AMC 10 · 2006 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

circular-sectorpythagorean-theoremthirty-sixty-ninety-triangle area-difference ↑ 선수 지식: circular-sectorpythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름이 $2$ 인 원의 중심이 $O$ 이다. 정사각형 $OABC$ 의 한 변의 길이는 $1$ 이다. 변 $AB$ 와 $CB$ 를 $B$ 너머로 연장하여 각각 원과 $D$ , $E$ 에서 만나게 한다. 그림에서 $BD$ , $BE$ , 그리고 $D$ 와 $E$ 를 잇는 열호(minor arc)로 둘러싸인 색칠된 영역의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\pi}{3}+1-\sqrt{3}$

(B)

$\frac{\pi}{2}(2-\sqrt{3})$

(C)

$\pi(2-\sqrt{3})$

(D)

$\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

(E)

$\frac{\pi}{3}-1+\sqrt{3}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 $2$인 원이 원점 $O$에 있고, 한 변의 길이가 $1$인 정사각형 $OABC$의 한 꼭짓점이 $O$에 있다. 변 $AB$를 $B$ 너머로 늘여 원과 만나는 점을 $D$, 변 $CB$를 $B$ 너머로 늘여 원과 만나는 점을 $E$라 한다. 선분 $BD$, 선분 $BE$, 그리고 $D$에서 $E$까지의 짧은 호로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하라.

주어진 것: 중심이 $O$이고 반지름이 $2$인 원; 한 변의 길이가 $1$인 정사각형 $OABC$: $O=(0,0)$, $A=(1,0)$, $B=(1,1)$, $C=(0,1)$; $D$는 직선 $AB$(수직선 $x=1$)가 $B$ 위쪽에서 원과 만나는 점; $E$는 직선 $CB$(수평선 $y=1$)가 $B$ 오른쪽에서 원과 만나는 점

구하는 것: $BD$, $BE$, 그리고 소호(작은 호) $DE$로 둘러싸인 영역의 넓이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기

색칠된 영역은 곡선 변을 가지므로 하나의 넓이 공식으로는 구할 수 없다. 도구 #1(그림 그리기)로 모든 점을 좌표에 놓으면 $D$와 $E$를 계산할 수 있다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 핵심이다: 까다로운 영역을 평범한 삼각형 $BDE$와 호 쪽으로 볼록하게 튀어나온 활꼴로 나누고, 활꼴은 부채꼴에서 삼각형을 뺀 것으로 구한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 그림을 이용해 — 영역이 분명히 작으므로 — 어느 선택지가 맞을 수 있는지 검산한다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 1

좌표로 D와 E 찾기

$O$를 원점에 두면 정사각형에서 $A=(1,0)$, $B=(1,1)$, $C=(0,1)$이다.
직선 $AB$는 수직선 $x=1$이고, 이것이 원 $x^2+y^2=4$와 만나면 $1+y^2=4$이므로 $y=\sqrt{3}$, 즉 $D=(1,\sqrt{3})$이다.
직선 $y=x$에 대한 대칭에 의해 직선 $CB$($y=1$)는 원과 $E=(\sqrt{3},1)$에서 만난다.

$$1^2+y^2=2^2 \Rightarrow y=\sqrt{3},\quad D=(1,\sqrt{3}),\ E=(\sqrt{3},1)$$

💡 원 위의 모든 점은 $x^2+y^2=4$를 만족하므로, $x=1$로 고정하면 피타고라스 관계가 $y$를 바로 알려준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

영역을 두 조각으로 나누기

이 영역은 직선 선분 $BD$, $BE$와 바깥으로 볼록한 호 $DE$로 둘러싸여 있다.
직선 현 $DE$로 자르면, $B$ 쪽에 남는 것은 평범한 삼각형 $BDE$이고, 호 쪽으로 튀어나온 것은 현 $DE$ 위에 놓인 활꼴이다.
따라서 색칠된 넓이는 (삼각형 $BDE$의 넓이) 더하기 (활꼴 $DE$의 넓이)이다.

$$[\text{색칠}] = [\triangle BDE] + [\text{활꼴 } DE]$$

💡 곡선 변이 하나인 영역은 직선 현을 따라 볼록한 부분을 떼어내면 쉬워진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

삼각형 BDE의 넓이

삼각형 $BDE$는 $B=(1,1)$에서 직각을 이룬다.
변 $BD$는 $y=1$에서 $y=\sqrt{3}$까지 곧장 위로 뻗고, 변 $BE$는 $x=1$에서 $x=\sqrt{3}$까지 곧장 오른쪽으로 뻗으므로, 두 변 모두 길이가 $\sqrt{3}-1$이다.
직각삼각형의 넓이는 두 변의 곱의 절반이다.

$$[\triangle BDE]=\tfrac12(\sqrt3-1)^2=\tfrac12(4-2\sqrt3)=2-\sqrt3$$

💡 늘인 두 변은 대칭에 의해 같으므로, 이 삼각형은 작은 정사각형의 절반일 뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

활꼴 DE의 넓이

활꼴은 부채꼴 $ODE$에서 삼각형 $ODE$를 뺀 것이다.
$D=(1,\sqrt3)$로 가는 반지름은 $x$축과 $60^\circ$를 이루고 $E=(\sqrt3,1)$로 가는 반지름은 $30^\circ$를 이루므로, 중심각 $\angle DOE = 60^\circ-30^\circ = 30^\circ$이다.
이 부채꼴은 넓이가 $\pi(2)^2=4\pi$인 전체 원의 $\tfrac{30}{360}=\tfrac{1}{12}$이므로 $\tfrac{4\pi}{12}=\tfrac{\pi}{3}$이다.
삼각형 $ODE$의 넓이는 $\tfrac12\,|x_D\,y_E-x_E\,y_D|=\tfrac12\,|1\cdot1-\sqrt3\cdot\sqrt3|=\tfrac12\,|1-3|=1$이다.

$$[\text{활꼴}] = \tfrac{\pi}{3} - 1$$

💡 현과 호 사이의 볼록한 부분은 파이 조각에서 납작한 삼각형을 퍼낸 나머지와 정확히 같다.

#3 가능성 지우기 6.G.A.1 단계 5

조각을 더해 선택지 고르기

삼각형과 활꼴을 합친다: $[\text{색칠}]=(2-\sqrt3)+\left(\tfrac{\pi}{3}-1\right)=\tfrac{\pi}{3}+1-\sqrt3$.
수치로는 약 $1.047+1-1.732\approx 0.315$로, 그림과 맞는 작은 조각이다.
이것은 선택지 (A)이다.

$$[\text{색칠}]=\tfrac{\pi}{3}+1-\sqrt3\approx 0.315 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 납작한 삼각형과 곡선 볼록 부분을 합치면 전체 영역이 하나의 깔끔한 합으로 나온다.

[1] #1 8.G.B.7 $O$를 원점에 두면 정사각형에서 $A=(1,0)$, $B=(1,1)$, $C=(0,1)$이다. 직선 $AB$는 수직선 $x=1$이고, 이것이

[2] #7 6.G.A.1 이 영역은 직선 선분 $BD$, $BE$와 바깥으로 볼록한 호 $DE$로 둘러싸여 있다. 직선 현 $DE$로 자르면, $B$ 쪽에 남는 것은 평

[3] #7 6.G.A.1 삼각형 $BDE$는 $B=(1,1)$에서 직각을 이룬다. 변 $BD$는 $y=1$에서 $y=\sqrt{3}$까지 곧장 위로 뻗고, 변 $BE$는

[4] #7 7.G.B.4 활꼴은 부채꼴 $ODE$에서 삼각형 $ODE$를 뺀 것이다. $D=(1,\sqrt3)$로 가는 반지름은 $x$축과 $60^\circ$를 이루고

[5] #3 6.G.A.1 삼각형과 활꼴을 합친다: $[\text{색칠}]=(2-\sqrt3)+\left(\tfrac{\pi}{3}-1\right)=\tfrac{\pi}{

검토

합리성 확인: 이 영역은 꼭짓점 $B$ 바깥의 얇은 조각이므로 넓이는 작고 양수여야 한다. 선택지 (A)는 $\tfrac{\pi}{3}+1-\sqrt3\approx0.315$로 아주 작아 그림에 딱 맞는다. 선택지 (B) $\tfrac{\pi}{2}(2-\sqrt3)\approx0.42$, (C) $\pi(2-\sqrt3)\approx0.84$는 눈에 띄게 크고, (D) $\approx1.89$는 지나치게 크며, (E) $\tfrac{\pi}{3}-1+\sqrt3\approx1.78$도 너무 크다. 오직 (A)만 충분히 작아 답을 확인해 준다.

대안 접근: 더하는 대신 바로 빼는 방법도 있다. 부채꼴 $ODE$(넓이 $\tfrac{\pi}{3}$)는 반지름 $OD$, $OE$와 호로 둘러싸여 있고, 색칠된 영역은 바로 이 부채꼴에서 사각형 조각 $ODBE$를 제거한 것이다. 사각형 $ODBE$의 꼭짓점은 $O=(0,0)$, $D=(1,\sqrt3)$, $B=(1,1)$, $E=(\sqrt3,1)$이고, 신발끈 공식으로 넓이는 $\tfrac12|2-2\sqrt3|=\sqrt3-1$이다. 따라서 색칠된 넓이는 $\tfrac{\pi}{3}-(\sqrt3-1)=\tfrac{\pi}{3}+1-\sqrt3$로 같은 결과 (A)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles ($1^2+y^2=2^2$을 풀어 원 위의 $D=(1,\sqrt3)$을 찾고, 대칭으로 $E=(\sqrt3,1)$을 찾는 데 사용.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (색칠된 영역을 삼각형 $BDE$와 활꼴로 쪼개고 $[\triangle BDE]=2-\sqrt3$을 구한 뒤 조각들을 합하는 데 사용.)
7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle ($30^\circ$ 부채꼴 $ODE$를 원 $\pi(2)^2=4\pi$의 $\tfrac{1}{12}$로 보아 $\tfrac{\pi}{3}$을 얻는 데 사용.)
7.G.B.5 Use facts about supplementary, complementary, vertical, and adjacent angles (두 반지름 방향으로부터 중심각 $\angle DOE = 60^\circ-30^\circ=30^\circ$을 구하는 데 사용.)

⭐ 곡선 변이 하나인 영역은 직선 현을 따라 평범한 삼각형과 '부채꼴 빼기 삼각형' 볼록 부분으로 나눈 뒤 조각들을 더하면 된다.