AMC 10 · 2007 · #20
학년 8 algebra어떤 수 a가 4=a+a−1을 만족한다고 하자. a4+a−4의 값은 얼마인가?
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AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 어떤 수 $a$가 $a + a^{-1} = 4$를 만족합니다. $a^4 + a^{-4}$의 값을 구하세요.
주어진 것: 수 $a$는 방정식 $a + a^{-1} = 4$를 만족함; 여기서 $a^{-1}$은 $\frac{1}{a}$을 뜻하므로, $a$와 그 역수의 합이 $4$임; 선택지: (A) $164$, (B) $172$, (C) $192$, (D) $194$, (E) $212$
구하는 것: $a^4 + a^{-4}$의 값, 즉 $a$의 네제곱과 그 역수의 네제곱의 합
이해
문제 재정리: 어떤 수 $a$가 $a + a^{-1} = 4$를 만족합니다. $a^4 + a^{-4}$의 값을 구하세요.
주어진 것: 수 $a$는 방정식 $a + a^{-1} = 4$를 만족함; 여기서 $a^{-1}$은 $\frac{1}{a}$을 뜻하므로, $a$와 그 역수의 합이 $4$임; 선택지: (A) $164$, (B) $172$, (C) $192$, (D) $194$, (E) $212$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #5 패턴 찾기
$a + a^{-1} = 4$를 $a$에 대해 푸는 직접적인 길은 지저분한 무리수 $a = 2 \pm \sqrt{3}$을 주고, 그것을 손으로 네제곱하기는 고통스럽습니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 목표를 바꿉니다: $a$를 아예 구하지 말고 대칭적인 양 $a^n + a^{-n}$만으로 작업합니다. 이를 작동시키는 엔진은 제곱하기인데, $a \cdot a^{-1} = 1$이므로 모든 제곱의 가운데 항이 깨끗한 상수 $2$가 되기 때문입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 거듭제곱 $1$에서 $4$로의 도약을 두 개의 쉬운 계단 $a + a^{-1} \to a^2 + a^{-2} \to a^4 + a^{-4}$으로 바꿉니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 두 계단이 정확히 같은 동작 — 제곱한 뒤 $2$를 빼기 — 임을 알아채므로, 두 번째 단계에는 새로운 아이디어가 필요 없습니다.
실행 — 정답: D
8.EE.A.1 단계 1 a가 아니라 거듭제곱을 겨냥하기
- $a$를 구하지 마세요.
- 대신 $x + x^{-1}$ 꼴의 양을 제곱하면 무슨 일이 일어나는지 봅니다: 바깥 항은 $x^2$과 $x^{-2}$이 되고, 가운데 항은 $2 \cdot x \cdot x^{-1} = 2 \cdot 1 = 2$, 즉 고정된 상수가 됩니다.
- 어떤 수와 그 역수의 곱이 $1$이기 때문입니다.
- 그래서 $x + x^{-1}$을 제곱하면 $x^2 + x^{-2}$에 깔끔한 $+2$가 더해져 지수가 $1$에서 $2$로 올라갑니다.
- 이 제곱을 반복하면 $2$를 $4$로 올릴 수 있고, 그것이 바로 우리가 필요한 사다리입니다.
💡 $a$와 $a^{-1}$의 곱이 $1$이므로 제곱하면 늘 깨끗한 $+2$가 남고 지수가 두 배가 되어, $a$의 지저분한 값이 결코 등장할 필요가 없습니다.
6.EE.A.3 단계 2 한 번 제곱해 거듭제곱 2에 도달하기
- $a + a^{-1} = 4$의 양변을 제곱합니다.
- 1단계의 항등식에 의해 왼쪽은 $a^2 + a^{-2} + 2$가 되고, 오른쪽은 $4^2 = 16$이 됩니다.
- 그래서 $a^2 + a^{-2} + 2 = 16$입니다.
- 양변에서 $2$를 빼면 거듭제곱 2의 합이 분리됩니다: $a^2 + a^{-2} = 14$.
💡 한 번의 제곱이 거듭제곱 $1$에 대해 아는 것을 거듭제곱 $2$에 대한 사실로 바꾸어, 다음 도약을 위한 디딤돌 $14$를 줍니다.
6.EE.B.7 단계 3 다시 제곱해 거듭제곱 4에 도달하기
- $a^2 + a^{-2} = 14$에 똑같은 동작을 적용합니다.
- 왼쪽을 제곱하면 $a^4 + a^{-4} + 2$가 되고(가운데 항이 다시 $2 \cdot a^2 \cdot a^{-2} = 2$), 오른쪽을 제곱하면 $14^2 = 196$이 됩니다.
- 그래서 $a^4 + a^{-4} + 2 = 196$이고, $2$를 빼면 $a^4 + a^{-4} = 194$가 남습니다.
- 이것이 선택지 (D)입니다.
💡 두 번째 계단은 첫 번째와 똑같으므로 — 제곱한 뒤 $2$를 빼기 — 거듭제곱 $2$에서 $4$로 오르는 데 새로운 아이디어가 필요 없습니다.
8.EE.A.1 $a$를 구하지 마세요. 대신 $x + x^{-1}$ 꼴의 양을 제곱하면 무슨 일이 일어나는지 봅니다: 바깥 항은 $x^2$과 $x^{-2}$이 6.EE.A.3 $a + a^{-1} = 4$의 양변을 제곱합니다. 1단계의 항등식에 의해 왼쪽은 $a^2 + a^{-2} + 2$가 되고, 오른쪽은 $4^2 6.EE.B.7 $a^2 + a^{-2} = 14$에 똑같은 동작을 적용합니다. 왼쪽을 제곱하면 $a^4 + a^{-4} + 2$가 되고(가운데 항이 다시 $2 검토
합리성 확인: $a$의 실제 값으로 확인합니다. 방정식 $a + a^{-1} = 4$는 $a^2 - 4a + 1 = 0$이 되므로 $a = 2 + \sqrt{3}$입니다(역수는 $2 - \sqrt{3}$). 그러면 $a^2 = 7 + 4\sqrt{3}$, $a^{-2} = 7 - 4\sqrt{3}$이고 합은 $14$로 2단계와 일치합니다. 다시 제곱하면 $a^4 = 97 + 56\sqrt{3}$, $a^{-4} = 97 - 56\sqrt{3}$이고 합은 $194$입니다. 무리수 부분이 정확히 소거되어 $a^4 + a^{-4} = 194$임을 확인합니다. 이 값은 선택지 범위 안에 넉넉히 들어가고 $14^2 = 196$보다 조금 작으며, $a^4 + a^{-4}$이 $14^2$에서 $2$를 뺀 값이므로 예상과 맞습니다.
대안 접근: $p_n = a^n + a^{-n}$에 대한 점화식을 씁니다. $a + a^{-1} = 4$를 곱해 전개하면 $p_n = 4\,p_{n-1} - p_{n-2}$임이 드러나며, $p_0 = a^0 + a^0 = 2$, $p_1 = 4$에서 시작합니다. 그러면 $p_2 = 4(4) - 2 = 14$, $p_3 = 4(14) - 4 = 52$, $p_4 = 4(52) - 14 = 194$입니다. 제곱을 전혀 쓰지 않고 덧셈과 곱셈만으로 같은 $194$에 도달합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.EE.A.1Know and apply the properties of integer exponents ($a^{-1}$과 $a^{-4}$을 역수 거듭제곱으로 읽고, $a \cdot a^{-1} = 1$을 이용해 각 제곱의 교차항이 상수 $2$임을 보는 데 사용.)6.EE.A.3Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (양변을 제곱할 때 $\left(a + a^{-1}\right)^2$을 동치 표현 $a^2 + a^{-2} + 2$로 전개하는 데 사용.)6.EE.B.7Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q (각 거듭제곱 합을 하나의 미지수로 보고 일차 방정식 $a^2 + a^{-2} + 2 = 16$과 $a^4 + a^{-4} + 2 = 196$을 풀어 $14$, 그다음 $194$를 분리하는 데 사용.)
⭐ 어떤 수와 그 역수의 합의 높은 거듭제곱을 구하려면 그 수를 구하지 말고 방정식을 제곱하세요. 역수끼리 곱하면 $1$이 되어 깔끔한 $+2$를 남기고 지수는 두 배가 되기 때문입니다.
⭐ 어떤 수와 그 역수의 합의 높은 거듭제곱을 구하려면 그 수를 구하지 말고 방정식을 제곱하세요. 역수끼리 곱하면 $1$이 되어 깔끔한 $+2$를 남기고 지수는 두 배가 되기 때문입니다.
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