AMC 10 · 2006 · #17

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count

probability-basicsystematic-enumeration symmetry-argument ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Bob과 Alice는 각각 파랑, 초록, 주황, 빨강, 보라 색깔의 공을 하나씩 담은 주머니를 가지고 있다. Alice가 자신의 주머니에서 공을 하나 무작위로 골라 Bob의 주머니에 넣는다. 그러면 Bob이 자신의 주머니에서 공을 하나 무작위로 골라 Alice의 주머니에 넣는다. 이 과정이 끝난 후 두 주머니의 내용물이 같을 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{10}$

(B)

$\frac{1}{6}$

(C)

$\frac{1}{5}$

(D)

$\frac{1}{3}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Bob과 Alice는 각각 파랑, 초록, 주황, 빨강, 보라 다섯 가지 색의 공을 하나씩 담은 주머니를 가지고 있다. Alice가 자기 주머니에서 공 하나를 무작위로 꺼내 Bob의 주머니에 넣는다. 그다음 Bob이 (더 많아진) 자기 주머니에서 공 하나를 무작위로 꺼내 Alice의 주머니에 넣는다. 두 번의 이동이 끝난 뒤 두 주머니에 담긴 공이 완전히 똑같을 확률을 구하여라.

주어진 것: 각 주머니는 $5$가지 색의 공을 하나씩, 즉 $5$개씩 담고 시작한다; 1단계: Alice가 자기 공 $5$개 중 $1$개를 무작위로 골라 Bob의 주머니에 넣는다; 2단계: 그다음 Bob이 자기 공 중 $1$개를 무작위로 골라 Alice의 주머니에 넣는다; 선택지: (A) $\frac{1}{10}$, (B) $\frac{1}{6}$, (C) $\frac{1}{5}$, (D) $\frac{1}{3}$, (E) $\frac{1}{2}$

구하는 것: 두 주머니의 내용물이 똑같아질 확률

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기

두 주머니가 똑같아지는 모든 경우를 쫓으면 복잡해 보이므로, 도구 #16(관점 바꾸기)으로 목표를 다시 쓴다. Alice의 주머니는 그녀가 준 색 하나만 빠져 있으므로, 두 주머니가 똑같아지려면 Bob이 바로 그 색의 공을 되돌려주는 수밖에 없다. 이 단 하나의 조건이 문제의 전부다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 이동을 분리하여, 2단계를 걱정하기 전에 1단계 후 각 주머니에 무엇이 있는지 추적한다. 그다음 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 군더더기를 없앤다. 다섯 색이 똑같이 행동하므로 Alice가 특정한 한 색을 옮겼다고 놓고 Bob의 뽑기만 세면 되고, 문제는 간단한 확률 하나로 바뀐다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 1

두 번의 이동을 추적하기

과정을 두 단계로 나눈다.
1단계에서 Alice가 공 하나를 Bob에게 보내면 Bob의 주머니는 $6$개로 늘고 Alice의 주머니는 $4$개로 줄어, 그녀가 보낸 색 하나가 빠진다.
Alice가 어떤 색을 옮겼든 Bob의 주머니에는 이제 그 색의 공이 두 개(원래 있던 하나와 Alice가 준 하나) 있고 나머지 네 색은 하나씩 있다.
2단계에서 Bob은 자기 공 $6$개 중 하나를 뽑아 되돌려준다.

$$\text{Bob: 공 }6\text{개},\quad \text{Alice: 공 }4\text{개 (한 색 부족)}$$

💡 공을 한 단계씩 따라가면 각 주머니가 어떤 색을 아쉬워하는지 정확히 드러난다.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.8 단계 2

언제 두 주머니가 똑같아지는가

두 주머니가 같은 내용물을 담으려면 각각 다섯 색을 하나씩 다시 갖추어야 한다.
Alice의 주머니는 그녀가 준 색만 빠져 있으므로, 이를 메울 수 있는 공은 오직 그 같은 색의 공이 되돌아오는 경우뿐이다.
Bob이 다른 색을 돌려주면 Alice는 그 색이 두 개가 되고 보낸 색은 여전히 없어, 두 주머니는 같아질 수 없다.
따라서 '내용물이 똑같아짐'은 Bob이 Alice가 처음 옮긴 색의 공을 되돌려줄 때에만 일어난다.

$$\text{두 주머니 일치}\iff \text{Bob이 Alice가 옮긴 색을 되돌려줌}$$

💡 Alice의 주머니에는 구멍이 딱 하나이므로, 그 색만이 구멍을 메워 균형을 맞출 수 있다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.7 단계 3

옮긴 색은 중요하지 않다

다섯 색은 똑같은 역할을 하므로 Alice가 어떤 색을 옮겼는지는 아무 차이가 없다.
그녀가 빨강을 옮겼다고 하자.
그러면 Bob의 주머니에는 빨강 두 개와 파랑, 초록, 주황, 보라가 하나씩, 모두 $6$개가 있다.
이제 문제는 오직 '되돌려줄 공으로 Bob이 빨강을 뽑을 확률은 얼마인가?'로 줄어든다.

$$\text{Bob의 주머니}=\{\text{빨강, 빨강, 파랑, 초록, 주황, 보라}\}$$

💡 대칭성 덕분에 고정한 한 색이 모든 색을 대표하므로 문제를 한 번만 풀면 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 4

Bob의 뽑기를 계산하기

Bob은 자기 공 $6$개 중 하나를 무작위로 뽑고, 각 공이 뽑힐 확률은 같다.
$6$개 중 두 개가 빨강, 즉 두 주머니를 같아지게 하는 색이므로 확률은 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$이다.
이것이 내용물이 똑같아질 확률이며, 선택지 (D)이다.

$$P=\dfrac{\text{빨강 공}}{\text{전체 공}}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$$

💡 확률이 같은 여섯 개 중 유리한 공이 두 개이므로 확률은 그저 $\frac{2}{6}$이다.

[1] #7 7.SP.C.8 과정을 두 단계로 나눈다. 1단계에서 Alice가 공 하나를 Bob에게 보내면 Bob의 주머니는 $6$개로 늘고 Alice의 주머니는 $4$개로

[2] #16 7.SP.C.8 두 주머니가 같은 내용물을 담으려면 각각 다섯 색을 하나씩 다시 갖추어야 한다. Alice의 주머니는 그녀가 준 색만 빠져 있으므로, 이를 메울

[3] #9 7.SP.C.7 다섯 색은 똑같은 역할을 하므로 Alice가 어떤 색을 옮겼는지는 아무 차이가 없다. 그녀가 빨강을 옮겼다고 하자. 그러면 Bob의 주머니에는

[4] #7 7.SP.C.7 Bob은 자기 공 $6$개 중 하나를 무작위로 뽑고, 각 공이 뽑힐 확률은 같다. $6$개 중 두 개가 빨강, 즉 두 주머니를 같아지게 하는 색

검토

합리성 확인: 답 $\frac{1}{3}$은 $0$과 $1$ 사이의 타당한 확률이다. 간단히 점검하면, Bob은 Alice가 뺀 그 색을 되돌려줘야 하는데 그 색 공이 여섯 개 중 두 개이므로 삼분의 일쯤이 자연스럽다. 색이 두 개로 늘어 맞힐 확률이 커졌으니 (한 색을 다섯 개 중 하나로 볼 때의) $\frac{1}{5}$보다는 분명히 크고, $\frac{1}{2}$보다는 충분히 작다. 따라서 (A), (B), (C), (E)가 배제되고 (D)가 남는다.

대안 접근: 대칭성 지름길을 쓰지 않고 경우의 수를 직접 센다. Alice가 옮길 수 있는 색은 확률이 같은 $5$가지, Bob이 되돌려줄 공은 확률이 같은 $6$가지이므로 (옮김, 되돌림) 쌍은 모두 $5\times 6=30$가지로 확률이 같다. Alice의 각 선택마다 Bob의 공 $6$개 중 정확히 $2$개가 같은 색이므로 두 주머니를 일치시키는 쌍은 $5\times 2=10$가지다. 확률은 $\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$로 (D)를 확인한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (두 번의 이동 과정을 추적하고, 두 주머니가 일치하는 단 하나의 조건(Bob이 옮긴 색을 되돌려줌)을 찾는 데 사용.)
7.SP.C.7 Develop probability models and use them to find probabilities of events (Bob의 공 여섯 개를 확률이 같은 것으로 보고 빨강 두 개 중 하나를 뽑을 확률을 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$로 계산하는 데 사용.)

⭐ 두 주머니는 Bob이 Alice가 준 색을 그대로 되돌려줄 때에만 같아지고, 그 색 공이 여섯 개 중 두 개이므로 확률은 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$이다.