한 경우를 전체 경우로 나눈 분수입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 2

가능한 모든 경로 세기

$7$번의 이동마다 벌레는 $3$개의 모서리 중에서 고르고, 선택은 서로 독립입니다.
선택의 수를 곱하면 $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^7 = 2187$가지 경로가 됩니다.
이것이 분모입니다.

$$\#\{\text{모든 경로}\} = 3^7 = 2187$$

💡 독립인 선택은 곱해지므로, 선택이 $3$가지인 이동이 $7$번이면 $3^7$가지 경로입니다.

#1 그림 그리기 7.SP.C.8 단계 3

정육면체에 이름 붙이고 첫 이동 고정하기

아래 면의 꼭짓점을 정사각형을 따라 $A, B, C, D$라 하고, 위 면의 꼭짓점을 $A, B, C, D$ 바로 위에 오는 $E, F, G, H$라 합시다.
모서리는 아래 면 둘레($A\!-\!B\!-\!C\!-\!D\!-\!A$), 위 면 둘레($E\!-\!F\!-\!G\!-\!H\!-\!E$), 그리고 네 개의 기둥($A\!-\!E$, $B\!-\!F$, $C\!-\!G$, $D\!-\!H$)을 따라 이어집니다.
벌레가 $A$에서 출발한다고 합시다.
첫 이동은 $B$, $D$, $E$ 중 하나로 갑니다.
이 셋은 정육면체의 대칭 때문에 완전히 같아 보이므로, $A\to B$로 시작하는 좋은 경로를 세고 마지막에 $3$을 곱합니다.

$A \to \{B, D, E\}$, 셋 모두 대칭 $\;\Rightarrow\;$ $A\to B$ 경로를 세고 $\times 3$

💡 대칭을 이용하면 대표 경우 하나만 풀고 배수를 곱하면 되므로, 똑같은 일을 반복하지 않아도 됩니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 4

A에서 B로 간 뒤의 좋은 경로 모두 나열하기

$B$에서 아직 안 쓴 모서리는 $C$ 또는 $F$로 갑니다.
대칭에 의해 이 둘도 같으므로 각각 같은 수의 좋은 경로로 이어집니다.
$B\to C$에 대해 찾아봅시다.
$A\to B\to C$ 다음에는 벌레가 $C\to D$ 또는 $C\to G$로 가야 합니다.
강제되는 선택(꼭짓점을 다시 지나지 말고, 아직 안 지난 꼭짓점에서 스스로를 가두지 말 것)을 따라가면 정확히 세 개의 좋은 경로가 나옵니다: $A\,B\,C\,D\,H\,E\,F\,G$, $A\,B\,C\,D\,H\,G\,F\,E$, $A\,B\,C\,G\,F\,E\,H\,D$.
다른 어떤 이어가기도 지날 수 없는 꼭짓점을 남깁니다.
그래서 $A\to B\to C$는 좋은 경로 $3$개를 주고, 대칭에 의해 $A\to B\to F$도 $3$개를 더 주므로, $A\to B$로 시작하는 좋은 경로는 $6$개입니다.

$A\to B$: $\;(B\to C)\,3 + (B\to F)\,3 = 6$개의 좋은 경로

💡 처음 두 이동이 정해지면 '모두 지나고 반복은 없다'는 규칙이 나머지를 강제하므로, 살아남는 경로는 몇 개뿐입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 5

좋은 경로를 모두 더해 확률 만들기

대칭인 $3$개의 첫 이동이 각각 좋은 경로 $6$개를 주므로, 성공하는 경로는 모두 $3 \times 6 = 18$개입니다.
따라서 확률은 $\tfrac{18}{2187}$입니다.
분자와 분모를 $9$로 나누어 약분하면 $\tfrac{18}{2187} = \tfrac{2}{243}$입니다.
이것이 선택지 (C)입니다.

$$P = \dfrac{3 \times 6}{3^7} = \dfrac{18}{2187} = \dfrac{2}{243} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 좋은 경로를 모든 경로로 나눈 뒤 기약분수로 줄이면 그것이 답입니다.

[1] #7 7.SP.C.7 매 이동은 똑같이 나올 수 있는 $3$개 모서리 중 하나를 고르므로, 특정한 $7$번 이동 순서는 모두 같은 확률을 가집니다. 따라서 성공 확률

[2] #7 6.EE.A.1 $7$번의 이동마다 벌레는 $3$개의 모서리 중에서 고르고, 선택은 서로 독립입니다. 선택의 수를 곱하면 $3 \times 3 \times 3

[3] #1 7.SP.C.8 아래 면의 꼭짓점을 정사각형을 따라 $A, B, C, D$라 하고, 위 면의 꼭짓점을 $A, B, C, D$ 바로 위에 오는 $E, F, G,

[4] #2 7.SP.C.8 $B$에서 아직 안 쓴 모서리는 $C$ 또는 $F$로 갑니다. 대칭에 의해 이 둘도 같으므로 각각 같은 수의 좋은 경로로 이어집니다. $B\to

[5] #2 4.OA.A.3 대칭인 $3$개의 첫 이동이 각각 좋은 경로 $6$개를 주므로, 성공하는 경로는 모두 $3 \times 6 = 18$개입니다. 따라서 확률은 $

검토

합리성 확인: $18$이라는 수는 그럴듯합니다. 성공 경로는 정해진 출발점에서 정육면체의 모든 꼭짓점을 한 번씩 지나는 길(해밀턴 경로)이고, 정육면체는 대칭이 충분해서 이런 경로는 작고 깔끔한 개수로 나옵니다. 크기도 확인해 봅시다. $\tfrac{18}{2187}$은 $1\%$보다 약간 작은데, 이는 잘 맞습니다. 정확히 $7$번의 반복 없는 이동으로 $8$개 꼭짓점을 모두 지나는 것은 까다롭고 드문 사건이므로, 확률이 백분의 일 근처인 것이 합리적입니다. 또한 이 값은 선택지 $\tfrac{2}{243}$에 정확히 떨어지고, 억지로 맞춘 계산도 없습니다: $2187 = 3^7$이고 $18/9 = 2$, $2187/9 = 243$입니다.

대안 접근: 경로를 나열하는 대신, 대표인 $A\to B\to C$에 대해 이동마다 확률로 따질 수도 있습니다. 출발부터 벌레가 새 꼭짓점으로 갈 확률은 $1$, 그다음 두 번째 새 꼭짓점으로 갈 확률은 $\tfrac{2}{3}$, 이런 식입니다. '모두 한 번씩 지나기' 희망을 살려두는 선택의 비율을 조심스럽게 추적하고, 두 가지 구조적 경우(먼 꼭짓점으로 일찍 건너가기 대 한 면을 먼저 끝내기)를 더하면 다시 $\tfrac{2}{243}$이 나옵니다. 이는 경로를 다 적지 않고도 답을 확인해 주지만, 좋은 경로를 하나하나 눈으로 볼 수 있다는 점에서 빠짐없이 나열하기가 더 믿음직합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 균등 확률 모형을 만들고 이를 이용해 사건의 확률 구하기 ($3^7$개의 이동 순서가 모두 똑같이 나올 수 있음을 알아, 확률이 (좋은 경로)/(모든 경로)임을 파악하기.)
6.EE.A.1 자연수 지수가 있는 수식을 쓰고 계산하기 (모든 경로의 수를 $3^7 = 2187$로 계산하기.)
7.SP.C.8 정리된 목록, 표, 나무 그림, 시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (이름 붙인 정육면체에서 대칭으로 줄인 정리된 목록으로 성공 경로를 빠짐없이 나열하기.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용해 여러 단계의 문장제 해결하기 (좋은 경로 $3 \times 6 = 18$을 합치고 $\tfrac{18}{2187} = \tfrac{2}{243}$로 약분하기.)

⭐ 모든 $7$번 이동 경로는 똑같이 나올 수 있으므로, 답은 그냥 ($8$개 꼭짓점을 한 번씩 지나는 경로)를 (모든 $3^7 = 2187$개 경로)로 나눈 값입니다. 꼼꼼히 나열하면 좋은 경로는 $18$개뿐이어서 $\tfrac{18}{2187} = \tfrac{2}{243}$이 됩니다.