AMC 10 · 2006 · #4

학년 3 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

digit-sumplace-valueoptimization greedy-algorithm ↑ 선수 지식: digit-sum

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

디지털 시계가 시와 분을 오전(AM)과 오후(PM)로 표시한다. 화면에 나타나는 숫자들의 합의 최댓값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 디지털 시계가 시각을 $12$시간제(오전/오후 표시)로 시와 분으로 나타낸다. 예를 들어 $9\!:\!59$ 처럼 표시된다. 이 시계가 나타낼 수 있는 모든 시각 중에서, 화면에 보이는 숫자들의 합이 가장 클 때의 값을 구한다.

주어진 것: 시계는 시와 분을 $12$시간제(오전/오후)로 나타낸다. 예: $9\!:\!59$; 시 부분은 $1$ 부터 $12$ 까지의 자연수가 될 수 있다; 분 부분은 $00$ 부터 $59$ 까지의 수이며 두 자리로 표시된다; 선택지: (A) $17$, (B) $19$, (C) $21$, (D) $22$, (E) $23$

구하는 것: 한 시각에 표시된 모든 숫자의 합이 될 수 있는 가장 큰 값

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

화면은 시 부분과 분 부분으로 깔끔하게 나뉘므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 부분의 숫자 합을 따로 크게 만든 뒤 더한다. 도구 #14(극단의 원리)로 각 부분을 가장 큰 숫자 합으로 밀어붙인다. 다만 시계에 표시된 수가 크다고 숫자 합이 큰 것은 아니므로, 무작정 $12$ 를 고르지 말고 경계값을 직접 따져 본다. 도구 #3(가능성 지우기)으로는 $12$ 시를 잘못 고를 때 나오는 함정 답을 걸러 낸다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.A.1 단계 1

화면을 두 부분으로 쪼개기

시계에 보이는 숫자는 두 칸에서 나온다.
시($1$ 부터 $12$ 까지의 수)와 분($00$ 부터 $59$ 까지의 두 자리 수)이다.
오전/오후 글자와 쌍점에는 숫자가 없다.
시를 고르는 것과 분을 고르는 것은 서로 영향을 주지 않으므로, 각 부분을 따로 최대로 만든 뒤 두 합을 더하면 된다.

$$\text{전체 숫자 합} = (\text{시의 숫자 합}) + (\text{분의 숫자 합})$$

💡 시와 분은 따로따로 고르므로, 가장 좋은 화면은 가장 좋은 시와 가장 좋은 분을 짝지은 것이다.

#14 극단의 원리 1.NBT.B.2 단계 2

시의 숫자를 가장 크게 만들기

시는 $1$ 부터 $12$ 까지다.
가장 큰 수라서 $12$ 를 고르고 싶지만, 그 숫자 합은 $1 + 2 = 3$ 밖에 안 된다.
한 자리 시는 자리가 하나뿐이고, 가장 큰 한 자리 숫자는 $9$ 이므로 숫자 합이 $9$ 다.
두 자리 시 $10, 11, 12$ 의 합은 각각 $1, 2, 3$ 으로 훨씬 작다.
따라서 시는 $9$ 가 숫자 합 $9$ 로 가장 좋다.

$$9 \to 9,\qquad 10 \to 1,\quad 11 \to 2,\quad 12 \to 3$$

💡 큰 수일수록 숫자가 작을 수 있으니, 가장 큰 시가 아니라 가장 큰 한 자리 숫자를 찾아라.

#14 극단의 원리 1.NBT.B.2 단계 3

분의 숫자를 가장 크게 만들기

분은 두 자리다.
십의 자리 숫자는 $0,1,2,3,4,5$ 중에서만 될 수 있으므로($60$ 분이 되지 않으니), 가장 큰 값은 $5$ 다.
일의 자리 숫자는 $0$ 부터 $9$ 까지 자유로우므로 가장 큰 값은 $9$ 다.
각 자리에 허용된 가장 큰 숫자를 넣으면 $59$ 가 되고, 숫자 합은 $5 + 9 = 14$ 다.

$$59 \to 5 + 9 = 14$$

💡 각 자리에 그 자리가 담을 수 있는 가장 큰 숫자를 채우면 분은 $59$ 에 이른다.

#3 가능성 지우기 2.NBT.B.5 단계 4

가장 좋은 두 부분 더하기

가장 좋은 시는 $9$ 를 보태고 가장 좋은 분은 $14$ 를 보태므로, 화면 $9\!:\!59$ 의 숫자 합은 $9 + 14 = 23$ 이다.
이것이 선택지 (E)다.
함정 답 $17$ 은 시를 $12$ 로 잘못 고를 때 나온다.
$1 + 2 + 5 + 9 = 17$ 로 선택지 (A)인데, 숫자 합에서는 $9$ 가 $12$ 를 이긴다는 것을 잘 보여 준다.

$$9 + 14 = 23 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 가장 좋은 시와 가장 좋은 분이 $9\!:\!59$ 로 합쳐져, 숫자가 가장 굵은 단 하나의 화면이 된다.

[1] #7 3.MD.A.1 시계에 보이는 숫자는 두 칸에서 나온다. 시($1$ 부터 $12$ 까지의 수)와 분($00$ 부터 $59$ 까지의 두 자리 수)이다. 오전/오후

[2] #14 1.NBT.B.2 시는 $1$ 부터 $12$ 까지다. 가장 큰 수라서 $12$ 를 고르고 싶지만, 그 숫자 합은 $1 + 2 = 3$ 밖에 안 된다. 한 자리 시

[3] #14 1.NBT.B.2 분은 두 자리다. 십의 자리 숫자는 $0,1,2,3,4,5$ 중에서만 될 수 있으므로($60$ 분이 되지 않으니), 가장 큰 값은 $5$ 다.

[4] #3 2.NBT.B.5 가장 좋은 시는 $9$ 를 보태고 가장 좋은 분은 $14$ 를 보태므로, 화면 $9\!:\!59$ 의 숫자 합은 $9 + 14 = 23$ 이다.

검토

합리성 확인: 화면 $9\!:\!59$ 는 숫자 $9, 5, 9$ 를 쓰고 $9 + 5 + 9 = 23$ 으로 (E)와 맞는다. 어떤 자리도 이보다 더 잘할 수 없다. 일의 자리는 이미 $9$ 로 최대이고, 분의 십의 자리는 $5$ 로 막혀 있으며, 어떤 시도 한 자리 $9$ 를 이기지 못한다($10,11,12$ 의 숫자 합은 $1,2,3$). 따라서 가능한 가장 큰 합은 $9 + 5 + 9 = 23$ 이고 더 올릴 수 없으므로, $17$ 부터 $22$ 까지의 선택지는 모두 진다.

대안 접근: 각 숫자 칸의 한계를 따로 정해 더한다. 시에서 쓸 수 있는 가장 큰 숫자 합은 $9$(시 $9$ 에서), 분의 십의 자리는 최대 $5$, 분의 일의 자리는 최대 $9$ 다. 한계들을 더하면 $9 + 5 + 9 = 23$ 이고, 시각 $9\!:\!59$ 가 세 한계를 동시에 실제로 달성하므로 $23$ 은 정말로 도달 가능하다 — (E)가 확정된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

3.MD.A.1 Tell and write time to the nearest minute (화면의 시가 $1$–$12$, 분이 $00$–$59$ 로 움직인다는 것을 알아 허용된 숫자를 정하기.)
1.NBT.B.2 Understand that the two digits of a two-digit number represent amounts of tens and ones (분의 십의 자리는 $5$ 에서 막히고 일의 자리는 $9$ 까지 갈 수 있음을, 그리고 시 $9$ 가 $12$ 보다 숫자 합이 큼을 파악하기.)
2.NBT.B.5 Fluently add and subtract within 100 using strategies based on place value (가장 좋은 시의 합과 가장 좋은 분의 합을 더하기, $9 + 14 = 23$.)

⭐ 각 자리를 따로따로 살찌워라 — 시는 $12$ 가 아니라 $9$, 분은 $59$ 로 하면 $9 + 5 + 9 = 23$ 이다.