AMC 10 · 2006 · #18

학년 6 arithmetic

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Position-in-Cycle Lookup

recursive-sequencepattern-recognitionmodular-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: recursive-sequence

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$a_1 , a_2 , ...$ 가 $a_1=2$ , $a_2=3$ 이고 모든 양의 정수 $n \ge 3$ 에 대해 $a_n=\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}$ 을 만족하는 수열이라고 하자. $a_{2006}$ 은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{2}$

(B)

$\frac{2}{3}$

(C)

$\frac{3}{2}$

(D)

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 수열이 a_1 = 2, a_2 = 3으로 시작한다. 세 번째 항부터는 각 항이 바로 앞 항을 그 앞 항으로 나눈 값과 같다: a_n = a_{n-1} / a_{n-2}. 2006번째 항의 값을 구하여라.

주어진 것: a_1 = 2; a_2 = 3; n >= 3인 모든 n에 대해 a_n = a_{n-1} / a_{n-2}

구하는 것: a_2006의 값

이해

주어진 것: a_1 = 2; a_2 = 3; n >= 3인 모든 n에 대해 a_n = a_{n-1} / a_{n-2}

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

항 번호 2006은 한 항씩 계산해서 도달하기엔 너무 크다. 하지만 규칙이 두 항만 뒤돌아보므로, 연속한 두 항의 쌍이 다시 나타나면 그 지점부터 수열 전체가 반복될 수밖에 없다. 계획은 처음 몇 항을 나열해 반복을 찾아내고, 그 반복 길이를 이용해 2006번째 항으로 곧장 건너뛰는 것이다.

실행 — 정답: E

#2 빠짐없이 나열하기 6.NS.A.1 단계 1

처음 몇 항 나열하기

규칙을 한 항씩 적용해 앞 항을 그 앞 항으로 나눈다.
분수로 나누는 것은 그 역수를 곱하는 것과 같다.

$$a_3 = \frac{a_2}{a_1} = \frac{3}{2}, \quad a_4 = \frac{a_3}{a_2} = \frac{3/2}{3} = \frac{1}{2}, \quad a_5 = \frac{a_4}{a_3} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}, \quad a_6 = \frac{a_5}{a_4} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$$

💡 규칙을 몇 번 따라가며 나오는 값을 적어보기만 하면 된다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

반복 찾아내기

두 항 더 계산해 본다.
a_7은 2로, a_8은 3으로 돌아온다 — 처음 시작한 쌍 (a_1, a_2)과 똑같다.
규칙이 가장 최근 두 항에만 의존하므로, 그 시작 쌍이 다시 나타나면 수열 전체가 반드시 순환한다.
따라서 수열은 6항마다 반복된다.

$$a_7 = \frac{a_6}{a_5} = \frac{2/3}{1/3} = 2 = a_1, \quad a_8 = \frac{a_7}{a_6} = \frac{2}{2/3} = 3 = a_2$$

💡 시작 쌍이 다시 등장하면 수열은 반복될 수밖에 없다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.NS.B.2 단계 3

순환을 이용해 2006번째 항으로 건너뛰기

6개짜리 묶음 안에서 같은 위치에 있는 항끼리는 서로 같다: a_n은 n을 6으로 나눈 나머지에만 의존한다.
2006을 6으로 나누면 334번 들어가고 2가 남으므로, 2006은 2와 같은 나머지를 남긴다.
따라서 a_2006은 a_2와 같고, 그 값은 3이다.
알맞은 선택지는 (E)이다.

$$2006 = 6 \times 334 + 2 \;\Rightarrow\; a_{2006} = a_2 = 3$$

💡 반복 묶음 안에서 어느 자리에 떨어지는지만 중요하고, 2006은 2와 같은 자리에 떨어진다.

[1] #2 6.NS.A.1 규칙을 한 항씩 적용해 앞 항을 그 앞 항으로 나눈다. 분수로 나누는 것은 그 역수를 곱하는 것과 같다.

[2] #5 4.OA.C.5 두 항 더 계산해 본다. a_7은 2로, a_8은 3으로 돌아온다 — 처음 시작한 쌍 (a_1, a_2)과 똑같다. 규칙이 가장 최근 두 항에만

[3] #9 6.NS.B.2 6개짜리 묶음 안에서 같은 위치에 있는 항끼리는 서로 같다: a_n은 n을 6으로 나눈 나머지에만 의존한다. 2006을 6으로 나누면 334번

검토

합리성 확인: 순환 주장을 직접 확인한다: 나열한 여섯 값 2, 3, 3/2, 1/2, 1/3, 2/3은 7번째와 8번째 자리에서 실제로 2, 3으로 돌아오므로 주기 6은 진짜이다. 나머지 단계는 작은 항 번호로 쉽게 검증된다: 8 = 6 + 2이므로 a_8은 a_2와 같아야 하고, 실제로 a_8 = 3이다. 같은 논리로 a_2006 = a_2 = 3이 되며, 답은 예상대로 주어진 선택지 안에 있다.

대안 접근: 나머지를 맞추는 대신, a_2와 같아지는 자리들을 계속 나열할 수도 있다: 그 자리들은 2, 8, 14, 20, ... — 즉 6의 배수보다 2 큰 모든 수이다. 2006 - 2 = 2004 = 6 x 334는 6의 배수이므로, 2006번째 항은 이 목록에 있고 a_2 = 3과 같다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.NS.A.1 Interpret and compute quotients of fractions and solve word problems (항이 분수일 때 한 항을 다른 항으로 나누기, 예: (1/2) / (3/2) = 1/3.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (나열한 항들이 길이 6의 반복 순환을 이룬다는 것을 알아차리기.)
6.NS.B.2 Fluently divide multi-digit numbers using the standard algorithm (2006을 6으로 나누어 나머지 2를 찾고 2006번째 항을 순환 안에서 위치시키기.)

⭐ 수열이 반복되기 시작하면 반복 길이를 먼저 찾고, 나머지를 이용해 멀리 있는 항이 그 반복 안 어디에 떨어지는지 보면 된다.