AMC 10 · 2006 · #23
학년 7 geometry-2d한 삼각형을 두 꼭짓점에서 각각의 대변으로 두 직선을 그어 세 개의 삼각형과 하나의 사각형으로 나눈다. 세 삼각형의 넓이는 그림과 같이 3, 7, 7이다. 색칠된 사각형의 넓이는 얼마인가?
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AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 한 삼각형을 두 개의 체바 선분(한 꼭짓점에서 마주 보는 변 위의 점까지 그은 선분)으로 자릅니다. 두 꼭짓점에서 각각 하나씩 그은 이 두 선분은 삼각형을 작은 삼각형 세 개와 사각형 하나로 나눕니다. 세 삼각형의 넓이는 3, 7, 7입니다. 사각형 조각의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 두 꼭짓점에서 각각 마주 보는 변으로 체바 선분을 하나씩 그었다; 두 체바 선분은 삼각형 내부의 한 점에서 만난다; 세 삼각형 조각의 넓이는 3, 7, 7이다; 넓이 7인 두 삼각형은 한 체바 선분을 따라 교점의 양쪽에 있고, 넓이 3인 삼각형은 다른 체바 선분을 따라 놓여 있다
구하는 것: 색칠된 사각형 조각의 넓이
이해
문제 재정리: 한 삼각형을 두 개의 체바 선분(한 꼭짓점에서 마주 보는 변 위의 점까지 그은 선분)으로 자릅니다. 두 꼭짓점에서 각각 하나씩 그은 이 두 선분은 삼각형을 작은 삼각형 세 개와 사각형 하나로 나눕니다. 세 삼각형의 넓이는 3, 7, 7입니다. 사각형 조각의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 두 꼭짓점에서 각각 마주 보는 변으로 체바 선분을 하나씩 그었다; 두 체바 선분은 삼각형 내부의 한 점에서 만난다; 세 삼각형 조각의 넓이는 3, 7, 7이다; 넓이 7인 두 삼각형은 한 체바 선분을 따라 교점의 양쪽에 있고, 넓이 3인 삼각형은 다른 체바 선분을 따라 놓여 있다
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기
그림은 하나의 복잡한 도형이지만, 모든 조각은 이웃과 한 변(체바 선분)을 공유하는 삼각형입니다. 핵심 전략은 같은 높이를 공유하는 삼각형들로 쪼개는 것입니다. 이런 삼각형들은 넓이의 비가 밑변의 비와 같으므로, 주어진 넓이 하나하나가 길이의 비를 알려 줍니다. 깔끔하게 이름 붙인 그림으로 어느 영역이 무엇인지 고정하고, 아직 모르는 작은 삼각형 하나에 변수를 붙이면 이 비들이 풀 수 있는 하나의 방정식으로 바뀝니다.
실행 — 정답: D
6.G.A.1 단계 1 점과 조각에 이름 붙이기
- 삼각형을 ABC라고 합시다.
- 한 체바 선분은 A에서 BC 위의 점 D까지, 다른 하나는 B에서 AC 위의 점 E까지 이어집니다.
- 두 선분은 F에서 만납니다.
- 이렇게 네 조각이 생깁니다: 삼각형 AFE = 3, 삼각형 ABF = 7, 삼각형 BFD = 7, 그리고 우리가 구하려는 색칠된 사각형 FDCE입니다.
💡 어느 영역이 무엇인지 나타내는 명확한 지도는 얽힌 선들을 몇 개의 단순한 삼각형으로 바꿔 준다.
6.RP.A.3 단계 2 넓이가 같으면 중점이 된다
- 높이가 같은 두 삼각형은 넓이의 비가 밑변의 비와 같습니다.
- 삼각형 ABF와 BFD는 둘 다 꼭짓점이 B이고 밑변 AF와 FD가 직선 AD 위에 있으므로 B에서 내린 높이를 공유합니다.
- 두 넓이가 같으므로(7과 7) 밑변도 같아야 합니다: AF = FD.
- 즉 F는 AD의 중점입니다.
💡 높이가 같고 넓이도 같다면 밑변이 같을 수밖에 없다.
6.RP.A.3 단계 3 다른 체바 선분의 분할 읽기
- 이제 같은 규칙을 체바 선분 BE에 적용합니다.
- 삼각형 ABF와 AFE는 둘 다 꼭짓점이 A이고 밑변 BF와 FE가 직선 BE 위에 있으므로 A에서 내린 높이를 공유합니다.
- 넓이의 비가 밑변의 비와 같으므로 BF : FE = 7 : 3입니다.
💡 넓이 7과 3은 점 F가 선분 BE를 어떻게 나누는지 그대로 알려 준다.
6.G.A.1 단계 4 사각형을 자르고 변수 붙이기
- 선분 CF를 그으면 사각형 FDCE가 삼각형 CFD와 CFE로 나뉩니다.
- [CFE] = x라고 합시다.
- F가 AD의 중점이므로 삼각형 CFD와 CFA는 밑변 FD = FA가 같고 꼭짓점 C가 같아 [CFD] = [CFA]입니다.
- 점 E는 AC 위에 있으므로 삼각형 CFA는 AFE와 CFE로 이루어집니다: [CFA] = 3 + x.
- 따라서 [CFD] = 3 + x이고, 사각형 전체는 [FDCE] = [CFD] + [CFE] = (3 + x) + x = 3 + 2x입니다.
💡 중점이 넓이 3+x를 F를 사이에 두고 복사하므로, 사각형은 3에 미지의 삼각형 두 개를 더한 값이다.
7.EE.B.4 단계 5 7:3 분할로 x 구하기
- 삼각형 BFC와 EFC는 꼭짓점 C가 같고 밑변 BF와 FE가 직선 BE 위에 있으므로 넓이도 7 : 3 비를 유지합니다: [BFC] : [EFC] = BF : FE = 7 : 3.
- 여기서 [EFC] = x이고 [BFC] = [BFD] + [CFD] = 7 + (3 + x) = 10 + x입니다.
- 방정식을 세워 풉니다.
💡 BE를 나누던 그 7:3 비가 꼭짓점 C에 매달린 두 삼각형도 똑같이 나눈다.
7.G.B.6 단계 6 사각형 넓이 합하기
- x = 15/2를 사각형 넓이에 대입합니다: [FDCE] = 3 + 2x = 3 + 2 (15/2) = 3 + 15 = 18.
- 색칠된 사각형의 넓이는 18이고, 이는 선택지 (D)입니다.
💡 미지의 삼각형을 다시 대입하고 조각들을 모두 더한다.
6.G.A.1 삼각형을 ABC라고 합시다. 한 체바 선분은 A에서 BC 위의 점 D까지, 다른 하나는 B에서 AC 위의 점 E까지 이어집니다. 두 선분은 F에 6.RP.A.3 높이가 같은 두 삼각형은 넓이의 비가 밑변의 비와 같습니다. 삼각형 ABF와 BFD는 둘 다 꼭짓점이 B이고 밑변 AF와 FD가 직선 AD 위에 6.RP.A.3 이제 같은 규칙을 체바 선분 BE에 적용합니다. 삼각형 ABF와 AFE는 둘 다 꼭짓점이 A이고 밑변 BF와 FE가 직선 BE 위에 있으므로 A 6.G.A.1 선분 CF를 그으면 사각형 FDCE가 삼각형 CFD와 CFE로 나뉩니다. [CFE] = x라고 합시다. F가 AD의 중점이므로 삼각형 CFD와 7.EE.B.4 삼각형 BFC와 EFC는 꼭짓점 C가 같고 밑변 BF와 FE가 직선 BE 위에 있으므로 넓이도 7 : 3 비를 유지합니다: [BFC] : [EF 7.G.B.6 x = 15/2를 사각형 넓이에 대입합니다: [FDCE] = 3 + 2x = 3 + 2 (15/2) = 3 + 15 = 18. 색칠된 사각형의 검토
합리성 확인: 조각들의 합이 자연스러운지 확인하고 두 체바 선분에서 다시 유도해 봅니다. 네 넓이의 합은 3 + 7 + 7 + 18 = 35입니다. 체바 선분 AD로 나누면 [ABD] = 7 + 7 = 14, [ACD] = 3 + 18 = 21이므로 BD : DC = 14 : 21 = 2 : 3. 체바 선분 BE로 나누면 [ABE] = 7 + 3 = 10, [CBE] = 7 + 18 = 25이므로 AE : EC = 10 : 25 = 2 : 5. 두 변의 비가 모두 깔끔하고, 각 분할에서 사각형을 다시 구하면 21 - 3 = 18, 25 - 7 = 18이 됩니다. 모두 일치하며 18은 선택지 (D)입니다.
대안 접근: 질량점(mass points)으로도 같은 답을 빠르게 얻습니다. AF = FD에서 A와 D에 같은 질량을 두고, BF : FE = 7 : 3에서 B에 질량 3, E에 질량 7을 둡니다. E(AC 위)에서 균형을 맞추려면 C에 질량 2가 필요하므로 BD : DC = 2 : 3, AE : EC = 2 : 5입니다. 그러면 [ACD] = [ABD] (DC/BD) = 14 (3/2) = 21이고 사각형은 21 - 3 = 18입니다. 좌표를 잡아 FDCE를 신발끈 공식으로 계산해도 18이 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
6.G.A.1Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (그림을 삼각형과 사각형으로 쪼개고, 사각형을 두 개의 작은 삼각형으로 다시 조립하기)6.RP.A.3Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems ('높이가 같은 삼각형'을 밑변이 같다는 결론과 밑변 비(AF = FD, BF : FE = 7 : 3)로 바꾸기)7.EE.B.4Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (미지의 작은 삼각형을 x로 놓고 (10 + x)/x = 7/3을 풀기)7.G.B.6Solve real-world problems involving area, surface area, and volume (최종 사각형 넓이 3 + 2x = 18을 조립하기)
⭐ 두 삼각형이 같은 높이를 가지면 넓이가 밑변과 정확히 비례하므로, 모든 넓이 표시는 사실 길이의 비를 알려 주고 있다.
⭐ 두 삼각형이 같은 높이를 가지면 넓이가 밑변과 정확히 비례하므로, 모든 넓이 표시는 사실 길이의 비를 알려 주고 있다.
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