AMC 10 · 2006 · #19

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid
circular-sectorpythagorean-theoremthirty-sixty-ninety-triangle area-difference ↑ 선수 지식: circular-sectorpythagorean-theorem
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형
문제
반지름이 2인 원의 중심이 O이다. 정사각형 OABC의 한 변의 길이는 1이고, 꼭짓점은 O, A, B, C 순서이며 B는 O의 맞은편 꼭짓점이다. 변 AB와 CB를 B 너머로 연장하여 원과 각각 D, E에서 만나게 한다. 선분 BD, 선분 BE, 그리고 D에서 E까지의 열호로 둘러싸인 영역의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{\pi}{3}+1-\sqrt{3}$
(B)
$\frac{\pi}{2}(2-\sqrt{3})$
(C)
$\pi(2-\sqrt{3})$
(D)
$\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
(E)
$\frac{\pi}{3}-1+\sqrt{3}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

색칠된 영역은 곡선 변을 가지므로 하나의 넓이 공식으로는 구할 수 없다. 도구 #1(그림 그리기)로 모든 점을 좌표에 놓으면 D와 E를 계산할 수 있다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 핵심이다: 까다로운 영역을 평범한 삼각형 BDE와 호 쪽으로 볼록하게 튀어나온 활꼴로 나누고, 활꼴은 부채꼴에서 삼각형을 뺀 것으로 구한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 그림을 이용해 — 영역이 분명히 작으므로 — 어느 선택지가 맞을 수 있는지 검산한다.

1STEP 1

좌표로 D와 E 찾기

O를 원점에 두면 B=(1,1)이고 직선 AB는 x=1이므로 1+y²=4에서 D=(1,√3), 대칭으로 E=(√3,1)이다.

1²+y²=2² → y=√(3), D=(1,√(3)), E=(√(3),1)
2STEP 2

영역을 두 조각으로 나누기

현 DE로 자르면 B 쪽에는 삼각형 BDE, 호 쪽에는 활꼴이 남으므로 둘을 더하면 된다.

[색칠] = [△ BDE] + [활꼴 DE]
3STEP 3

삼각형 BDE의 넓이

삼각형 BDE는 B에서 직각이고 두 변이 모두 √3-1이므로 넓이는 1/2(√3-1)²=2-√3이다.

[△ BDE]=1/2(√3-1)²=1/2(4-2√3)=2-√3
4STEP 4

활꼴 DE의 넓이

반지름 OD, OE가 x축과 60°, 30°를 이루므로 부채꼴 ODE는 4π/12=π/3, 삼각형 ODE(넓이 1)를 빼면 π/3-1이다.

[활꼴] = π/3 - 1
5STEP 5

조각을 더해 선택지 고르기

둘을 더하면 (2-√3)+(π/3-1)=π/3+1-√3≈0.315로, 그림과 맞는 작은 조각이며 선택지 (A)이다.

[색칠]=π/3+1-√3≈ 0.315 → (A)
정답
π/3+1-√(3)
이 영역은 꼭짓점 B 바깥의 얇은 조각이므로 넓이는 작고 양수여야 한다. 선택지 (A)는 π/3+1-√3≈0.315로 아주 작아 그림에 딱 맞는다. 선택지 (B) π/2(2-√3)≈0.42, (C) π(2-√3)≈0.84는 눈에 띄게 크고, (D) ≈1.89는 지나치게 크며, (E) π/3-1+√3≈1.78도 너무 크다. 오직 (A)만 충분히 작아 답을 확인해 준다.
💡핵심 정리

곡선 변이 하나인 영역은 직선 현을 따라 평범한 삼각형과 '부채꼴 빼기 삼각형' 볼록 부분으로 나눈 뒤 조각들을 더하면 된다.

  • 좌표로 D와 E 찾기
  • 영역을 두 조각으로 나누기
  • 삼각형 BDE의 넓이
  • 활꼴 DE의 넓이
  • 조각을 더해 선택지 고르기

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