AMC 10 · 2006 · #8

학년 8 algebra
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
systems-of-equationsquadratic-equationsvieta-formulas convert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equations
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
방정식 y=x2+bx+cy = x^2 + bx + c인 포물선이 두 점 (2,3)(2,3)과 (4,3)(4,3)을 지난다. 최고차항의 계수는 1로 고정되어 있고, b와 c는 미지의 상수다. 상수항 c의 값을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
5
(C)
7
(D)
10
(E)
11

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

방정식에는 이미 미지 상수 b 와 c 가 들어 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)는 이 둘을 구할 대상으로 삼아 각 '지난다'는 조건을 방정식으로 바꾸라고 말한다. 그러면 미지수 두 개짜리 방정식 두 개가 생긴다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 단계로 나눈다 — 먼저 c 를 소거해 b 를 정하고, 그다음 b 로 c 를 되찾는다 — 둘을 한꺼번에 공략하지 않는다. 도구 #3(가능성 지우기)은 안전장치다: c 는 다섯 개 값 중 하나여야 하므로, 선택지 밖의 답이 나오면 계산 실수를 알려준다.

1STEP 1

각 점을 방정식으로 바꾸기

각 점을 대입하면 4+2b+c=34 + 2b + c = 3, 16+4b+c=316 + 4b + c = 3, 즉 2b+c=−12b + c = -1과 4b+c=−134b + c = -13.

4 + 2b + c = 3 → 2b + c = -1; 16 + 4b + c = 3 → 4b + c = -13
2STEP 2

빼서 c 를 없애고 b 구하기

두 식 모두 +c를 하나씩 가지므로 둘째에서 첫째를 빼면 c가 사라진다: 2b=−122b = -12, 즉 b=−6b = -6.

(4b + c) - (2b + c) = -13 - (-1) → 2b = -12 → b = -6
3STEP 3

대입해서 c 구하기

b=−6b = -6을 2b+c=−12b + c = -1에 도로 넣으면 −12+c=−1-12 + c = -1, 따라서 c=11c = 11 — 선택지 (E).

2(-6) + c = -1 → -12 + c = -1 → c = 11 → (E)
정답
11
b = -6, c = 11로 포물선을 다시 세운다: y = x² - 6x + 11. 주어진 두 점을 확인하면 — x = 2일 때 4 - 12 + 11 = 3, x = 4일 때 16 - 24 + 11 = 3 — 둘 다 요구대로 y = 3에 놓인다. 상수항 c = 11은 y 절편이고, 꼭짓점이 x = 3에서 높이 9 - 18 + 11 = 2에 있으므로, x가 3에서 0으로 갈수록 곡선이 2에서 11로 올라간다 — 앞뒤가 맞는다. 값 11은 선택지 (E)다.
💡핵심 정리

각 점을 방정식에 넣어 두 개의 식을 만든 뒤 서로 빼면 공통의 c가 지워진다 — 그러면 b가 나오고, 한 번 더 대입하면 c = 11이 나온다.

  • 각 점을 방정식으로 바꾸기
  • 빼서 c 를 없애고 b 구하기
  • 대입해서 c 구하기

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