AMC 10 · 2006 · #17
학년 7 probability답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
두 주머니가 똑같아지는 모든 경우를 쫓으면 복잡해 보이므로, 도구 #16(관점 바꾸기)으로 목표를 다시 쓴다. Alice의 주머니는 그녀가 준 색 하나만 빠져 있으므로, 두 주머니가 똑같아지려면 Bob이 바로 그 색의 공을 되돌려주는 수밖에 없다. 이 단 하나의 조건이 문제의 전부다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 이동을 분리하여, 2단계를 걱정하기 전에 1단계 후 각 주머니에 무엇이 있는지 추적한다. 그다음 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 군더더기를 없앤다. 다섯 색이 똑같이 행동하므로 Alice가 특정한 한 색을 옮겼다고 놓고 Bob의 뽑기만 세면 되고, 문제는 간단한 확률 하나로 바뀐다.
두 번의 이동을 추적하기
1단계 후 Bob의 주머니는 6개, 그중 두 개가 Alice가 보낸 색이고, Alice의 주머니는 그 색이 빠진 4개다.
공을 한 단계씩 따라가면 각 주머니가 어떤 색을 아쉬워하는지 정확히 드러난다.
7.SP.C.8Identify Subproblems언제 두 주머니가 똑같아지는가
Alice의 주머니에 뚫린 구멍은 하나뿐이라, Bob이 그 색을 그대로 돌려줄 때만 두 주머니가 같아진다.
Alice의 주머니에는 구멍이 딱 하나이므로, 그 색만이 구멍을 메워 균형을 맞출 수 있다.
7.SP.C.8Change Focus Count The Complement옮긴 색은 중요하지 않다
다섯 색의 역할이 같으니 빨강을 옮겼다고 하자. Bob의 주머니는 빨강 둘에 나머지 네 색이 하나씩이다.
대칭성 덕분에 고정한 한 색이 모든 색을 대표하므로 문제를 한 번만 풀면 된다.
대칭 덕분에 정해진 한 색이 모든 색을 대신하므로, 문제를 한 번만 풀면 된다.
▸ 왜?
색은 아무것도 바꾸지 않고 서로 이름을 바꿔 붙일 수 있으므로, 각 경우가 다른 모든 경우와 맞아떨어진다.
▸ 왜?
어느 공이든 똑같이 뽑힐 만하므로, 어떤 색도 다른 색보다 유리하지 않다.
Bob의 뽑기를 계산하기
Bob의 공 6개는 뽑힐 확률이 모두 같고 그중 2개가 빨강이므로 확률은 2/6=1/3, 즉 (D)이다.
확률이 같은 여섯 개 중 유리한 공이 두 개이므로 확률은 그저 2/6이다.
7.SP.C.7Identify Subproblems두 주머니는 Bob이 Alice가 준 색을 그대로 되돌려줄 때에만 같아지고, 그 색 공이 여섯 개 중 두 개이므로 확률은 2/6=1/3이다.
- 두 번의 이동을 추적하기
- 언제 두 주머니가 똑같아지는가
- 옮긴 색은 중요하지 않다
- Bob의 뽑기를 계산하기