AMC 10 · 2006 · #8

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremarea-circlesarea-rectangles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

넓이가 40인 정사각형이 반원 안에 들어 있습니다. 정사각형의 밑변은 평평한 지름 위에 놓여 있고, 위쪽 두 꼭짓점은 곡선인 호에 닿아 있습니다. 반원의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$20\pi$

(B)

$25\pi$

(C)

$30\pi$

(D)

$40\pi$

(E)

$50\pi$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

반원의 넓이 공식에는 반지름이 필요한데, 반지름은 그림 속에 숨어 있습니다. 그래서 도구 #1(그림 그리기)로 지름의 가운데에 중심을 표시하고, 그 중심에서 정사각형 위쪽 꼭짓점까지 직선을 긋습니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 정사각형의 반쪽 변을 이름 지어 꼭짓점의 위치를 적을 수 있게 하고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 세 조각으로 나눕니다: 넓이를 변의 길이로 바꾸고, 직각삼각형으로 반지름을 구한 뒤, 반지름을 원 넓이 공식에 넣습니다.

1STEP 1

중심과 반쪽 변 표시하기

중심 O를 지름의 중점에 두고 밑변의 절반을 a라 하면, 변은 2a이고 위쪽 꼭짓점은 그보다 2a 위에 있습니다.

반쪽 변=a, 온전한 변=2a

2STEP 2

넓이를 a에 대한 식으로 바꾸기

변이 2a이므로 넓이는 (2a)² = 4a² = 40이고, 따라서 a² = 10입니다. 제곱근은 필요 없습니다.

(2a)² = 4a² = 40 → a² = 10

3STEP 3

직각삼각형으로 반지름 구하기

위쪽 꼭짓점까지의 반지름은 두 변이 a와 2a인 직각삼각형의 빗변이므로 r² = a² + 4a² = 5a² = 50입니다.

r² = a² + (2a)² = 5a² = 5 × 10 = 50

4STEP 4

원 넓이 공식 적용하기

반원은 원의 절반이므로 넓이는 π r²의 절반, 즉 π(50)의 절반인 25π이고, 선택지 (B)입니다.

1/2π r² = 1/2π(50) = 25π → (B)

정답

25π

간단히 확인해 봅시다. 넓이가 40인 정사각형이 반원 안에 딱 맞게 들어가 있으므로, 반원은 그것을 담고 있는 정사각형보다 넓어야 합니다. 반원의 넓이는 25π ≈ 78.5로 40보다 넉넉히 크므로 말이 됩니다. 온전한 원은 50π이므로 그 절반이 25π입니다. 선택지 (E) 50π는 절반으로 나누는 것을 잊은 함정이고, 선택지 (D) 40π는 r²을 정사각형의 넓이 40과 혼동한 함정입니다.

💡핵심 정리

원의 크기를 구하려면 중심에서 가장자리의 한 점까지 이어지는 직각삼각형을 찾으세요. 피타고라스 정리가 반지름의 제곱을 알려 주고, 넓이 공식에는 그것만 있으면 됩니다.

중심과 반쪽 변 표시하기
넓이를 a에 대한 식으로 바꾸기
직각삼각형으로 반지름 구하기
원 넓이 공식 적용하기

중심과 반쪽 변 표시하기

넓이를 a에 대한 식으로 바꾸기

직각삼각형으로 반지름 구하기

원 넓이 공식 적용하기

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