AMC 10 · 2006 · #23

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesratio-proportionsystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

한 삼각형을 두 꼭짓점에서 각각 하나씩, 마주 보는 변 위의 점까지 그은 체바 선분 두 개로 자릅니다. 두 체바 선분은 삼각형 내부의 한 점에서 만나며, 삼각형을 작은 삼각형 세 개와 사각형 하나로 나눕니다. 그 교점을 사이에 두고 한 체바 선분의 양쪽에 놓인 두 삼각형은 넓이가 각각 7이고, 나머지 삼각형은 넓이가 3입니다. 사각형 조각의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

$\frac{35}{2}$

(D)

(E)

$\frac{55}{3}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

그림은 하나의 복잡한 도형이지만, 모든 조각은 이웃과 한 변(체바 선분)을 공유하는 삼각형입니다. 핵심 전략은 같은 높이를 공유하는 삼각형들로 쪼개는 것입니다. 이런 삼각형들은 넓이의 비가 밑변의 비와 같으므로, 주어진 넓이 하나하나가 길이의 비를 알려 줍니다. 깔끔하게 이름 붙인 그림으로 어느 영역이 무엇인지 고정하고, 아직 모르는 작은 삼각형 하나에 변수를 붙이면 이 비들이 풀 수 있는 하나의 방정식으로 바뀝니다.

1STEP 1

점과 조각에 이름 붙이기

삼각형 ABC에서 체바 선분 AD(D는 BC 위)와 BE(E는 AC 위)가 F에서 만납니다. 색칠된 조각은 FDCE입니다.

Pieces: [AFE]=3, [ABF]=7, [BFD]=7, [FDCE]=?

2STEP 2

넓이가 같으면 중점이 된다

ABF와 BFD는 B에서의 높이를 공유하고 넓이가 7로 같으므로 AF = FD, 즉 F는 AD의 중점입니다.

[ABF]/[BFD]=AF/FD=7/7=1 → AF=FD

3STEP 3

다른 체바 선분의 분할 읽기

체바 선분 BE에도 같은 규칙: ABF와 AFE는 A에서의 높이를 공유하므로 BF : FE = 7 : 3입니다.

BF/FE=[ABF]/[AFE]=7/3

4STEP 4

사각형을 자르고 변수 붙이기

CF로 FDCE를 CFD와 CFE로 나누고 [CFE] = x라 하면 [CFD] = [CFA] = 3+x이므로 [FDCE] = 3+2x.

[CFD]=[CFA]=[AFE]+[CFE]=3+x, [FDCE]=(3+x)+x=3+2x

5STEP 5

7:3 분할로 x 구하기

BFC와 EFC도 꼭짓점 C를 공유하므로 넓이 비가 7 : 3입니다. (10 + x) : x = 7 : 3에서 x = $\frac{15}{2}$ .

(10+x)/x=7/3 → 3(10+x)=7x → 30=4x → x=15/2

6STEP 6

사각형 넓이 합하기

대입하면 [FDCE] = 3 + 2x = 3 + 15 = 18, 즉 색칠된 사각형의 넓이는 18입니다. (D)

[FDCE]=3+2x=3+2·15/2=3+15=18

정답

조각들의 합이 자연스러운지 확인하고 두 체바 선분에서 다시 유도해 봅니다. 네 넓이의 합은 3 + 7 + 7 + 18 = 35입니다. 체바 선분 AD로 나누면 [ABD] = 7 + 7 = 14, [ACD] = 3 + 18 = 21이므로 BD : DC = 14 : 21 = 2 : 3. 체바 선분 BE로 나누면 [ABE] = 7 + 3 = 10, [CBE] = 7 + 18 = 25이므로 AE : EC = 10 : 25 = 2 : 5. 두 변의 비가 모두 깔끔하고, 각 분할에서 사각형을 다시 구하면 21 - 3 = 18, 25 - 7 = 18이 됩니다. 모두 일치하며 18은 선택지 (D)입니다.

💡핵심 정리

두 삼각형이 같은 높이를 가지면 넓이가 밑변과 정확히 비례하므로, 모든 넓이 표시는 사실 길이의 비를 알려 주고 있다.

점과 조각에 이름 붙이기
넓이가 같으면 중점이 된다
다른 체바 선분의 분할 읽기
사각형을 자르고 변수 붙이기
7:3 분할로 x 구하기
사각형 넓이 합하기