AMC 10 · 2006 · #8

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

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📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

방정식 $y=x^2+bx+c$ 인 포물선이 두 점 $(2,3)$ 과 $(4,3)$ 을 지난다. $c$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 방정식 $y = x^2 + bx + c$ 인 포물선이 두 점 $(2,3)$ 과 $(4,3)$ 을 지난다. 최고차항의 계수는 $1$ 로 고정되어 있고, $b$ 와 $c$ 는 미지의 상수다. 상수항 $c$ 의 값을 구하라.

주어진 것: 포물선의 방정식은 $y = x^2 + bx + c$ (최고차항 계수는 $1$ 로 고정); 점 $(2,3)$ 을 지난다; 점 $(4,3)$ 을 지난다; 선택지: (A) $2$, (B) $5$, (C) $7$, (D) $10$, (E) $11$

구하는 것: 상수항 $c$ (도중에 $b$ 도 함께 구함)

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

방정식에는 이미 미지 상수 $b$ 와 $c$ 가 들어 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)는 이 둘을 구할 대상으로 삼아 각 '지난다'는 조건을 방정식으로 바꾸라고 말한다. 그러면 미지수 두 개짜리 방정식 두 개가 생긴다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 단계로 나눈다 — 먼저 $c$ 를 소거해 $b$ 를 정하고, 그다음 $b$ 로 $c$ 를 되찾는다 — 둘을 한꺼번에 공략하지 않는다. 도구 #3(가능성 지우기)은 안전장치다: $c$ 는 다섯 개 값 중 하나여야 하므로, 선택지 밖의 답이 나오면 계산 실수를 알려준다.

실행 — 정답: E

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

각 점을 방정식으로 바꾸기

점이 포물선 위에 있다는 것은 곧 그 좌표가 방정식을 만족한다는 뜻이므로, 각 점의 $x$ 와 $y$ 를 대입한다.
$(2,3)$ 에 대해: $3 = 2^2 + 2b + c = 4 + 2b + c$ 이고 정리하면 $2b + c = -1$.
$(4,3)$ 에 대해: $3 = 4^2 + 4b + c = 16 + 4b + c$ 이고 정리하면 $4b + c = -13$.
이제 미지수 $b$, $c$ 두 개짜리 방정식이 두 개 생겼다.

$$4 + 2b + c = 3 \Rightarrow 2b + c = -1; \qquad 16 + 4b + c = 3 \Rightarrow 4b + c = -13$$

💡 점은 그 좌표를 방정식에 넣었을 때 양변이 같아지는 바로 그때 곡선 위에 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.8 단계 2

빼서 c 를 없애고 b 구하기

두 방정식 모두 $+c$ 를 하나씩 갖고 있으므로, 둘째에서 첫째를 빼면 $c$ 항이 사라지고 $b$ 만 남는다: $(4b + c) - (2b + c) = -13 - (-1)$ 에서 $2b = -12$, 즉 $b = -6$.
이렇게 미지수 하나를 소거하면 두 방정식이 쉬운 하나로 바뀐다.

$$(4b + c) - (2b + c) = -13 - (-1) \Rightarrow 2b = -12 \Rightarrow b = -6$$

💡 두 방정식이 똑같은 $+c$ 를 가지면, 서로 빼는 순간 $c$ 가 지워지고 다른 미지수가 홀로 남는다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.8 단계 3

대입해서 c 구하기

$b = -6$ 을 첫째 방정식 $2b + c = -1$ 에 도로 넣는다: $2(-6) + c = -1$ 이므로 $-12 + c = -1$, 따라서 $c = 11$.
이 값은 선택지에 있으며 (E)와 일치한다.

$$2(-6) + c = -1 \Rightarrow -12 + c = -1 \Rightarrow c = 11 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 미지수 하나가 정해지면, 원래 방정식이 나머지 하나를 한 번에 내어준다.

[1] #4 6.EE.A.2 점이 포물선 위에 있다는 것은 곧 그 좌표가 방정식을 만족한다는 뜻이므로, 각 점의 $x$ 와 $y$ 를 대입한다. $(2,3)$ 에 대해: $

[2] #7 8.EE.C.8 두 방정식 모두 $+c$ 를 하나씩 갖고 있으므로, 둘째에서 첫째를 빼면 $c$ 항이 사라지고 $b$ 만 남는다: $(4b + c) - (2b

[3] #4 8.EE.C.8 $b = -6$ 을 첫째 방정식 $2b + c = -1$ 에 도로 넣는다: $2(-6) + c = -1$ 이므로 $-12 + c = -1$, 따

검토

합리성 확인: $b = -6$, $c = 11$ 로 포물선을 다시 세운다: $y = x^2 - 6x + 11$. 주어진 두 점을 확인하면 — $x = 2$ 일 때 $4 - 12 + 11 = 3$, $x = 4$ 일 때 $16 - 24 + 11 = 3$ — 둘 다 요구대로 $y = 3$ 에 놓인다. 상수항 $c = 11$ 은 $y$ 절편이고, 꼭짓점이 $x = 3$ 에서 높이 $9 - 18 + 11 = 2$ 에 있으므로, $x$ 가 $3$ 에서 $0$ 으로 갈수록 곡선이 $2$ 에서 $11$ 로 올라간다 — 앞뒤가 맞는다. 값 $11$ 은 선택지 (E)다.

대안 접근: $b$ 를 구하지 않고 근을 직접 쓸 수도 있다. 두 점 모두 $y = 3$ 이므로 $x = 2$ 와 $x = 4$ 는 정확히 $x^2 + bx + c = 3$, 즉 $x^2 + bx + (c - 3) = 0$ 의 두 해다. 근이 $2$, $4$ 인 최고차항 계수 $1$ 짜리 이차식은 $(x - 2)(x - 4) = x^2 - 6x + 8$ 이므로, 상수항은 두 근의 곱과 같다: $c - 3 = 2 \cdot 4 = 8$, 따라서 $c = 11$ (그리고 $b = -6$). 같은 답 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (각 점을 $x^2 + bx + c$ 에 대입할 때 제곱 $2^2 = 4$ 와 $4^2 = 16$ 을 계산하기.)
6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (점 $(2,3)$ 과 $(4,3)$ 의 좌표를 $y = x^2 + bx + c$ 에 대입해 각 조건에서 방정식을 만들기.)
8.EE.C.8 Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations (연립방정식 $2b + c = -1$ 과 $4b + c = -13$ 을 소거와 대입으로 풀어 $b$ 를, 이어서 $c$ 를 구하기.)

⭐ 각 점을 방정식에 넣어 두 개의 식을 만든 뒤 서로 빼면 공통의 $c$ 가 지워진다 — 그러면 $b$ 가 나오고, 한 번 더 대입하면 $c$ 가 나온다.