AMC 10 · 2006 · #10

학년 7 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

polygon-inequalitylinear-equations-one-varoptimization bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: polygon-inequality

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

세 변의 길이가 모두 정수인 삼각형에서, 한 변의 길이는 다른 한 변의 길이의 세 배이고, 나머지 한 변의 길이는 $15$ 이다. 이 삼각형의 가능한 가장 큰 둘레의 길이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 변의 길이가 모두 정수인 삼각형이 있다. 한 변은 다른 한 변의 길이의 정확히 세 배이고, 나머지 변의 길이는 $15$이다. 이런 삼각형이 가질 수 있는 가장 큰 둘레를 구하여라.

주어진 것: 세 변의 길이는 모두 정수이다; 한 변은 다른 한 변의 길이의 정확히 세 배이다; 남은 (세 번째) 변의 길이는 $15$이다; 선택지: (A) $43$, (B) $44$, (C) $45$, (D) $46$, (E) $47$

구하는 것: 삼각형이 가질 수 있는 가장 큰 둘레

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

문제는 가장 큰 둘레를 물어보는데, 둘레가 $4x+15$이므로 이는 곧 규칙이 허락하는 한 $x$를 최대한 크게 밀어붙이는 것을 뜻한다 — 답이 맨 위쪽 경계에 있는 도구 #14(극단의 원리)의 전형적인 쓰임이다. 그 경계가 어디인지 찾기 위해 도구 #4(변수 도입하기)로 짧은 관련 변을 $x$라 놓고 세 변을 $x$, $3x$, $15$로 쓴 뒤 삼각형 조건을 부등식으로 바꾼다. 이어서 도구 #3(가능성 지우기)이 실제 삼각형을 이루기에 너무 큰 $x$를 걸러낸다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

한 문자로 변을 이름 붙이기

서로 관련된 두 변 중 짧은 변의 길이를 $x$라 하자.
그러면 세 배 긴 변은 $3x$이고, 세 번째 변은 $15$이다.
이제 모든 변이 $x$로 표현되고, 둘레는 $x+3x+15=4x+15$이다.

$$\text{세 변}=x,\;3x,\;15,\qquad \text{둘레}=4x+15$$

💡 세 변을 모두 하나의 미지수로 쓰면 둘레가 그 한 수만의 식이 된다.

#4 변수 도입하기 7.G.A.2 단계 2

삼각형 조건 세우기

세 길이가 실제 삼각형을 이루려면 각 변이 나머지 두 변의 합보다 짧아야 한다.
각 변을 다른 두 변과 비교하면 $x+3x>15$, $x+15>3x$, $3x+15>x$가 나온다.
마지막 $3x+15>x$는 항상 참이므로, 앞의 두 개만 의미가 있다.

$$x+3x>15,\qquad x+15>3x$$

💡 한 변이 나머지 두 변을 합친 만큼 길다면 삼각형이 닫히지 못하고 곧은 선으로 납작해진다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 3

두 부등식을 x에 대해 풀기

각 조건을 정리하자.
$x+3x>15$에서 $4x>15$이므로 $x>3.75$.
$x+15>3x$에서 $15>2x$이므로 $x<7.5$.
합치면 $3.75<x<7.5$.
$x$는 정수여야 하므로 가능한 값은 $x=4,5,6,7$이다.

$$4x>15\Rightarrow x>3.75;\quad 15>2x\Rightarrow x<7.5;\quad x\in\{4,5,6,7\}$$

💡 두 삼각형 규칙이 $x$를 아래 바닥과 위 천장 사이에 가두어, 허용되는 정수는 짧은 목록만 남는다.

#14 극단의 원리 4.OA.A.3 단계 4

가장 큰 x를 골라 변을 더하기

둘레를 가장 크게 하려면 허용되는 가장 큰 값 $x=7$을 택한다.
세 변은 $7$, $21$, $15$이다.
가장 빡빡한 조건을 확인하면 $7+15=22>21$이므로 정말로 삼각형이 된다.
둘레는 $7+21+15=43$이다.
($x=8$이면 세 변이 $8,24,15$인데 $8+15=23<24$라 무너지므로 $x=7$이 진짜 천장이다.) 답은 $43$, 선택지 (A)이다.

$$x=7:\;7+21+15=43\quad(7+15=22>21)\;\Rightarrow\;\textbf{(A)}$$

💡 둘레는 $x$와 함께 커지므로, 허용되는 가장 큰 $x$가 가장 큰 둘레를 준다 — 더 작은 값들은 시험할 필요가 없다.

[1] #4 6.EE.B.6 서로 관련된 두 변 중 짧은 변의 길이를 $x$라 하자. 그러면 세 배 긴 변은 $3x$이고, 세 번째 변은 $15$이다. 이제 모든 변이 $x

[2] #4 7.G.A.2 세 길이가 실제 삼각형을 이루려면 각 변이 나머지 두 변의 합보다 짧아야 한다. 각 변을 다른 두 변과 비교하면 $x+3x>15$, $x+15>

[3] #4 7.EE.B.4 각 조건을 정리하자. $x+3x>15$에서 $4x>15$이므로 $x>3.75$. $x+15>3x$에서 $15>2x$이므로 $x<7.5$. 합치면

[4] #14 4.OA.A.3 둘레를 가장 크게 하려면 허용되는 가장 큰 값 $x=7$을 택한다. 세 변은 $7$, $21$, $15$이다. 가장 빡빡한 조건을 확인하면 $7

검토

합리성 확인: 정답 삼각형의 세 변은 $7$, $21$, $15$로 모두 정수이고, $21=3\times 7$이며 세 번째 변이 $15$이므로 모든 조건을 만족한다. 두 짧은 변이 긴 변을 가까스로 넘어 $7+15=22>21$이 되므로 삼각형이 겨우 성립하는데, 이는 최댓값에서 기대되는 모습 그대로다. 더 큰 선택지 $44,45,46,47$은 모두 $x>7$을 필요로 하는데 이는 삼각형 부등식을 어기므로, 도달 가능한 값은 $43$뿐이다.

대안 접근: 부등식을 기호로 푸는 대신 위에서부터 정수를 직접 대입해 본다. $x=8$이면 $8,24,15$이고 $8+15=23<24$ (실패); $x=7$이면 $7,21,15$이고 $7+15=22>21$ (성공). 위에서 처음 성공하는 값이 최댓값이므로 둘레는 $7+21+15=43$, 선택지 (A)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (짧은 관련 변을 $x$라 놓고 세 변을 $x$, $3x$, $15$로, 둘레를 $4x+15$로 표현함.)
7.G.A.2 Draw geometric shapes with given conditions including triangles (세 길이가 삼각형을 이루려면 각 변이 나머지 두 변의 합보다 작아야 한다는 규칙을 적용함.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities ($4x>15$와 $15>2x$를 세우고 풀어 $x$를 $3.75<x<7.5$에 가둠.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (극단값 $x=7$에서 $7+21+15$을 더해 둘레 $43$을 구함.)

⭐ 가장 큰 답을 묻는 문제에서는 규칙이 허락하는 경계를 찾아 그 끝까지 밀어붙여라 — 여기서는 삼각형 부등식이 짧은 변을 $7$로 막아 둘레 $43$이 된다.