AMC 10 · 2006 · #4

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlesarea-differenceratio-proportion area-difference ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

두 원은 중심이 같습니다. 안쪽 원은 지름이 1 인치이고 빨간색으로 칠합니다. 바깥 원은 지름이 3 인치이고, 바깥 원 안쪽이면서 안쪽 원 바깥인 부분을 파란색으로 칠합니다. 파란 넓이와 빨간 넓이의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

파란 영역은 고리, 즉 복합 도형이므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 세 조각으로 깔끔하게 나눕니다: 작은 원의 넓이(빨강), 큰 원의 넓이, 그리고 파랑 = 큰 원 − 작은 원. 도구 #1(그림 그리기)은 두 동심원을 헷갈리지 않게 하여 고리를 바깥 원 전체와 혼동하지 않게 합니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 핵심 함정을 잡아냅니다: 두 원 전체의 비는 9(선택지 (E))이지만, 파랑은 고리뿐이므로 실제 비는 그 원 전체 비보다 1 작아야 합니다.

1STEP 1

지름에서 반지름 구하기

넓이에는 반지름이 필요하므로 지름을 반으로 나눕니다. 빨강은 $\frac{1}{2}$ , 바깥은 $\frac{3}{2}$ 입니다.

r_작은=1/2, r_큰=3/2

2STEP 2

빨간 넓이(작은 원)

빨간 넓이는 안쪽 원 전체입니다. 반지름 $\frac{1}{2}$ 을 제곱해 π를 곱하면 $\frac{\pi}{4}$ 입니다.

A_빨강=π(1/2)²=π/4

3STEP 3

파란 넓이(고리)

바깥 원 전체는 $\frac{9\pi}{4}$ 이고, 여기서 빨간 원을 빼면 고리는 $2\pi$ 입니다.

A_파랑=π(3/2)²-π/4=9π/4-π/4=2π

4STEP 4

비 만들기

파랑을 빨강으로 나눕니다. $2\pi \div \frac{\pi}{4}$ 에서 π가 약분되어 8만 남고, 이것이 (D)입니다.

A_파랑/A_빨강=2π/(π/4)=2π·4/π=8 → (D)

정답

닮음 비로 확인해 봅니다: 반지름의 비는 3/2/1/2=3이고, 넓이는 반지름의 제곱에 비례하므로 큰 원은 작은 원의 3²=9 배입니다. 큰 원을 넓이가 같은 9 조각으로 나누면, 빨간 중심이 1 조각이고 파란 고리가 나머지 8 조각 — 비는 8 대 1입니다. 이는 8을 확인해 주고, (E) 9는 고리 대 중심의 비가 아니라 큰 원 전체 대 작은 원의 비임을 드러냅니다.

💡핵심 정리

넓이는 반지름의 제곱에 달려 있어서, 3 배 넓은 원은 넓이가 9 배입니다. 가운데를 도려내면 그 둘레 고리가 나머지 8 조각입니다.

지름에서 반지름 구하기
빨간 넓이(작은 원)
파란 넓이(고리)
비 만들기

지름에서 반지름 구하기

빨간 넓이(작은 원)

파란 넓이(고리)

비 만들기

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