AMC 10 · 2006 · #8

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremarea-circlesarea-rectangles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

넓이가 40인 정사각형이 그림과 같이 반원에 내접해 있다. 반원의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$20\pi$

(B)

$25\pi$

(C)

$30\pi$

(D)

$40\pi$

(E)

$50\pi$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 넓이가 $40$인 정사각형이 반원 안에 들어 있습니다. 정사각형의 밑변은 평평한 지름 위에 놓여 있고, 위쪽 두 꼭짓점은 곡선인 호에 닿아 있습니다. 반원의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 정사각형의 넓이는 $40$이다; 정사각형의 밑변은 반원의 지름 위에, 지름의 가운데를 중심으로 놓여 있다; 정사각형의 위쪽 두 꼭짓점은 반원의 호 위에 있다; 선택지: (A) $20\pi$, (B) $25\pi$, (C) $30\pi$, (D) $40\pi$, (E) $50\pi$

구하는 것: 반원의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

반원의 넓이 공식에는 반지름이 필요한데, 반지름은 그림 속에 숨어 있습니다. 그래서 도구 #1(그림 그리기)로 지름의 가운데에 중심을 표시하고, 그 중심에서 정사각형 위쪽 꼭짓점까지 직선을 긋습니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 정사각형의 반쪽 변을 이름 지어 꼭짓점의 위치를 적을 수 있게 하고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 세 조각으로 나눕니다: 넓이를 변의 길이로 바꾸고, 직각삼각형으로 반지름을 구한 뒤, 반지름을 원 넓이 공식에 넣습니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

중심과 반쪽 변 표시하기

반원의 중심 $O$를 지름의 가운데에 둡니다.
정사각형이 중심에 맞춰 놓여 있으므로, 밑변은 $O$에 의해 똑같은 두 반쪽으로 나뉩니다.
그 반쪽 하나의 길이를 $a$라 하면, 정사각형의 온전한 변은 $2a$입니다.
그러면 아래 꼭짓점은 $O$에서 가로로 거리 $a$만큼 떨어져 있고, 짝이 되는 위쪽 꼭짓점은 그 바로 위, 높이 $2a$ 지점에 있습니다.

$$\text{반쪽 변}=a,\qquad \text{온전한 변}=2a$$

💡 중심을 가운데에 두면 대칭인 그림이 똑같은 두 반쪽이 되므로, 작은 길이 $a$ 하나로 정사각형 전체를 나타낼 수 있습니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 2

넓이를 $a$에 대한 식으로 바꾸기

정사각형의 넓이는 변에 변을 곱한 것입니다.
여기서 변은 $2a$이므로 넓이는 $(2a)^2 = 4a^2$입니다.
이것이 $40$과 같아야 하므로 $4a^2 = 40$이고, 양변을 $4$로 나누면 $a^2 = 10$입니다.
우리는 $a$ 자체가 아니라 $a^2$만 필요하므로 제곱근을 구할 필요가 없습니다.

$$(2a)^2 = 4a^2 = 40 \;\Rightarrow\; a^2 = 10$$

💡 답을 $a$가 아니라 $a^2$로 남겨 두면 복잡한 제곱근을 피할 수 있는데, 반지름도 제곱된 형태로 나오기 때문입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

직각삼각형으로 반지름 구하기

중심 $O$에서 호 위의 위쪽 꼭짓점까지 선을 긋습니다.
그 선이 반지름 $r$입니다.
이 선은 직각삼각형의 빗변인데, 이 삼각형의 가로 변은 $a$(아래 꼭짓점까지 가로로), 세로 변은 $2a$(위쪽 꼭짓점까지 위로)입니다.
피타고라스 정리에 의해 $r^2 = a^2 + (2a)^2 = a^2 + 4a^2 = 5a^2$입니다.
$a^2 = 10$을 대입하면 $r^2 = 5 \times 10 = 50$입니다.

$$r^2 = a^2 + (2a)^2 = 5a^2 = 5\times 10 = 50$$

💡 반지름, 반쪽 밑변, 그리고 변이 직각삼각형을 이루므로 피타고라스 정리가 이들을 곧바로 이어 줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

원 넓이 공식 적용하기

반지름이 $r$인 온전한 원의 넓이는 $\pi r^2$이고, 반원은 그 절반이므로 넓이는 $\tfrac{1}{2}\pi r^2$입니다.
$r^2 = 50$이므로 반원의 넓이는 $\tfrac{1}{2}\pi(50) = 25\pi$입니다.
이것은 선택지 (B)와 일치합니다.

$$\tfrac{1}{2}\pi r^2 = \tfrac{1}{2}\pi(50) = 25\pi \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $r^2$을 이미 알고 있으므로 넓이 공식에 제곱근이 전혀 필요하지 않습니다.

[1] #1 6.G.A.3 반원의 중심 $O$를 지름의 가운데에 둡니다. 정사각형이 중심에 맞춰 놓여 있으므로, 밑변은 $O$에 의해 똑같은 두 반쪽으로 나뉩니다. 그 반

[2] #4 6.EE.B.7 정사각형의 넓이는 변에 변을 곱한 것입니다. 여기서 변은 $2a$이므로 넓이는 $(2a)^2 = 4a^2$입니다. 이것이 $40$과 같아야 하므

[3] #7 8.G.B.7 중심 $O$에서 호 위의 위쪽 꼭짓점까지 선을 긋습니다. 그 선이 반지름 $r$입니다. 이 선은 직각삼각형의 빗변인데, 이 삼각형의 가로 변은

[4] #7 7.G.B.4 반지름이 $r$인 온전한 원의 넓이는 $\pi r^2$이고, 반원은 그 절반이므로 넓이는 $\tfrac{1}{2}\pi r^2$입니다. $r^2

검토

합리성 확인: 간단히 확인해 봅시다. 넓이가 $40$인 정사각형이 반원 안에 딱 맞게 들어가 있으므로, 반원은 그것을 담고 있는 정사각형보다 넓어야 합니다. 반원의 넓이는 $25\pi \approx 78.5$로 $40$보다 넉넉히 크므로 말이 됩니다. 온전한 원은 $50\pi$이므로 그 절반이 $25\pi$입니다. 선택지 (E) $50\pi$는 절반으로 나누는 것을 잊은 함정이고, 선택지 (D) $40\pi$는 $r^2$을 정사각형의 넓이 $40$과 혼동한 함정입니다.

대안 접근: 그냥 삼각형 대신 좌표를 씁니다. $O$를 원점에 두고 지름을 $x$축 위에 놓습니다. 정사각형의 꼭짓점은 $a^2 = 10$일 때 $(\pm a, 0)$과 $(\pm a, 2a)$입니다. 위쪽 꼭짓점 $(a, 2a)$가 원 $x^2 + y^2 = r^2$ 위에 있으므로 $r^2 = a^2 + (2a)^2 = 5a^2 = 50$이고, 반원의 넓이는 $\tfrac12\pi(50) = 25\pi$입니다. 같은 답 (B)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.3 Draw polygons in the coordinate plane given coordinates for the vertices (지름의 가운데에 중심을 두고, 그 중심을 기준으로 정사각형의 꼭짓점 위치를 잡는 데 사용.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q (넓이 조건 $4a^2 = 40$을 $a^2 = 10$으로 바꾸는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (중심과 위쪽 꼭짓점을 잇는 직각삼각형에서 $r^2 = a^2 + (2a)^2 = 50$을 구하는 데 사용.)
7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (반원의 넓이를 $\pi r^2$의 절반으로 계산하여 $25\pi$를 얻는 데 사용.)

⭐ 원의 크기를 구하려면 중심에서 가장자리의 한 점까지 이어지는 직각삼각형을 찾으세요. 피타고라스 정리가 반지름의 제곱을 알려 주고, 넓이 공식에는 그것만 있으면 됩니다.