AMC 10 · 2007 · #15

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

tangent-circlespythagorean-theoremarea-rectangles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

정사각형 안에 반지름 1인 원 네 개가 각각 한 모퉁이에 들어가 정사각형의 두 변에 접해 있다. 가운데에는 반지름 2인 큰 원이 있어 네 개의 작은 원과 바깥쪽에서 각각 접한다. 정사각형의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$22 + 12\sqrt {2}$

(C)

$16 + 16\sqrt {3}$

(D)

(E)

$36 + 16\sqrt {2}$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 배치 퍼즐이므로 도구 #1(그림 그리기)에 좌표를 얹으면 모든 중심의 위치가 확정된다. 정사각형과 큰 원의 공통 중심을 원점에 두면, 모퉁이 원의 중심은 자신이 접하는 두 변에서 각각 반지름만큼 떨어져 있어야 한다는 사실로 결정된다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 모든 것을 여는 하나의 수를 끄집어낸다: 원점에서 모퉁이 원 중심까지의 거리인데, 외접 조건이 이를 2+1=3으로 고정한다. 도구 #4(변수 도입하기)는 한 변의 길이를 s로 놓아 그 거리를 방정식으로 바꾸고 풀며, 제곱하면 넓이가 나온다.

1STEP 1

좌표 세우기

공통 중심을 원점에 두고 한 변을 s라 하자. 모퉁이 원은 접하는 두 변에서 1씩 들어와 있으니 중심은 (s/2-1, s/2-1)이다.

모퉁이 원의 중심 = (s/2-1, s/2-1)

2STEP 2

접함에서 거리 읽기

외접하는 두 원의 중심 거리는 두 반지름의 합이므로, 원점에서 그 모퉁이 중심까지는 2 + 1 = 3이다.

원점에서 중심까지 거리 = 2 + 1 = 3

3STEP 3

방정식 세우고 풀기

a = s/2-1이면 (a,a)까지 거리가 a√(2)이므로 a√(2) = 3, a = 3√(2)/2, 즉 s = 2 + 3√(2)이다.

a√(2) = 3 → a = 3√(2)/2 → s = 2(1 + 3√(2)/2) = 2 + 3√(2)

4STEP 4

변을 제곱해 넓이 구하기

변을 제곱하면 s² = (2 + 3√(2))² = 4 + 12√(2) + 18 = 22 + 12√(2)이고, 이는 보기 (B)이다.

s² = (2 + 3√(2))² = 4 + 12√(2) + 18 = 22 + 12√(2) → (B)

정답

22 + 12√(2)

값이 타당한지 어림해 보자. √(2) ≈ 1.414이므로 한 변은 s ≈ 2 + 3(1.414) = 2 + 4.24 = 6.24이고, 넓이는 약 6.24² ≈ 39이다. 보기 (B)는 22 + 12(1.414) ≈ 22 + 17 = 39로 일치한다. 하한 검사도 통과한다: 큰 원만 해도 가운데를 가로지르는 지름이 4이고, 작은 원들이 양쪽에 여유를 더하므로 변이 6 근처, 넓이가 39 근처인 것은 그림이 요구하는 그대로다. 보기 (A) 32와 (D) 48은 근호가 없어 이 비스듬한 배치에는 너무 깔끔하고, (C)는 여기 등장하지 않는 √(3)을 쓰며, (E) ≈ 59는 너무 크다.

💡핵심 정리

모든 중심을 좌표에 고정하고, 각 접함이 거리를 하나씩 건네주게 한 뒤, 피타고라스 한 걸음으로 그 거리들을 정사각형의 변으로 바꾸어라.

좌표 세우기
접함에서 거리 읽기
방정식 세우고 풀기
변을 제곱해 넓이 구하기

좌표 세우기

접함에서 거리 읽기

방정식 세우고 풀기

변을 제곱해 넓이 구하기

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