AMC 10 · 2006 · #10
학년 7 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
문제는 가장 큰 둘레를 물어보는데, 둘레가 4x+15이므로 이는 곧 규칙이 허락하는 한 x를 최대한 크게 밀어붙이는 것을 뜻한다 — 답이 맨 위쪽 경계에 있는 도구 #14(극단의 원리)의 전형적인 쓰임이다. 그 경계가 어디인지 찾기 위해 도구 #4(변수 도입하기)로 짧은 관련 변을 x라 놓고 세 변을 x, 3x, 15로 쓴 뒤 삼각형 조건을 부등식으로 바꾼다. 이어서 도구 #3(가능성 지우기)이 실제 삼각형을 이루기에 너무 큰 x를 걸러낸다.
한 문자로 변을 이름 붙이기
짧은 쪽 관련 변을 x라 하면 세 변은 x, 3x, 15이고, 둘레는 4x+15이다.
세 변을 모두 하나의 미지수로 쓰면 둘레가 그 한 수만의 식이 된다.
6.EE.B.6Introduce A Variable삼각형 조건 세우기
각 변은 나머지 두 변의 합보다 짧아야 하므로 x+3x ＞ 15, x+15 ＞ 3x이다. 3x+15 ＞ x는 항상 참이다.
한 변이 나머지 두 변을 합친 만큼 길다면 삼각형이 닫히지 못하고 곧은 선으로 납작해진다.
한 변이 나머지 두 변을 합친 만큼 길다면, 삼각형은 납작해져 직선이 되고 만다.
▸ 왜?
어느 두 변이든 합쳐서 남은 한 변보다 길어야 하며, 그렇지 않으면 끝이 만나지 못한다.
▸ 왜?
그 비교들이 사슬처럼 이어져, 미지수를 아래와 위 사이에 가둔다.
두 부등식을 x에 대해 풀기
정리하면 x ＞ 3.75이고 x ＜ 7.5이므로, 가능한 정수 x는 4, 5, 6, 7뿐이다.
두 삼각형 규칙이 x를 아래 바닥과 위 천장 사이에 가두어, 허용되는 정수는 짧은 목록만 남는다.
7.EE.B.4Introduce A Variable가장 큰 x를 골라 변을 더하기
허용되는 가장 큰 값 x=7이면 세 변은 7, 21, 15이고 7+15=22 ＞ 21이 성립하니 둘레는 43, 선택지 (A)이다.
둘레는 x와 함께 커지므로, 허용되는 가장 큰 x가 가장 큰 둘레를 준다 — 더 작은 값들은 시험할 필요가 없다.
4.OA.A.3Extreme Principle가장 큰 답을 묻는 문제에서는 규칙이 허락하는 경계를 찾아 그 끝까지 밀어붙여라 — 여기서는 삼각형 부등식이 짧은 변을 7로 막아 둘레 43이 된다.
- 한 문자로 변을 이름 붙이기
- 삼각형 조건 세우기
- 두 부등식을 x에 대해 풀기
- 가장 큰 x를 골라 변을 더하기