AMC 10 · 2006 · #25

학년 7 probabilitygeometry-3d
유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count
probability-basicsystematic-enumerationspatial-visualization casework ↑ 선수 지식: probability-basic
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
벌레 한 마리가 정육면체의 한 꼭짓점에 있습니다. 벌레는 7번 이동합니다. 매번 지금 있는 꼭짓점에서 뻗어 나온 3개의 모서리 중 하나를 따라 움직입니다. 각 모서리를 고를 확률은 모두 같고, 매번의 선택은 이전과 독립입니다. 이 7번의 이동으로 벌레가 8개의 꼭짓점을 모두 한 번씩만 지날 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{2187}$
(B)
$\frac{1}{729}$
(C)
$\frac{2}{243}$
(D)
$\frac{1}{81}$
(E)
$\frac{5}{243}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

모든 7번 이동 순서가 똑같이 나올 수 있으므로, 확률은 그냥 (성공하는 경로의 수)를 (모든 경로의 수)로 나눈 값입니다. 이것이 작은 문제로 쪼개기입니다(도구 #7). 모든 경로를 세는 것은 쉽습니다. 이동마다 선택이 3가지입니다. 어려운 쪽은 성공하는 경로를 세는 것인데, 이는 어떤 꼭짓점도 다시 지나지 않으면서 8개 모두를 지나는 경로입니다. 그것을 깔끔하게 세려면 꼭짓점에 이름을 붙여야 하므로, 정육면체를 그려 이름을 붙이고(도구 #1) 그 모양을 머릿속에 그려 둡니다(도구 #17). 그런 다음 가능한 경우를 순서대로 훑습니다(도구 #2, '몇 가지 방법' 도구): 대칭을 이용해 첫 이동을 하나로 고정하고, 강제되는 갈래를 따라가며 좋은 경로를 모두 나열합니다. 성공 경로는 수가 적고 제약이 아주 강하므로 빠짐없이 나열하기가 알맞은 도구입니다. 대부분의 부분 경로는 스스로 막다른 길에 갇힙니다.

1STEP 1

확률을 경로의 수로 바꾸기

7번 이동하는 경로는 모두 같은 확률이라, 확률은 좋은 경로를 모든 경로로 나눈 값입니다. 세기 문제 2개죠.

P(성공) = (#{좋은 경로})/(#{모든 경로})
2STEP 2

가능한 모든 경로 세기

7번의 이동마다 선택이 3가지이고 서로 독립이니, 곱하면 3⁷ = 2187 가지가 분모입니다.

#{모든 경로} = 3⁷ = 2187
3STEP 3

정육면체에 이름 붙이고 첫 이동 고정하기

아랫면을 A, B, C, D, 그 위를 E, F, G, H로 두고 A에서 출발합니다. 첫 이동 3개는 대칭이라 A→ B만 세고 3을 곱합니다.

A → {B, D, E}, 셋 모두 대칭 → A→ B 경로를 세고 × 3
4STEP 4

A에서 B로 간 뒤의 좋은 경로 모두 나열하기

A→ B→ C 뒤에는 다시 지나지 않기 규칙이 나머지를 강제해 좋은 경로가 3개, A→ B→ F도 3개라 A→ B는 6개입니다.

A→ B: (B→ C) 3 + (B→ F) 3 = 6개의 좋은 경로
5STEP 5

좋은 경로를 모두 더해 확률 만들기

대칭인 첫 이동 3개가 3 × 6 = 18개를 주니, 확률은 18/2187 = 2/243이고 선택지 (C)입니다.

P = (3 × 6)/3⁷ = 18/2187 = 2/243 → (C)
정답
2/243
18이라는 수는 그럴듯합니다. 성공 경로는 정해진 출발점에서 정육면체의 모든 꼭짓점을 한 번씩 지나는 길(해밀턴 경로)이고, 정육면체는 대칭이 충분해서 이런 경로는 작고 깔끔한 개수로 나옵니다. 크기도 확인해 봅시다. 18/2187은 1%보다 약간 작은데, 이는 잘 맞습니다. 정확히 7번의 반복 없는 이동으로 8개 꼭짓점을 모두 지나는 것은 까다롭고 드문 사건이므로, 확률이 백분의 일 근처인 것이 합리적입니다. 또한 이 값은 선택지 2/243에 정확히 떨어지고, 억지로 맞춘 계산도 없습니다: 2187 = 3⁷이고 18/9 = 2, 2187/9 = 243입니다.
💡핵심 정리

모든 7번 이동 경로는 똑같이 나올 수 있으므로, 답은 그냥 (8개 꼭짓점을 한 번씩 지나는 경로)를 (모든 3⁷ = 2187개 경로)로 나눈 값입니다. 꼼꼼히 나열하면 좋은 경로는 18개뿐이어서 18/2187 = 2/243이 됩니다.

  • 확률을 경로의 수로 바꾸기
  • 가능한 모든 경로 세기
  • 정육면체에 이름 붙이고 첫 이동 고정하기
  • A에서 B로 간 뒤의 좋은 경로 모두 나열하기
  • 좋은 경로를 모두 더해 확률 만들기

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