AMC 10 · 2006 · #12

학년 8 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

systems-of-equationscoordinate-geometrylinear-equations-two-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 직선 $x=\frac{1}{4}y+a$ 와 $y=\frac{1}{4}x+b$ 가 점 $(1,2)$ 에서 만난다. $a+b$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\frac{3}{4}$

(C)

(D)

(E)

$\frac{9}{4}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 직선 $x=\frac{1}{4}y+a$와 $y=\frac{1}{4}x+b$가 점 $(1,2)$에서 서로 만난다. $a+b$의 값을 구하여라.

주어진 것: 첫 번째 직선은 $x=\frac{1}{4}y+a$이다; 두 번째 직선은 $y=\frac{1}{4}x+b$이다; 두 직선은 점 $(1,2)$에서 만나므로 그 점에서 $x=1$, $y=2$이다; 선택지: (A) $0$, (B) $\frac{3}{4}$, (C) $1$, (D) $2$, (E) $\frac{9}{4}$

구하는 것: 상수 $a$; 상수 $b$; 그 합 $a+b$

이해

문제 재정리: 두 직선 $x=\frac{1}{4}y+a$와 $y=\frac{1}{4}x+b$가 점 $(1,2)$에서 서로 만난다. $a+b$의 값을 구하여라.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #15 다르게 정리하기, #3 가능성 지우기

점 $(1,2)$는 두 직선이 만나는 곳이므로, 그 점은 각 직선 위에 있고 따라서 그 좌표는 두 방정식을 모두 만족해야 한다. 도구 #4(변수 도입하기)는 사실 미지수에 대한 방정식을 세우고 푸는 것인데, 여기서는 $a$와 $b$가 미지수이고 $x=1,\,y=2$를 대입하면 각 두 변수 직선이 미지수가 하나뿐인 한 줄짜리 방정식으로 바뀌어 (첫 번째에서) $a$와 (두 번째에서) $b$를 내어준다. 이를 더하면 $a+b$가 된다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 더 매끄러운 길을 준다 — 대입하기 전에 두 원래 방정식을 더하면 $a+b$가 한 단계에서 함께 나타난다. 이어서 도구 #3(가능성 지우기)이 그 결과를 다섯 선택지와 대조해 확인한다.

실행 — 정답: E

#4 변수 도입하기 8.EE.C.8 단계 1

점이 두 직선 위에 있음을 이용하기

두 직선이 $(1,2)$에서 만난다는 것은 이 한 점이 첫 번째 직선 위에도, 두 번째 직선 위에도 동시에 있다는 뜻이다.
어떤 점이 직선 위에 있다는 것은 그 좌표가 그 직선의 방정식을 참이 되게 한다는 것과 같다.
따라서 $x=1$과 $y=2$가 두 방정식을 모두 만족해야 한다.
이 덕분에 $x$와 $y$를 대입해 넣고 남은 상수를 읽어낼 수 있다.

$$(1,2)\text{가 두 직선 위}\;\Rightarrow\;x=1,\;y=2\text{가 각 방정식을 만족}$$

💡 교점은 두 직선이 유일하게 일치하는 곳이므로 두 규칙을 한꺼번에 따른다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 2

첫 번째 직선에 점을 대입해 a 구하기

첫 번째 직선은 $x=\frac{1}{4}y+a$이다.
$x=1$, $y=2$를 넣으면 $1=\frac{1}{4}\cdot 2+a=\frac{1}{2}+a$가 된다.
이제 미지수가 $a$뿐인 간단한 방정식이다.
양변에서 $\frac{1}{2}$를 빼면 $a=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$이다.

$$1=\tfrac{1}{4}(2)+a=\tfrac{1}{2}+a\;\Rightarrow\;a=\tfrac{1}{2}$$

💡 점을 대입하고 나면 방정식을 맞추기 위해 남은 것은 $a$ 자신뿐이다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 3

두 번째 직선에 점을 대입해 b 구하기

두 번째 직선은 $y=\frac{1}{4}x+b$이다.
$x=1$, $y=2$를 넣으면 $2=\frac{1}{4}\cdot 1+b=\frac{1}{4}+b$가 된다.
양변에서 $\frac{1}{4}$를 빼면 $b=2-\frac{1}{4}=\frac{8}{4}-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$이다.

$$2=\tfrac{1}{4}(1)+b=\tfrac{1}{4}+b\;\Rightarrow\;b=\tfrac{7}{4}$$

💡 같은 대입 기법이 두 번째 방정식에서도 $b$만 남기고 모두 비운다.

#4 변수 도입하기 5.NF.A.1 단계 4

a와 b 더하기

이제 두 상수를 더한다.
$a+b=\frac{1}{2}+\frac{7}{4}$이다.
분모를 맞추기 위해 $\frac{1}{2}$을 $\frac{2}{4}$로 고쳐 쓰면 $\frac{2}{4}+\frac{7}{4}=\frac{9}{4}$이다.
따라서 $a+b=\frac{9}{4}$, 선택지 (E)이다.

$$a+b=\tfrac{1}{2}+\tfrac{7}{4}=\tfrac{2}{4}+\tfrac{7}{4}=\tfrac{9}{4}\;\Rightarrow\;\textbf{(E)}$$

💡 분수를 더하려면 먼저 분모를 같게 만든 뒤 분자만 더하면 된다.

[1] #4 8.EE.C.8 두 직선이 $(1,2)$에서 만난다는 것은 이 한 점이 첫 번째 직선 위에도, 두 번째 직선 위에도 동시에 있다는 뜻이다. 어떤 점이 직선 위에

[2] #4 6.EE.B.7 첫 번째 직선은 $x=\frac{1}{4}y+a$이다. $x=1$, $y=2$를 넣으면 $1=\frac{1}{4}\cdot 2+a=\frac{1

[3] #4 6.EE.B.7 두 번째 직선은 $y=\frac{1}{4}x+b$이다. $x=1$, $y=2$를 넣으면 $2=\frac{1}{4}\cdot 1+b=\frac{1

[4] #4 5.NF.A.1 이제 두 상수를 더한다. $a+b=\frac{1}{2}+\frac{7}{4}$이다. 분모를 맞추기 위해 $\frac{1}{2}$을 $\frac{

검토

합리성 확인: 구한 상수를 직선에 다시 넣어 확인하자. 첫 번째 직선: $\frac{1}{4}(2)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1=x$. 두 번째 직선: $\frac{1}{4}(1)+\frac{7}{4}=\frac{1}{4}+\frac{7}{4}=\frac{8}{4}=2=y$. 두 방정식 모두 $(1,2)$에서 성립하므로 $a=\frac{1}{2}$, $b=\frac{7}{4}$가 맞고 $a+b=\frac{9}{4}$이다. 그 합은 $2$보다 조금 크며, 이는 가장 큰 선택지 (E)와 들어맞는다.

대안 접근: 대입하기 전에 두 원래 방정식을 더한다. $x+y=\frac{1}{4}y+a+\frac{1}{4}x+b=\frac{1}{4}(x+y)+(a+b)$이므로 $\frac{3}{4}(x+y)=a+b$이다. 점 $(1,2)$에서 $x+y=3$이므로 $a+b=\frac{3}{4}\cdot 3=\frac{9}{4}$을 한 번에 얻는다 — 선택지 (E). 이 지름길은 $a$와 $b$를 따로 구하지 않고도 $a+b$를 곧바로 찾아낸다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.C.8 Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations (교점 $(1,2)$가 두 직선 위에 모두 있으므로 두 방정식을 동시에 만족해야 함을 인식함.)
6.EE.B.7 Solve real-world and mathematical problems by writing and solving equations of the form $x + p = q$ (점을 대입해 $1=\frac{1}{2}+a$와 $2=\frac{1}{4}+b$를 얻고 각각을 상수에 대해 풂.)
5.NF.A.1 Add and subtract fractions with unlike denominators (분모를 맞추어 $a+b=\frac{1}{2}+\frac{7}{4}=\frac{2}{4}+\frac{7}{4}=\frac{9}{4}$을 계산함.)

⭐ 교점은 두 직선 위에 모두 있으므로 그 좌표를 각 방정식에 대입하라 — 나머지는 모두 사라지고 미지의 상수가 손안에 떨어진다.