AMC 10 · 2006 · #4

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlesarea-differenceratio-proportion area-difference ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

지름이 각각 $1$ 인치와 $3$ 인치인 두 원이 같은 중심을 가진다. 작은 원은 빨간색으로 칠하고, 작은 원의 바깥이면서 큰 원의 안쪽인 부분은 파란색으로 칠한다. 파란색으로 칠한 넓이와 빨간색으로 칠한 넓이의 비는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 원이 같은 중심을 공유합니다. 안쪽 원은 지름이 $1$ 인치이고 빨간색이며, 안쪽 원과 지름 $3$ 인치인 바깥 원 사이의 고리는 파란색입니다. 파란 넓이와 빨간 넓이의 비를 구하세요.

주어진 것: 안쪽(빨간) 원의 지름은 $1$ 인치; 바깥 원의 지름은 $3$ 인치이고, 두 원은 중심이 같음(동심원); 파란 영역은 바깥 원 안이면서 안쪽 원 바깥인 부분 — 고리 모양; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $9$

구하는 것: 비 $\dfrac{\text{파란 넓이}}{\text{빨간 넓이}}$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기

파란 영역은 고리, 즉 복합 도형이므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 세 조각으로 깔끔하게 나눕니다: 작은 원의 넓이(빨강), 큰 원의 넓이, 그리고 파랑 = 큰 원 − 작은 원. 도구 #1(그림 그리기)은 두 동심원을 헷갈리지 않게 하여 고리를 바깥 원 전체와 혼동하지 않게 합니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 핵심 함정을 잡아냅니다: 두 원 전체의 비는 $9$(선택지 (E))이지만, 파랑은 고리뿐이므로 실제 비는 그 원 전체 비보다 $1$ 작아야 합니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 1

지름에서 반지름 구하기

넓이에는 반지름이 필요하고, 반지름은 지름의 절반입니다.
빨간 원의 지름은 $1$ 이므로 반지름은 $\tfrac{1}{2}$ 입니다.
바깥 원의 지름은 $3$ 이므로 반지름은 $\tfrac{3}{2}$ 입니다.

$$r_{\text{작은}}=\dfrac{1}{2},\qquad r_{\text{큰}}=\dfrac{3}{2}$$

💡 모든 원 넓이 계산은 반지름에서 시작하므로 지름을 먼저 반으로 나눕니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

빨간 넓이(작은 원)

빨간 넓이는 안쪽 원 전체입니다.
$A=\pi r^2$ 에 $r=\tfrac{1}{2}$ 를 넣으면, $\tfrac{1}{2}$ 을 제곱해 $\tfrac{1}{4}$ 이 되므로 빨간 넓이는 $\tfrac{\pi}{4}$ 입니다.

$$A_{\text{빨강}}=\pi\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{\pi}{4}$$

💡 지름이 아니라 반지름을 제곱하는 것이 길이를 넓이로 바꿉니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.1 단계 3

파란 넓이(고리)

먼저 바깥 원 전체를 구합니다: $A=\pi\left(\tfrac{3}{2}\right)^2=\pi\cdot\tfrac{9}{4}=\tfrac{9\pi}{4}$.
파란 고리는 그 바깥 원에서 빨간 원을 도려낸 것이므로 빼 줍니다: $\tfrac{9\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{8\pi}{4}=2\pi$.

$$A_{\text{파랑}}=\pi\left(\tfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{9\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}=2\pi$$

💡 고리는 큰 원 안에서 작은 원이 덮지 않은 나머지이므로 작은 넓이를 빼 줍니다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 4

비 만들기

파란 넓이를 빨간 넓이로 나눕니다.
$\tfrac{\pi}{4}$ 로 나누는 것은 $\tfrac{4}{\pi}$ 를 곱하는 것과 같습니다: $2\pi\cdot\tfrac{4}{\pi}=8$.
$\pi$ 가 약분되어 $8$ 만 남고, 이것이 선택지 (D)입니다.
선택지 (E) $9$ 는 고리 대신 두 원 전체를 비교하는 함정이고, $3$ (B)은 지름의 비일 뿐입니다.

$$\dfrac{A_{\text{파랑}}}{A_{\text{빨강}}}=\dfrac{2\pi}{\pi/4}=2\pi\cdot\dfrac{4}{\pi}=8\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$$

💡 두 넓이의 비는 공통 인수 $\pi$ 를 버리므로 숫자만 남습니다.

[1] #7 7.G.B.4 넓이에는 반지름이 필요하고, 반지름은 지름의 절반입니다. 빨간 원의 지름은 $1$ 이므로 반지름은 $\tfrac{1}{2}$ 입니다. 바깥 원의

[2] #7 7.G.B.4 빨간 넓이는 안쪽 원 전체입니다. $A=\pi r^2$ 에 $r=\tfrac{1}{2}$ 를 넣으면, $\tfrac{1}{2}$ 을 제곱해 $\

[3] #7 7.NS.A.1 먼저 바깥 원 전체를 구합니다: $A=\pi\left(\tfrac{3}{2}\right)^2=\pi\cdot\tfrac{9}{4}=\tfrac{

[4] #3 6.RP.A.3 파란 넓이를 빨간 넓이로 나눕니다. $\tfrac{\pi}{4}$ 로 나누는 것은 $\tfrac{4}{\pi}$ 를 곱하는 것과 같습니다: $2

검토

합리성 확인: 닮음 비로 확인해 봅니다: 반지름의 비는 $\tfrac{3/2}{1/2}=3$ 이고, 넓이는 반지름의 제곱에 비례하므로 큰 원은 작은 원의 $3^2=9$ 배입니다. 큰 원을 넓이가 같은 $9$ 조각으로 나누면, 빨간 중심이 $1$ 조각이고 파란 고리가 나머지 $8$ 조각 — 비는 $8$ 대 $1$ 입니다. 이는 $8$ 을 확인해 주고, (E) $9$ 는 고리 대 중심의 비가 아니라 큰 원 전체 대 작은 원의 비임을 드러냅니다.

대안 접근: 넓이를 아예 건너뛰고 작은 원의 넓이를 단위로 삼습니다. 넓이는 지름의 제곱에 비례하므로 바깥 원은 작은 원 넓이의 $3^2=9$ 개, 안쪽 원은 $1$ 개입니다. 파랑은 그 차이인 $9-1=8$ 개, 빨강은 $1$ 개이므로 비는 $\pi$ 를 한 번도 쓰지 않고 $8:1=8$ 입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고 문제 해결에 사용한다 (각 지름에서 반지름을 구하고 원의 넓이 $\pi(\tfrac12)^2$ 과 $\pi(\tfrac32)^2$ 을 계산하는 데 사용.)
7.NS.A.1 덧셈과 뺄셈의 이해를 확장하여 유리수를 더하고 뺀다 (큰 원에서 작은 원을 빼서 $\tfrac{9\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}=2\pi$ 로 파란 고리를 구하는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론을 사용하여 실생활 및 수학 문제를 해결한다 (파란 넓이를 빨간 넓이로 나누어 비 $\tfrac{2\pi}{\pi/4}=8$ 을 만드는 데 사용.)

⭐ 넓이는 반지름의 제곱에 달려 있어서, $3$ 배 넓은 원은 넓이가 $9$ 배입니다. 가운데를 도려내면 그 둘레 고리가 나머지 $8$ 조각입니다.