AMC 10 · 2007 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

similar-trianglescoordinate-geometryarea-rectanglesarea-triangles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

그림의 12각형 ABCDEFGHIJKL은 계단 모양이고, 꼭짓점은 둘레를 따라 차례로 A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L입니다. 각 변의 길이는 4이고, 이웃한 두 변은 서로 직각을 이룹니다. 선분 AG와 CH는 점 M에서 만납니다. 사각형 ABCM의 넓이는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac {44}{3}$

(B)

(C)

$\frac {88}{5}$

(D)

(E)

$\frac {62}{3}$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

모든 모서리가 직각이므로 도형 전체가 격자 위에 꼭 맞아 떨어집니다. 그래서 도구 #1(그림 그리기)로 각 꼭짓점을 좌표로 바꿉니다. 꼭짓점이 수가 되면 도구 #4(변수 도입하기)로 각 선분을 직선의 식으로 쓰고 두 직선이 만나는 곳을 풀어 M을 정확히 잡습니다. 영역 ABCM은 비스듬한 변이 있으므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 큰 직각삼각형에서 작은 직각삼각형을 잘라낸 모양으로 다시 봅니다. 두 넓이는 각각 밑변 곱하기 높이로 구할 수 있습니다.

1STEP 1

꼭짓점을 격자에 놓는다

모든 각이 직각이라 변은 가로세로로 4씩 갑니다. H=(0,0)이면 A=(0,12), B=(4,12), C=(4,8), G=(4,0)입니다.

A=(0,12), B=(4,12), C=(4,8), G=(4,0), H=(0,0)

2STEP 2

두 선분을 직선의 식으로 바꾼다

기울기는 세로 나누기 가로입니다. AG는 4에 12만큼 내려가 y = 12 - 3x, CH는 4에 8만큼 올라 y = 2x.

AG: y = 12 - 3x CH: y = 2x

3STEP 3

만나는 점을 찾는다

M은 두 직선 위에 있으니 12 - 3x = 2x, 곧 5x = 12입니다. 따라서 M = (12/5, 24/5).

12 - 3x = 2x → 5x = 12 → x = 12/5, y = 24/5

4STEP 4

ABCM을 큰 삼각형에서 작은 삼각형을 뺀 것으로 다시 본다

CH가 삼각형 ABG를 CM을 따라 갈라 작은 삼각형 MCG를 떼면 ABCM이 남습니다: [ABCM] = [ABG] - [MCG].

[ABCM] = [ABG] - [MCG]

5STEP 5

두 삼각형의 넓이를 잰다

밑변 BG = 12에 A는 가로로 4: [ABG] = 24. 밑변 CG = 8에 M은 4 - 12/5 = 8/5: [MCG] = 32/5.

[ABG] = 1/2 · 12 · 4 = 24, [MCG] = 1/2 · 8 · 8/5 = 32/5

6STEP 6

빼서 넓이를 구한다

24를 120/5로 써서 빼면 [ABCM] = 120/5 - 32/5 = 88/5, 곧 선택지 (C)입니다.

[ABCM] = 24 - 32/5 = 120/5 - 32/5 = 88/5 → (C)

정답

88/5

값 88/5 = 17.6은 선택지 중 하나이며 크기 점검도 통과합니다. 영역 ABCM은 직각삼각형 ABC 전체(두 변 AB=4, BC=4, 넓이 1/2·4·4 = 8)에 그 아래의 삼각형 ACM을 더한 것이므로, 넓이는 8보다 넉넉히 크되 직사각형 ABGH 전체의 48보다는 훨씬 작아야 하는데 17.6은 바로 그 범위에 놓입니다. 꼭짓점 A(0,12), B(4,12), C(4,8), M(12/5,24/5)로 신발끈 공식을 직접 써도 넓이는 88/5이 나옵니다.

💡핵심 정리

직각으로 된 도형을 격자에 올리고, 교차하는 선을 기울기로 바꿔 만나는 점을 찾은 뒤, 이상한 네 변짜리 조각을 큰 삼각형에서 작은 삼각형을 잘라낸 모양으로 만드세요.

꼭짓점을 격자에 놓는다
두 선분을 직선의 식으로 바꾼다
만나는 점을 찾는다
ABCM을 큰 삼각형에서 작은 삼각형을 뺀 것으로 다시 본다
두 삼각형의 넓이를 잰다
빼서 넓이를 구한다