AMC 10 · 2006 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

coordinate-geometrypythagorean-theoremslope-intercept convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

직사각형 $ABCD$ 에서, 어떤 정수 $y$ 에 대해 $A=(6,-22)$ , $B=(2006,178)$ , $D=(8,y)$ 이다. 직사각형 $ABCD$ 의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

4000

(B)

4040

(C)

4400

(D)

40,000

(E)

40,400

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형 $ABCD$의 세 꼭짓점이 좌표평면 위에 주어져 있다: $A=(6,-22)$, $B=(2006,178)$, 그리고 어떤 정수 $y$에 대해 $D=(8,y)$이다. 꼭짓점 $D$의 $x$값은 $A$ 근처이지만 높이 $y$는 모른다. 이 직사각형의 넓이를 구하라.

주어진 것: $A=(6,-22)$와 $B=(2006,178)$은 변 $AB$로 이어진 두 꼭짓점이다; $D=(8,y)$는 변 $AD$로 $A$와 이어진 꼭짓점이며, $y$는 정수이다; 선택지: (A) $4000$, (B) $4040$, (C) $4400$, (D) $40{,}000$, (E) $40{,}400$

구하는 것: 직사각형 $ABCD$의 넓이; 꼭짓점 $D$의 높이 $y$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

꼭짓점이 좌표로 주어졌으므로 도구 #1(그림 그리기)로 문제를 그림으로 바꾼다. 두 변 $AB$와 $AD$가 꼭짓점 $A$에서 뻗어 나와 직각으로 만나야 한다. 각 변을 '오른쪽으로 몇, 위로 몇'이라는 걸음으로 읽으면 그 직각을 활용할 수 있다. 도구 #4(변수 도입하기)는 모르는 높이 $y$를 다룬다: 수직 조건이 $y$를 정하는 식 하나를 준다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 넓이를 두 조각으로 나눈다 — $AB$의 길이를 재고, $AD$의 길이를 재면 넓이는 그 곱이기 때문이다. 각 변을 걸음으로 읽는 데는 덤이 있다: 각 변은 무리수지만 수직인 두 변의 길이 곱은 깔끔한 정수가 된다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 6.NS.C.8 단계 1

각 변을 가로-세로 걸음으로 읽기

두 변 $AB$와 $AD$는 모두 꼭짓점 $A=(6,-22)$에서 시작한다.
$A$에서 $B=(2006,178)$로 가려면 오른쪽으로 $2006-6=2000$, 위로 $178-(-22)=200$만큼 간다.
$A$에서 $D=(8,y)$로 가려면 오른쪽으로 $8-6=2$, 위로 $y-(-22)=y+22$만큼 간다.
즉 $AB$의 걸음은 $(\text{오른쪽 }2000,\ \text{위 }200)$, $AD$의 걸음은 $(\text{오른쪽 }2,\ \text{위 }y+22)$이다.

$$AB:\ (2000,\,200)\qquad AD:\ (2,\,y+22)$$

💡 찍은 두 점 사이의 변은 오른쪽-위로의 이동일 뿐이며, 그 두 수는 좌표의 차이다.

#4 변수 도입하기 8.G.A.1 단계 2

모서리를 90도 돌려 y 구하기

꼭짓점 $A$에서 변 $AB$와 $AD$는 직각으로 만나므로, $AD$의 걸음은 $AB$의 걸음을 4분의 1바퀴 돌린 것이다.
오른쪽-위 걸음을 4분의 1바퀴 돌리면 두 수가 서로 바뀌고 한 부호가 뒤집힌다: $(2000,200)$을 돌리면 $(200,-2000)$ 모양, 즉 $(1,-10)$과 같은 방향이 된다.
변 $AD$는 오른쪽으로 $2$만큼 가므로 그 걸음은 $2\cdot(1,-10)=(2,-20)$이어야 한다.
세로 부분을 맞추면 $y+22=-20$, 따라서 $y=-42$이다.

$$(2,\,y+22)=2\cdot(1,-10)=(2,-20)\ \Rightarrow\ y+22=-20\ \Rightarrow\ y=-42$$

💡 4분의 1바퀴 회전은 도형의 가로 뻗음과 세로 뻗음을 서로 바꾸고 한 방향을 뒤집으므로, 수직인 변은 같은 두 수를 바꿔서 다시 쓴다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.8 단계 3

피타고라스 정리로 두 변 재기

각 변은 가로 부분과 세로 부분을 두 다리로 하는 직각삼각형의 빗변이므로, 그 길이는 $\sqrt{(\text{오른쪽})^2+(\text{위})^2}$이다.
$AB$의 두 다리는 $2000$과 $200$: $\sqrt{2000^2+200^2}=\sqrt{4{,}040{,}000}=100\sqrt{404}$.
$AD$의 두 다리는 $2$와 $20$: $\sqrt{2^2+20^2}=\sqrt{404}$.

$$AB=\sqrt{2000^2+200^2}=100\sqrt{404},\qquad AD=\sqrt{2^2+20^2}=\sqrt{404}$$

💡 두 점 사이의 거리는 가로 차이와 세로 차이가 만드는 직각삼각형의 빗변이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

두 변을 곱해 넓이 구하기

직사각형의 넓이는 한 꼭짓점에서 만나는 두 변 — 여기서는 $AB$와 $AD$ — 의 길이의 곱이다.
곱하면 두 개의 $\sqrt{404}$가 합쳐진다: $\sqrt{404}\cdot\sqrt{404}=404$.
따라서 넓이는 $100\sqrt{404}\cdot\sqrt{404}=100\cdot404=40{,}400$이다.
이는 선택지 (E)이다.

$$\text{넓이}=AB\cdot AD=100\sqrt{404}\cdot\sqrt{404}=100\cdot404=40{,}400\ \Rightarrow\ \textbf{(E)}$$

💡 두 변이 $\sqrt{404}$라는 인수를 공유하므로, 지저분한 제곱근이 깔끔한 정수로 상쇄된다.

[1] #1 6.NS.C.8 두 변 $AB$와 $AD$는 모두 꼭짓점 $A=(6,-22)$에서 시작한다. $A$에서 $B=(2006,178)$로 가려면 오른쪽으로 $2006

[2] #4 8.G.A.1 꼭짓점 $A$에서 변 $AB$와 $AD$는 직각으로 만나므로, $AD$의 걸음은 $AB$의 걸음을 4분의 1바퀴 돌린 것이다. 오른쪽-위 걸음을

[3] #7 8.G.B.8 각 변은 가로 부분과 세로 부분을 두 다리로 하는 직각삼각형의 빗변이므로, 그 길이는 $\sqrt{(\text{오른쪽})^2+(\text{위})

[4] #7 6.G.A.1 직사각형의 넓이는 한 꼭짓점에서 만나는 두 변 — 여기서는 $AB$와 $AD$ — 의 길이의 곱이다. 곱하면 두 개의 $\sqrt{404}$가

검토

합리성 확인: $A$에서 $B$까지 가로 차이만 해도 $2000$이고 세로 차이는 $200$이므로 $AB$는 $2000$을 조금 넘는다; 변 $AD$는 짧아서 $20$을 조금 넘는다. 두 길이의 곱은 $2000\times20=40{,}000$보다 살짝 커야 하는데, $40{,}400$이 바로 거기에 놓인다 — 가까운 두 선택지 (D) $40{,}000$과 (E) $40{,}400$만이 그 범위에 있고, 비스듬한 기울기에서 오는 작은 여분이 (E)를 정답으로 만든다. 또한 $y=-42$가 문제의 약속대로 정수임도 확인된다.

대안 접근: $y$를 구하지 않아도 된다. 넓이는 $AB\cdot AD$이고 두 변이 수직이므로 닮은 직각삼각형을 만든다: $AB$의 두 다리는 $2000$과 $200$이고, ($90^\circ$ 돌린) $AD$의 짧은 다리 $2$가 $200$의 역할을 하므로 $AD$는 $AB$의 $\tfrac{2}{200}=\tfrac1{100}$ 길이다. 그러면 $\text{넓이}=AB\cdot AD=AB\cdot\tfrac{1}{100}AB=\tfrac{1}{100}AB^2=\tfrac{1}{100}(2000^2+200^2)=\tfrac{1}{100}(4{,}040{,}000)=40{,}400$으로 같은 답이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.C.8 네 사분면에 점을 그려 문제 해결하기; 첫째 또는 둘째 좌표가 같은 점 사이의 거리 구하기 ($A$의 좌표를 $B$와 $D$에서 빼서 변 $AB$와 $AD$를 오른쪽-위 걸음으로 읽는 데 사용.)
8.G.A.1 회전, 반사, 평행이동의 성질을 실험적으로 확인하기 (변 $AB$의 걸음을 4분의 1바퀴 돌려 $AD$의 수직 방향을 얻고 $y+22=-20$을 푸는 데 사용.)
8.G.B.8 피타고라스 정리를 이용해 좌표평면 위 두 점 사이의 거리 구하기 (가로·세로 다리로부터 변의 길이 $AB=100\sqrt{404}$와 $AD=\sqrt{404}$를 계산하는 데 사용.)
6.G.A.1 직각삼각형, 일반 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이 구하기 (직사각형의 넓이를 이웃한 두 변 $AB$와 $AD$ 길이의 곱으로 구하는 데 사용.)

⭐ 직사각형의 각 변을 오른쪽-위 걸음으로 읽어라; 직각 모서리는 한 걸음의 두 수를 4분의 1바퀴 돌리고(서로 바꾸고 한 부호를 뒤집고), 두 변의 길이를 곱하면 맞물린 제곱근이 상쇄되어 깔끔한 $40{,}400$이 된다.