AMC 10 · 2006 · #12

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

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📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 직선 x=(1/4)y+a와 y=(1/4)x+b가 주어져 있고, a와 b는 상수이다. 두 직선은 점 (1,2)에서 서로 만난다. a+b의 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\frac{3}{4}$

(C)

(D)

(E)

$\frac{9}{4}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

점 (1,2)는 두 직선이 만나는 곳이므로, 그 점은 각 직선 위에 있고 따라서 그 좌표는 두 방정식을 모두 만족해야 한다. 도구 #4(변수 도입하기)는 사실 미지수에 대한 방정식을 세우고 푸는 것인데, 여기서는 a와 b가 미지수이고 x=1, y=2를 대입하면 각 두 변수 직선이 미지수가 하나뿐인 한 줄짜리 방정식으로 바뀌어 (첫 번째에서) a와 (두 번째에서) b를 내어준다. 이를 더하면 a+b가 된다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 더 매끄러운 길을 준다 — 대입하기 전에 두 원래 방정식을 더하면 a+b가 한 단계에서 함께 나타난다. 이어서 도구 #3(가능성 지우기)이 그 결과를 다섯 선택지와 대조해 확인한다.

1STEP 1

점이 두 직선 위에 있음을 이용하기

두 직선이 (1,2)에서 만나므로 그 점은 양쪽 위에 있고, x=1과 y=2가 각 방정식을 만족해야 한다.

(1,2)가 두 직선 위 → x=1, y=2가 각 방정식을 만족

2STEP 2

첫 번째 직선에 점을 대입해 a 구하기

x=(1/4)y+a에 그 점을 넣으면 1=(1/4)·2+a=1/2+a이므로 a=1/2이다.

1=1/4(2)+a=1/2+a → a=1/2

3STEP 3

두 번째 직선에 점을 대입해 b 구하기

같은 점을 y=(1/4)x+b에 넣으면 2=(1/4)·1+b=1/4+b이므로 b=8/4-1/4=7/4이다.

2=1/4(1)+b=1/4+b → b=7/4

4STEP 4

a와 b 더하기

통분해서 더하면 a+b=1/2+7/4=2/4+7/4=9/4이고, 이는 선택지 (E)이다.

a+b=1/2+7/4=2/4+7/4=9/4 → (E)

정답

9/4

구한 상수를 직선에 다시 넣어 확인하자. 첫 번째 직선: 1/4(2)+1/2=1/2+1/2=1=x. 두 번째 직선: 1/4(1)+7/4=1/4+7/4=8/4=2=y. 두 방정식 모두 (1,2)에서 성립하므로 a=1/2, b=7/4가 맞고 a+b=9/4이다. 그 합은 2보다 조금 크며, 이는 가장 큰 선택지 (E)와 들어맞는다.

💡핵심 정리

교점은 두 직선 위에 모두 있으므로 그 좌표를 각 방정식에 대입하라 — 나머지는 모두 사라지고 미지의 상수가 손안에 떨어진다.

점이 두 직선 위에 있음을 이용하기
첫 번째 직선에 점을 대입해 a 구하기
두 번째 직선에 점을 대입해 b 구하기
a와 b 더하기

점이 두 직선 위에 있음을 이용하기

첫 번째 직선에 점을 대입해 a 구하기

두 번째 직선에 점을 대입해 b 구하기

a와 b 더하기

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