AMC 10 · 2007 · #15
학년 8 geometry-2d반지름 1인 네 개의 원이 각각 정사각형의 두 변에 접하면서, 반지름 2인 원과 외접해 있다. 그림과 같을 때, 정사각형의 넓이는 얼마인가?
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AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 정사각형 안에 반지름 $1$인 원 네 개가 각각 한 모퉁이에 들어가 정사각형의 두 변에 접해 있다. 가운데에는 반지름 $2$인 큰 원이 있어 네 개의 작은 원과 바깥쪽에서 각각 접한다. 정사각형의 넓이를 구하여라.
주어진 것: 네 개의 작은 원의 반지름은 각각 $1$이다; 각 작은 원은 정사각형의 두 변에 접한다(즉 모퉁이에 놓인다); 가운데 원의 반지름은 $2$이다; 가운데 원은 네 개의 작은 원과 각각 외접한다; 대칭성에 의해 정사각형의 중심과 큰 원의 중심은 같은 점이다; 보기: (A) $32$, (B) $22 + 12\sqrt{2}$, (C) $16 + 16\sqrt{3}$, (D) $48$, (E) $36 + 16\sqrt{2}$
구하는 것: 정사각형의 넓이
이해
문제 재정리: 정사각형 안에 반지름 $1$인 원 네 개가 각각 한 모퉁이에 들어가 정사각형의 두 변에 접해 있다. 가운데에는 반지름 $2$인 큰 원이 있어 네 개의 작은 원과 바깥쪽에서 각각 접한다. 정사각형의 넓이를 구하여라.
주어진 것: 네 개의 작은 원의 반지름은 각각 $1$이다; 각 작은 원은 정사각형의 두 변에 접한다(즉 모퉁이에 놓인다); 가운데 원의 반지름은 $2$이다; 가운데 원은 네 개의 작은 원과 각각 외접한다; 대칭성에 의해 정사각형의 중심과 큰 원의 중심은 같은 점이다; 보기: (A) $32$, (B) $22 + 12\sqrt{2}$, (C) $16 + 16\sqrt{3}$, (D) $48$, (E) $36 + 16\sqrt{2}$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기
이 문제는 배치 퍼즐이므로 도구 #1(그림 그리기)에 좌표를 얹으면 모든 중심의 위치가 확정된다. 정사각형과 큰 원의 공통 중심을 원점에 두면, 모퉁이 원의 중심은 자신이 접하는 두 변에서 각각 반지름만큼 떨어져 있어야 한다는 사실로 결정된다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 모든 것을 여는 하나의 수를 끄집어낸다: 원점에서 모퉁이 원 중심까지의 거리인데, 외접 조건이 이를 $2+1=3$으로 고정한다. 도구 #4(변수 도입하기)는 한 변의 길이를 $s$로 놓아 그 거리를 방정식으로 바꾸고 풀며, 제곱하면 넓이가 나온다.
실행 — 정답: B
6.G.A.3 단계 1 좌표 세우기
- 정사각형의 중심(이는 큰 원의 중심이기도 하다)을 원점에 두고, 한 변의 길이를 $s$라 하자.
- 그러면 네 변은 $x = \pm\tfrac{s}{2}$, $y = \pm\tfrac{s}{2}$ 위에 놓인다.
- 오른쪽 위 모퉁이의 작은 원을 보자.
- 이 원은 위쪽 변과 오른쪽 변에 접하는데, 직선에 접하는 원은 그 직선에서 반지름만큼 떨어져 있으므로 중심은 오른쪽 변에서 왼쪽으로 $1$, 위쪽 변에서 아래로 $1$만큼 들어와 있다.
- 그 중심은 $\left(\tfrac{s}{2}-1,\ \tfrac{s}{2}-1\right)$이다.
💡 두 변에 붙은 원은 각 변에서 반지름만큼 안쪽에 있어야 하므로 중심이 정사각형 크기로 표현된다.
7.G.A.2 단계 2 접함에서 거리 읽기
- 큰 원(반지름 $2$)과 모퉁이 원(반지름 $1$)은 바깥쪽에서 접한다.
- 두 원이 외접하면 중심을 잇는 선분 위의 한 점에서 만나므로, 중심 사이 거리는 정확히 두 반지름의 합이다.
- 그 거리는 $2 + 1 = 3$이다.
- 따라서 원점은 모퉁이 원의 중심에서 정확히 $3$만큼 떨어져 있다.
💡 바깥쪽에서 맞닿은 두 원은 두 반지름을 이어 붙인 만큼 떨어져 있다.
8.G.B.8 단계 3 방정식 세우고 풀기
- 모퉁이 중심 $\left(\tfrac{s}{2}-1,\ \tfrac{s}{2}-1\right)$은 두 좌표가 같다.
- 그 공통값을 $a = \tfrac{s}{2}-1$이라 하자.
- 원점에서의 거리는 피타고라스 정리에 의해 $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$이다.
- 이를 $3$과 같다고 놓으면 $a\sqrt{2} = 3$, 즉 $a = \tfrac{3}{\sqrt{2}} = \tfrac{3\sqrt{2}}{2}$이다.
- 그러면 $\tfrac{s}{2} = 1 + \tfrac{3\sqrt{2}}{2}$이고, 따라서 $s = 2 + 3\sqrt{2}$이다.
💡 점 $(a,a)$는 원점에서 $a\sqrt{2}$만큼 떨어져 있으므로, 알려진 거리가 좌표를 되돌려 준다.
8.EE.A.2 단계 4 변을 제곱해 넓이 구하기
- 정사각형의 넓이는 $s^2 = (2 + 3\sqrt{2})^2$이다.
- 전개하면 $2^2 + 2\cdot 2 \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 = 4 + 12\sqrt{2} + 9\cdot 2 = 4 + 12\sqrt{2} + 18 = 22 + 12\sqrt{2}$이다.
- 이는 보기 (B)이다.
💡 $2+3\sqrt2$를 제곱하면 교차항이 근호를 가지므로 정수 부분과 $\sqrt2$ 부분이 함께 남는다.
6.G.A.3 정사각형의 중심(이는 큰 원의 중심이기도 하다)을 원점에 두고, 한 변의 길이를 $s$라 하자. 그러면 네 변은 $x = \pm\tfrac{s} 7.G.A.2 큰 원(반지름 $2$)과 모퉁이 원(반지름 $1$)은 바깥쪽에서 접한다. 두 원이 외접하면 중심을 잇는 선분 위의 한 점에서 만나므로, 중심 사 8.G.B.8 모퉁이 중심 $\left(\tfrac{s}{2}-1,\ \tfrac{s}{2}-1\right)$은 두 좌표가 같다. 그 공통값을 $a = \tf 8.EE.A.2 정사각형의 넓이는 $s^2 = (2 + 3\sqrt{2})^2$이다. 전개하면 $2^2 + 2\cdot 2 \cdot 3\sqrt{2} + (3 검토
합리성 확인: 값이 타당한지 어림해 보자. $\sqrt{2} \approx 1.414$이므로 한 변은 $s \approx 2 + 3(1.414) = 2 + 4.24 = 6.24$이고, 넓이는 약 $6.24^2 \approx 39$이다. 보기 (B)는 $22 + 12(1.414) \approx 22 + 17 = 39$로 일치한다. 하한 검사도 통과한다: 큰 원만 해도 가운데를 가로지르는 지름이 $4$이고, 작은 원들이 양쪽에 여유를 더하므로 변이 $6$ 근처, 넓이가 $39$ 근처인 것은 그림이 요구하는 그대로다. 보기 (A) $32$와 (D) $48$은 근호가 없어 이 비스듬한 배치에는 너무 깔끔하고, (C)는 여기 등장하지 않는 $\sqrt{3}$을 쓰며, (E) $\approx 59$는 너무 크다.
대안 접근: 좌표를 쓰지 않고 정사각형의 대각선을 따라가자. 오른쪽 위 모퉁이 원의 중심에서 출발해 원점을 지나 왼쪽 아래 모퉁이 원의 중심까지 곧장 간다. 이 길이는 작은 반지름 하나, 큰 원의 지름, 다시 작은 반지름 하나로 $1 + 4 + 1 = 6$이며, 이는 마주 보는 모퉁이 원 중심들을 잇는 작은 정사각형의 대각선이다. 대각선이 $6$인 정사각형의 한 변은 $6/\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$이고, 이 작은 정사각형의 변은 큰 정사각형의 변보다 양 끝에서 각각 $1$씩(중심에서 접한 변까지) 짧으므로 큰 변은 $3\sqrt{2} + 2$이다. 다시 제곱하면 $22 + 12\sqrt{2}$이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.G.A.3Draw polygons in the coordinate plane given coordinates for the vertices (정사각형과 원의 중심들을 좌표평면에 놓고 모퉁이 원의 중심을 $\left(\tfrac{s}{2}-1,\ \tfrac{s}{2}-1\right)$로 쓰는 데 사용.)7.G.A.2Draw geometric shapes with given conditions including triangles (외접 조건을 이용해 중심 사이 거리를 $2+1=3$으로 고정하는 데 사용.)8.G.B.8Apply the Pythagorean theorem to find distance between two points in a coordinate system (원점에서 $(a,a)$까지의 거리를 $a\sqrt{2}=3$으로 바꿔 한 변 $s = 2 + 3\sqrt{2}$를 구하는 데 사용.)8.EE.A.2Use square root and cube root symbols to represent solutions (근호가 든 한 변 $(2+3\sqrt{2})^2$을 제곱해 넓이 $22 + 12\sqrt{2}$을 구하는 데 사용.)
⭐ 모든 중심을 좌표에 고정하고, 각 접함이 거리를 하나씩 건네주게 한 뒤, 피타고라스 한 걸음으로 그 거리들을 정사각형의 변으로 바꾸어라.
⭐ 모든 중심을 좌표에 고정하고, 각 접함이 거리를 하나씩 건네주게 한 뒤, 피타고라스 한 걸음으로 그 거리들을 정사각형의 변으로 바꾸어라.
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