AMC 10 · 2007 · #21
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AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
여기서는 영리한 대수가 필요하지 않습니다. 문제 전체가 겹겹이 포개진 도형들의 사슬이므로, 이를 여는 것은 도구 #17(공간 상상하기)입니다. 핵심이 되는 단 하나의 그림은 한 길이가 세 도형을 모두 관통한다는 것입니다: 바깥 정육면체의 모서리는 구의 지름과 같고(구가 면에 닿으므로), 그 지름은 다시 안쪽 정육면체의 공간 대각선과 같습니다(꼭짓점이 구 위에 있으므로). 이것을 보고 나면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 네 개의 평범한 작은 단계로 나눕니다: 겉넓이로 바깥 모서리 구하기, 그 모서리로 지름 구하기, 대각선으로 안쪽 모서리 구하기, 안쪽 모서리로 겉넓이 구하기. 도구 #1(그림 그리기)은 어느 길이가 무엇인지 놓치지 않게 해 주고, 도구 #4(변수 도입하기)는 안쪽 정육면체의 모서리에 이름을 붙여 공간 대각선 관계를 방정식으로 만듭니다.
바깥 정육면체의 모서리 구하기
똑같은 면 6개가 24를 나눠 가지므로 한 면은 4, 바깥 모서리는 √(4) = 2미터입니다.
겉넓이는 똑같은 면 여섯 개일 뿐이므로, 6으로 나누고 제곱근을 취하면 곧장 모서리로 되돌아갑니다.
6.G.A.4Identify Subproblems한 길이로 세 도형 잇기
구는 면에서 면까지 걸치므로 지름은 그 모서리이고, 꼭짓점이 구 위에 있는 안쪽 정육면체의 공간 대각선도 2입니다.
하나의 곧은 길이가 세 도형을 모두 꿰뚫으므로, 그것을 한 번 재면 어디서나 그 값이 정해집니다.
하나의 곧은 길이가 세 도형을 모두 꿰므로, 한 번 재면 어디서나 정해진다.
▸ 왜?
구는 모든 방향에서 중심으로부터 같은 거리를 지키므로, 지름 하나가 모두에게 통한다.
▸ 왜?
그 지름과 각각 같은 두 길이는 서로 같으므로, 도형들을 곧바로 이을 수 있다.
안쪽 정육면체의 공간 대각선 쓰기
안쪽 모서리를 s라 하면 면 대각선의 제곱은 2s², 공간 대각선의 제곱은 3s²이므로 대각선은 s√(3)입니다.
상자를 가로지르는 꼭짓점끼리의 거리는 피타고라스 정리를 두 번, 한 번은 면을 가로질러, 한 번은 먼 꼭짓점까지 올려 쓰는 것일 뿐입니다.
8.G.B.7Introduce A Variable안쪽 모서리의 제곱 구하기
s√(3) = 2를 제곱하면 3s² = 4이므로 s² = 4/3입니다. 겉넓이엔 s²만 필요합니다.
대각선 방정식을 제곱하면 성가신 제곱근이 깔끔한 s² 값으로 바뀌는데, 넓이가 필요로 하는 것이 바로 그것입니다.
8.EE.A.2Introduce A Variable안쪽 겉넓이 계산하기
넓이가 s²인 면 6개이므로 6s² = 6 · 4/3 = 8 제곱미터, 즉 선택지 (C)입니다.
겉넓이는 s²의 여섯 배이므로, s²을 손에 쥐면 곱셈 한 번으로 문제가 끝납니다.
6.G.A.4Identify Subproblems겹겹이 포개진 도형을 관통하는 한 길이를 따라가세요: 큰 정육면체의 모서리는 구의 너비이고 작은 정육면체의 꼭짓점끼리 이은 대각선이며, 나머지는 모두 그 한 선에서 따라 나옵니다.
- 바깥 정육면체의 모서리 구하기
- 한 길이로 세 도형 잇기
- 안쪽 정육면체의 공간 대각선 쓰기
- 안쪽 모서리의 제곱 구하기
- 안쪽 겉넓이 계산하기