AMC 10 · 2006 · #20
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
꼭짓점이 좌표로 주어졌으므로 도구 #1(그림 그리기)로 문제를 그림으로 바꾼다. 두 변 AB와 AD가 꼭짓점 A에서 뻗어 나와 직각으로 만나야 한다. 각 변을 '오른쪽으로 몇, 위로 몇'이라는 걸음으로 읽으면 그 직각을 활용할 수 있다. 도구 #4(변수 도입하기)는 모르는 높이 y를 다룬다: 수직 조건이 y를 정하는 식 하나를 준다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 넓이를 두 조각으로 나눈다 — AB의 길이를 재고, AD의 길이를 재면 넓이는 그 곱이기 때문이다. 각 변을 걸음으로 읽는 데는 덤이 있다: 각 변은 무리수지만 수직인 두 변의 길이 곱은 깔끔한 정수가 된다.
각 변을 가로-세로 걸음으로 읽기
A=(6,-22)에서 B로 가는 걸음은 오른쪽 2000, 위 200, D로 가는 걸음은 오른쪽 2, 위 y+22이다.
찍은 두 점 사이의 변은 오른쪽-위로의 이동일 뿐이며, 그 두 수는 좌표의 차이다.
6.NS.C.8Draw A Diagram모서리를 90도 돌려 y 구하기
직각 모서리는 두 수를 바꾸고 한 부호를 뒤집으므로 AD의 방향은 (1,-10), 즉 (2,-20)이고 y=-42이다.
4분의 1바퀴 회전은 도형의 가로 뻗음과 세로 뻗음을 서로 바꾸고 한 방향을 뒤집으므로, 수직인 변은 같은 두 수를 바꿔서 다시 쓴다.
4분의 1 회전은 걸음의 가로와 세로를 맞바꾸고 그중 하나의 방향을 뒤집는다.
▸ 왜?
수직인 두 방향은 기울기의 곱이 마이너스 1이며, 그것이 바로 그 맞바꿈과 뒤집기다.
▸ 왜?
걸음을 돌려도 늘어나지 않으므로, 그 길이는 회전을 그대로 견딘다.
피타고라스 정리로 두 변 재기
각 변은 빗변이다: AB=√(2000²+200²)=100√404, AD=√(2²+20²)=√404.
두 점 사이의 거리는 가로 차이와 세로 차이가 만드는 직각삼각형의 빗변이다.
8.G.B.8Identify Subproblems두 변을 곱해 넓이 구하기
공통 제곱근이 상쇄된다: 넓이는 AB·AD=100√404·√404=100·404=40,400, 즉 선택지 (E)이다.
두 변이 √(404)라는 인수를 공유하므로, 지저분한 제곱근이 깔끔한 정수로 상쇄된다.
6.G.A.1Identify Subproblems직사각형의 각 변을 오른쪽-위 걸음으로 읽어라; 직각 모서리는 한 걸음의 두 수를 4분의 1바퀴 돌리고(서로 바꾸고 한 부호를 뒤집고), 두 변의 길이를 곱하면 맞물린 제곱근이 상쇄되어 깔끔한 40,400이 된다.
- 각 변을 가로-세로 걸음으로 읽기
- 모서리를 90도 돌려 y 구하기
- 피타고라스 정리로 두 변 재기
- 두 변을 곱해 넓이 구하기