AMC 10 · 2007 · #13

학년 7 arithmetic

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Piecewise-Leg Time Balance

rateratio-proportionlinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: rate

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Yan은 자기 집과 경기장 사이 어딘가에 있다. 경기장에 가려면 곧바로 경기장까지 걸어가거나, 아니면 집까지 걸어간 뒤 자전거를 타고 경기장으로 갈 수 있다. 그는 걷는 속도의 7배로 자전거를 타며, 두 방법에 걸리는 시간은 같다. Yan의 집까지의 거리와 경기장까지의 거리의 비는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2}{3}$

(B)

$\frac{3}{4}$

(C)

$\frac{4}{5}$

(D)

$\frac{5}{6}$

(E)

$\frac{7}{8}$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Yan은 집과 경기장을 잇는 직선 도로 위 어딘가에 서 있습니다. 그는 경기장으로 곧장 걸어갈 수도 있고, 아니면 먼저 집으로 되돌아 걸어간 다음 자전거를 타고 경기장으로 갈 수도 있습니다. 자전거는 걷는 속력의 $7$배입니다. 두 경로는 걸리는 시간이 똑같습니다. 그의 집으로부터의 거리와 경기장으로부터의 거리의 비를 구하세요.

주어진 것: Yan은 집과 경기장을 잇는 직선 도로 위, 두 곳 사이의 한 점에 있음; 경로 1: 서 있는 지점에서 경기장으로 곧장 걸어감; 경로 2: 서 있는 지점에서 집으로 되돌아 걸어간 뒤, 집에서 경기장까지 자전거를 탐; 자전거 속력은 걷는 속력의 $7$배; 두 경로가 걸리는 시간은 정확히 같음; 선택지: (A) $\frac{2}{3}$, (B) $\frac{3}{4}$, (C) $\frac{4}{5}$, (D) $\frac{5}{6}$, (E) $\frac{7}{8}$

구하는 것: Yan의 집으로부터의 거리와 경기장으로부터의 거리의 비

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #8 단위 살펴보기, #13 대수로 바꾸기

문제는 실제 숫자 없이 관계만 주므로, 도구 #4(변수 도입하기)가 들어가는 길입니다: Yan의 집으로부터의 거리를 $h$, 경기장으로부터의 거리를 $s$, 걷는 속력을 $w$라 이름 붙입니다. 도구 #1(그림 그리기)은 집-Yan-경기장의 순서를 직선 위에 고정하며, 이것이 집에서 경기장까지의 거리를 $h+s$로 만드는 근거입니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 필요한 물리 사실 하나를 줍니다: 시간 $=$ 거리 $\div$ 속력, 그래서 각 경로의 시간은 길이를 속력으로 나눈 것입니다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)이 '두 경로의 시간이 같다'를 하나의 방정식으로 바꾸고, 모든 항이 같은 $w$를 지니므로 모르는 속력이 소거되어 비만 남습니다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

직선을 그리고 각 부분에 이름 붙이기

집, Yan, 경기장을 이 순서로 한 직선 위에 놓습니다.
$h$를 Yan의 집으로부터의 거리, $s$를 경기장으로부터의 거리라 합시다.
그러면 집에서 경기장까지의 전체 거리는 $h + s$입니다.
$w$를 걷는 속력이라 하면, 자전거 속력은 $7w$입니다.

$$\text{집} \;\underset{h}{\rule{40pt}{0.4pt}}\; \text{Yan} \;\underset{s}{\rule{40pt}{0.4pt}}\; \text{경기장}, \qquad \text{집에서 경기장까지} = h + s$$

💡 모르는 길이와 속력마다 문자를 붙이면 두 경로를 정체 모를 숫자가 아니라 식으로 쓸 수 있습니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 2

각 경로의 시간 쓰기

시간은 거리를 속력으로 나눈 것입니다.
경로 1은 거리 $s$를 속력 $w$로 걷으므로 $\frac{s}{w}$가 걸립니다.
경로 2는 먼저 집까지 거리 $h$를 속력 $w$로 걸어 $\frac{h}{w}$가 걸리고, 그다음 집에서 경기장까지 도로 전체 거리 $h+s$를 속력 $7w$로 달려 $\frac{h+s}{7w}$가 걸립니다.

$$t_1 = \dfrac{s}{w}, \qquad t_2 = \dfrac{h}{w} + \dfrac{h+s}{7w}$$

💡 여정의 각 구간은 저마다 길이를 속력으로 나눈 시간을 보태며, 자전거의 큰 속력은 분모에 있으므로 그 구간의 시간이 적게 듭니다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 3

두 시간을 같다고 놓기

문제는 두 경로가 걸리는 시간이 같다고 하므로 $t_1 = t_2$입니다.
이것이 $h$, $s$, $w$를 잇는 방정식 하나를 줍니다.

$$\dfrac{s}{w} = \dfrac{h}{w} + \dfrac{h+s}{7w}$$

💡 이동 시간이 같다는 것이 문제 전체가 매달린 단 하나의 사실이므로, 그것을 방정식으로 쓰면 모든 정보가 한꺼번에 담깁니다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.A.1 단계 4

속력을 없애고 정리하기

모든 항에 $7w$를 곱합니다.
$w$는 모든 분모에 있으므로 완전히 소거되고 걷는 속력이 사라집니다.
그러면 $7s = 7h + (h+s)$가 남습니다.
오른쪽을 합쳐 $7s = 8h + s$를 얻고, 양변에서 $s$를 빼면 $6s = 8h$에 이릅니다.

$$7s = 7h + (h+s) \;\Rightarrow\; 7s = 8h + s \;\Rightarrow\; 6s = 8h$$

💡 같은 속력이 모든 구간에 곱해지므로 그것이 통째로 빠져나오며, 그래서 답은 Yan이 실제로 얼마나 빨리 걷는지에 전혀 좌우되지 않습니다.

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 5

비 읽어내기

$6s = 8h$에서 양변을 $s$와 $8$로 나누어 비 $\frac{h}{s} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$을 분리합니다.
즉 Yan의 집으로부터의 거리는 경기장으로부터의 거리의 $\frac{3}{4}$이며, 이는 선택지 (B)입니다.

$$6s = 8h \;\Rightarrow\; \dfrac{h}{s} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $h$의 배수와 $s$의 배수를 같다고 한 방정식은 사실 둘의 비에 대한 진술이므로, 나누면 곧바로 답이 됩니다.

[1] #4 6.EE.B.6 집, Yan, 경기장을 이 순서로 한 직선 위에 놓습니다. $h$를 Yan의 집으로부터의 거리, $s$를 경기장으로부터의 거리라 합시다. 그러면

[2] #8 6.RP.A.3 시간은 거리를 속력으로 나눈 것입니다. 경로 1은 거리 $s$를 속력 $w$로 걷으므로 $\frac{s}{w}$가 걸립니다. 경로 2는 먼저 집

[3] #13 7.EE.B.4 문제는 두 경로가 걸리는 시간이 같다고 하므로 $t_1 = t_2$입니다. 이것이 $h$, $s$, $w$를 잇는 방정식 하나를 줍니다.

[4] #13 7.EE.A.1 모든 항에 $7w$를 곱합니다. $w$는 모든 분모에 있으므로 완전히 소거되고 걷는 속력이 사라집니다. 그러면 $7s = 7h + (h+s)$가

[5] #4 6.RP.A.3 $6s = 8h$에서 양변을 $s$와 $8$로 나누어 비 $\frac{h}{s} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$을 분리합니다

검토

합리성 확인: 구체적인 숫자로 비를 확인합니다. $h = 3$, $s = 4$($\frac{h}{s} = \frac{3}{4}$이 되도록)로 잡고 걷는 속력 $w = 1$이라 합시다. 경로 1은 $\frac{s}{w} = 4$가 걸립니다. 경로 2는 집까지 $\frac{h}{w} = 3$이 걸리고, 그다음 전체 $h+s = 7$을 속력 $7$로 달려 $\frac{7}{7} = 1$이 걸려 합이 $3 + 1 = 4$입니다. 두 경로가 모두 $4$로 정확히 맞으므로 $\frac{3}{4}$이 맞습니다. Yan이 경기장보다 집에 더 가깝다는 것도 이치에 맞습니다: 집으로 되돌아가는 손해는 그 뒤의 긴 구간을 아주 빠르게 달리기 때문에만 만회됩니다.

대안 접근: 걷는 속력 문자를 아예 쓰지 않고, 시간을 '걷기 단위'로 재는 방법도 있습니다. 거리 $d$를 걷는 데는 $d$가 들고, 자전거로 가는 데는 $\frac{d}{7}$이 든다고 봅니다. 그러면 경로 1은 $s$, 경로 2는 $h + \frac{h+s}{7}$이 듭니다. $s = h + \frac{h+s}{7}$로 놓고 $7$을 곱하면 $7s = 7h + h + s$, 따라서 $6s = 8h$, $\frac{h}{s} = \frac{3}{4}$이 다시 나옵니다. 걷는 속력을 $1$로 만드는 단위를 고르면 같은 방정식에 더 적게 씁니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (Yan의 집으로부터의 거리 $h$, 경기장으로부터의 거리 $s$, 걷는 속력 $w$에 이름을 붙이고 집에서 경기장까지의 거리를 $h+s$로 쓰는 데 사용.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (각 경로를 시간 $=$ 거리 $\div$ 속력으로 시간으로 바꾸고, 방정식 $6s=8h$에서 최종 비 $\frac{h}{s}=\frac{3}{4}$을 읽어내는 데 사용.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (시간이 같다는 조건을 방정식 $\frac{s}{w} = \frac{h}{w} + \frac{h+s}{7w}$으로 쓰는 데 사용.)
7.EE.A.1 Apply properties of operations to add, subtract, factor, and expand linear expressions ($7w$를 곱해 속력을 소거하고 $7s = 7h + (h+s)$를 $6s = 8h$으로 정리하는 데 사용.)

⭐ 여정에 실제 숫자가 없으면 거리와 속력을 문자로 이름 붙이고 각 시간을 거리 나누기 속력으로 쓰세요. 그러면 모르는 속력이 소거되고 원하는 비만 남습니다.