AMC 10 · 2007 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

similar-trianglescoordinate-geometryarea-rectanglesarea-triangles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

그림과 같은 $12$ 각형 $ABCDEFGHIJKL$ 을 생각하자. 각 변의 길이는 $4$ 이고, 이웃한 두 변은 서로 직각을 이룬다. $\overline{AG}$ 와 $\overline{CH}$ 가 점 $M$ 에서 만난다고 하자. 사각형 $ABCM$ 의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac {44}{3}$

(B)

(C)

$\frac {88}{5}$

(D)

(E)

$\frac {62}{3}$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 계단 모양의 $12$각형은 모든 변의 길이가 $4$이고 모든 모서리가 직각입니다. 두 선분 $\overline{AG}$와 $\overline{CH}$를 그으면 점 $M$에서 만납니다. 네 꼭짓점으로 된 영역 $ABCM$의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 다각형 $ABCDEFGHIJKL$은 $12$개의 변을 가지며, 각 변의 길이는 $4$이다; 이웃한 두 변은 모두 직각으로 만난다; 선분 $\overline{AG}$와 $\overline{CH}$는 점 $M$에서 만난다; 선택지: (A) $\frac{44}{3}$, (B) $16$, (C) $\frac{88}{5}$, (D) $20$, (E) $\frac{62}{3}$

구하는 것: 사각형 $ABCM$의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

모든 모서리가 직각이므로 도형 전체가 격자 위에 꼭 맞아 떨어집니다. 그래서 도구 #1(그림 그리기)로 각 꼭짓점을 좌표로 바꿉니다. 꼭짓점이 수가 되면 도구 #4(변수 도입하기)로 각 선분을 직선의 식으로 쓰고 두 직선이 만나는 곳을 풀어 $M$을 정확히 잡습니다. 영역 $ABCM$은 비스듬한 변이 있으므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 큰 직각삼각형에서 작은 직각삼각형을 잘라낸 모양으로 다시 봅니다. 두 넓이는 각각 밑변 곱하기 높이로 구할 수 있습니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

꼭짓점을 격자에 놓는다

모든 각이 직각이므로 각 변은 가로 또는 세로로 $4$만큼 나아갑니다.
$H=(0,0)$이 되도록 도형을 놓습니다.
필요한 꼭짓점을 격자에서 읽으면 $A=(0,12)$, $B=(4,12)$, $C=(4,8)$, $G=(4,0)$입니다.
$B$, $C$, $G$는 모두 같은 세로선 $x=4$ 위에 있고, $A$, $H$는 세로선 $x=0$ 위에 있음에 주목하세요.

$$A=(0,12),\; B=(4,12),\; C=(4,8),\; G=(4,0),\; H=(0,0)$$

💡 직각 모서리는 모든 변이 가로 아니면 세로임을 뜻하므로, 도형이 격자점 위에 곧바로 내려앉습니다.

#4 변수 도입하기 8.EE.B.6 단계 2

두 선분을 직선의 식으로 바꾼다

각 선분을 세로 변화량 나누기 가로 변화량으로 직선의 식으로 씁니다.
선분 $\overline{AG}$는 $A=(0,12)$에서 $G=(4,0)$으로 내려가며, 가로 $4$에 세로 $12$만큼 떨어지므로 기울기는 $-3$, 식은 $y = 12 - 3x$입니다.
선분 $\overline{CH}$는 $H=(0,0)$에서 $C=(4,8)$으로 올라가며, 가로 $4$에 세로 $8$만큼 오르므로 기울기는 $2$, 식은 $y = 2x$입니다.

$$\overline{AG}:\; y = 12 - 3x \qquad \overline{CH}:\; y = 2x$$

💡 곧은 선분은 하나의 일정한 기울기를 유지하므로, 양 끝 사이의 세로 변화 나누기 가로 변화가 곧 그 식입니다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.8 단계 3

만나는 점을 찾는다

교점 $M$은 두 직선 위에 모두 있으므로 두 식에서 높이가 같습니다.
같다고 놓으면 $12 - 3x = 2x$.
양변에 $3x$를 더하면 $12 = 5x$이므로 $x = \frac{12}{5}$.
그러면 $y = 2x = \frac{24}{5}$.
따라서 $M = \left(\frac{12}{5}, \frac{24}{5}\right)$입니다.

$$12 - 3x = 2x \;\Rightarrow\; 5x = 12 \;\Rightarrow\; x = \tfrac{12}{5},\; y = \tfrac{24}{5}$$

💡 두 직선 위에 동시에 있는 단 하나의 점은 바로 두 높이 식이 일치하는 곳입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

ABCM을 큰 삼각형에서 작은 삼각형을 뺀 것으로 다시 본다

꼭짓점 $A$, $B$, $G$는 비스듬한 변 $AG$를 한 변으로 하는 직각삼각형을 이루며, 이 변은 우리 영역의 한 변이기도 합니다.
직선 $CH$가 이 삼각형을 $CM$을 따라 가르며, 꼭짓점 $G$ 근처의 작은 삼각형 $MCG$를 잘라내고 정확히 영역 $ABCM$을 남깁니다.
따라서 $[ABCM] = [ABG] - [MCG]$입니다.
둘 다 세로선 $x=4$에 기댄 직각삼각형이므로 밑변 곱하기 높이를 반으로 나누어 구할 수 있습니다.

$$[ABCM] = [ABG] - [MCG]$$

💡 깔끔한 삼각형을 더 큰 삼각형에서 잘라내면 우리가 원하는 네 변짜리 조각이 남습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

두 삼각형의 넓이를 잰다

삼각형 $ABG$는 $(4,12)$에서 $(4,0)$까지의 세로 변 $BG$를 밑변으로 하며 길이는 $12$이고, 맞은편 꼭짓점 $A$는 가로로 $4$만큼($x=0$에서 $x=4$까지) 떨어져 있습니다.
따라서 $[ABG] = \tfrac{1}{2}\cdot 12 \cdot 4 = 24$입니다.
삼각형 $MCG$는 $(4,8)$에서 $(4,0)$까지의 세로 변 $CG$를 밑변으로 하며 길이는 $8$이고, 맞은편 꼭짓점 $M$은 가로로 $4 - \tfrac{12}{5} = \tfrac{8}{5}$만큼 떨어져 있습니다.
따라서 $[MCG] = \tfrac{1}{2}\cdot 8 \cdot \tfrac{8}{5} = \tfrac{32}{5}$입니다.

$$[ABG] = \tfrac{1}{2}\cdot 12 \cdot 4 = 24, \qquad [MCG] = \tfrac{1}{2}\cdot 8 \cdot \tfrac{8}{5} = \tfrac{32}{5}$$

💡 세로 밑변에 기댄 삼각형에서는 높이가 곧 맞은편 꼭짓점이 옆으로 얼마나 뻗었는가입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 6

빼서 넓이를 구한다

큰 삼각형에서 작은 삼각형을 덜어냅니다: $[ABCM] = 24 - \tfrac{32}{5}$.
$24$를 $\tfrac{120}{5}$로 쓰면 $\tfrac{120}{5} - \tfrac{32}{5} = \tfrac{88}{5}$입니다.
따라서 사각형 $ABCM$의 넓이는 $\tfrac{88}{5}$, 곧 선택지 (C)입니다.

$$[ABCM] = 24 - \tfrac{32}{5} = \tfrac{120}{5} - \tfrac{32}{5} = \tfrac{88}{5} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 남는 영역은 그저 잘려 나간 모서리를 뺀 삼각형 전체입니다.

[1] #1 6.G.A.3 모든 각이 직각이므로 각 변은 가로 또는 세로로 $4$만큼 나아갑니다. $H=(0,0)$이 되도록 도형을 놓습니다. 필요한 꼭짓점을 격자에서 읽

[2] #4 8.EE.B.6 각 선분을 세로 변화량 나누기 가로 변화량으로 직선의 식으로 씁니다. 선분 $\overline{AG}$는 $A=(0,12)$에서 $G=(4,0)

[3] #4 8.EE.C.8 교점 $M$은 두 직선 위에 모두 있으므로 두 식에서 높이가 같습니다. 같다고 놓으면 $12 - 3x = 2x$. 양변에 $3x$를 더하면 $1

[4] #7 6.G.A.1 꼭짓점 $A$, $B$, $G$는 비스듬한 변 $AG$를 한 변으로 하는 직각삼각형을 이루며, 이 변은 우리 영역의 한 변이기도 합니다. 직선

[5] #7 6.G.A.1 삼각형 $ABG$는 $(4,12)$에서 $(4,0)$까지의 세로 변 $BG$를 밑변으로 하며 길이는 $12$이고, 맞은편 꼭짓점 $A$는 가로로

[6] #7 5.NF.A.1 큰 삼각형에서 작은 삼각형을 덜어냅니다: $[ABCM] = 24 - \tfrac{32}{5}$. $24$를 $\tfrac{120}{5}$로 쓰면

검토

합리성 확인: 값 $\frac{88}{5} = 17.6$은 선택지 중 하나이며 크기 점검도 통과합니다. 영역 $ABCM$은 직각삼각형 $ABC$ 전체(두 변 $AB=4$, $BC=4$, 넓이 $\tfrac{1}{2}\cdot4\cdot4 = 8$)에 그 아래의 삼각형 $ACM$을 더한 것이므로, 넓이는 $8$보다 넉넉히 크되 직사각형 $ABGH$ 전체의 $48$보다는 훨씬 작아야 하는데 $17.6$은 바로 그 범위에 놓입니다. 꼭짓점 $A(0,12), B(4,12), C(4,8), M(\tfrac{12}{5},\tfrac{24}{5})$로 신발끈 공식을 직접 써도 넓이는 $\tfrac{88}{5}$이 나옵니다.

대안 접근: $ABCM$을 반대로 대각선 $AC$를 따라 나눕니다. 삼각형 $ABC$는 $B$에서 직각이고 두 변이 $4$, $4$이므로 넓이는 $8$입니다. 삼각형 $ACM$은 $A=(0,12)$, $C=(4,8)$, $M=(\tfrac{12}{5},\tfrac{24}{5})$이며 신발끈 공식으로 넓이가 $\tfrac{48}{5}$입니다. 더하면 $8 + \tfrac{48}{5} = \tfrac{40}{5} + \tfrac{48}{5} = \tfrac{88}{5}$로 같은 결과입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.3 Draw polygons in the coordinate plane given coordinates for the vertices (직각으로 된 도형을 격자에 놓고 꼭짓점 $A, B, C, G, H$를 읽어냄.)
8.EE.B.6 Use similar triangles to explain why the slope is the same between any two points (그은 두 선분 $\overline{AG}$와 $\overline{CH}$를 세로 변화 나누기 가로 변화로 직선의 식으로 씀.)
8.EE.C.8 Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations ($12 - 3x = 2x$를 풀어 교점 $M = (\tfrac{12}{5}, \tfrac{24}{5})$을 찾음.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing ($ABCM$을 삼각형 $ABG$에서 삼각형 $MCG$를 뺀 것으로 다시 보고 각각을 밑변 곱하기 높이로 구함.)
5.NF.A.1 Add and subtract fractions with unlike denominators (최종 넓이로 $24 - \tfrac{32}{5} = \tfrac{88}{5}$을 계산함.)

⭐ 직각으로 된 도형을 격자에 올리고, 교차하는 선을 기울기로 바꿔 만나는 점을 찾은 뒤, 이상한 네 변짜리 조각을 큰 삼각형에서 작은 삼각형을 잘라낸 모양으로 만드세요.