AMC 10 · 2007 · #20
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AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
a + a⁻¹ = 4를 a에 대해 푸는 직접적인 길은 지저분한 무리수 a = 2 ± √(3)을 주고, 그것을 손으로 네제곱하기는 고통스럽습니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 목표를 바꿉니다: a를 아예 구하지 말고 대칭적인 양 aⁿ + a⁻ⁿ만으로 작업합니다. 이를 작동시키는 엔진은 제곱하기인데, a · a⁻¹ = 1이므로 모든 제곱의 가운데 항이 깨끗한 상수 2가 되기 때문입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 거듭제곱 1에서 4로의 도약을 두 개의 쉬운 계단 a + a⁻¹ → a² + a⁻² → a⁴ + a⁻⁴으로 바꿉니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 두 계단이 정확히 같은 동작 — 제곱한 뒤 2를 빼기 — 임을 알아채므로, 두 번째 단계에는 새로운 아이디어가 필요 없습니다.
a가 아니라 거듭제곱을 겨냥하기
a를 구하지 말고 x + x⁻¹을 제곱하세요. x · x⁻¹ = 1이라 가운데 항은 늘 +2이고 지수는 두 배가 됩니다.
a와 a⁻¹의 곱이 1이므로 제곱하면 늘 깨끗한 +2가 남고 지수가 두 배가 되어, a의 지저분한 값이 결코 등장할 필요가 없습니다.
어떤 수에 그 역수를 곱하면 1이므로, 제곱할 때마다 깔끔하게 2가 남고 지수는 두 배가 된다.
▸ 왜?
어떤 양에 그 역수를 곱하면 1이 되므로, 교차항이 평범한 수로 바뀐다.
▸ 왜?
제곱을 펼치면 각 조각이 각 조각과 만나며, 그것이 그 교차항을 만든다.
한 번 제곱해 거듭제곱 2에 도달하기
a + a⁻¹ = 4를 제곱하면 왼쪽은 a² + a⁻² + 2, 오른쪽은 16이므로 a² + a⁻² = 14입니다.
한 번의 제곱이 거듭제곱 1에 대해 아는 것을 거듭제곱 2에 대한 사실로 바꾸어, 다음 도약을 위한 디딤돌 14를 줍니다.
6.EE.A.3Identify Subproblems다시 제곱해 거듭제곱 4에 도달하기
a² + a⁻² = 14에 같은 동작을 반복하면 a⁴ + a⁻⁴ + 2 = 196이므로 a⁴ + a⁻⁴ = 194, 즉 (D)입니다.
두 번째 계단은 첫 번째와 똑같으므로 — 제곱한 뒤 2를 빼기 — 거듭제곱 2에서 4로 오르는 데 새로운 아이디어가 필요 없습니다.
6.EE.B.7Look For A Pattern어떤 수와 그 역수의 합의 높은 거듭제곱을 구하려면 그 수를 구하지 말고 방정식을 제곱하세요. 역수끼리 곱하면 1이 되어 깔끔한 +2를 남기고 지수는 두 배가 되기 때문입니다.
- a가 아니라 거듭제곱을 겨냥하기
- 한 번 제곱해 거듭제곱 2에 도달하기
- 다시 제곱해 거듭제곱 4에 도달하기