AMC 10 · 2007 · #21

학년 8 geometry-3d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

space-diagonal-formulapythagorean-theoremsurface-areasimilar-figures identify-subproblems ↑ 선수 지식: space-diagonal-formula

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

표면적이 $24$ 제곱미터인 정육면체에 구가 내접해 있다. 그런 다음 그 구에 두 번째 정육면체가 내접한다. 안쪽 정육면체의 표면적은 몇 제곱미터인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 정육면체의 겉넓이가 $24$ 제곱미터입니다. 그 안에 구가 여섯 면에 모두 닿도록 꼭 맞게 들어갑니다. 그다음 그 구 안에 더 작은 두 번째 정육면체가 여덟 꼭짓점이 모두 구 위에 놓이도록 꼭 맞게 들어갑니다. 이 안쪽 정육면체의 겉넓이를 구하세요.

주어진 것: 바깥 정육면체의 겉넓이는 $24$ 제곱미터; 구가 바깥 정육면체에 내접함(안에서 여섯 면에 모두 닿음); 두 번째 정육면체가 구에 내접함(여덟 꼭짓점이 모두 구 위에 있음); 선택지: (A) $3$, (B) $6$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $12$

구하는 것: 안쪽 정육면체의 겉넓이(제곱미터)

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기

여기서는 영리한 대수가 필요하지 않습니다. 문제 전체가 겹겹이 포개진 도형들의 사슬이므로, 이를 여는 것은 도구 #17(공간 상상하기)입니다. 핵심이 되는 단 하나의 그림은 한 길이가 세 도형을 모두 관통한다는 것입니다: 바깥 정육면체의 모서리는 구의 지름과 같고(구가 면에 닿으므로), 그 지름은 다시 안쪽 정육면체의 공간 대각선과 같습니다(꼭짓점이 구 위에 있으므로). 이것을 보고 나면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 네 개의 평범한 작은 단계로 나눕니다: 겉넓이로 바깥 모서리 구하기, 그 모서리로 지름 구하기, 대각선으로 안쪽 모서리 구하기, 안쪽 모서리로 겉넓이 구하기. 도구 #1(그림 그리기)은 어느 길이가 무엇인지 놓치지 않게 해 주고, 도구 #4(변수 도입하기)는 안쪽 정육면체의 모서리에 이름을 붙여 공간 대각선 관계를 방정식으로 만듭니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.4 단계 1

바깥 정육면체의 모서리 구하기

정육면체는 똑같은 정사각형 면이 $6$개이므로, 각 면의 넓이는 $24 \div 6 = 4$ 제곱미터입니다.
넓이가 $4$인 정사각형의 한 변은 $\sqrt{4} = 2$이므로, 바깥 정육면체의 모서리는 $2$미터입니다.

$$6 a^2 = 24 \;\Rightarrow\; a^2 = 4 \;\Rightarrow\; a = 2$$

💡 겉넓이는 똑같은 면 여섯 개일 뿐이므로, 6으로 나누고 제곱근을 취하면 곧장 모서리로 되돌아갑니다.

#17 공간 상상하기 7.G.B.6 단계 2

한 길이로 세 도형 잇기

구는 바깥 정육면체에 내접하므로 각 면의 중심에 닿습니다.
구를 가로지르는 거리는 마주 보는 두 면 사이의 간격, 즉 정육면체의 모서리와 정확히 같습니다.
그래서 구의 지름은 $2$입니다.
안쪽 정육면체는 구에 내접하므로 여덟 꼭짓점이 모두 구 위에 있습니다.
안쪽 정육면체의 가장 긴 대각선(꼭짓점에서 마주 보는 꼭짓점까지)은 구를 가로질러 그 지름과 같습니다.
따라서 안쪽 정육면체의 공간 대각선은 $2$입니다.

$$\text{바깥 모서리} = \text{구의 지름} = \text{안쪽 공간 대각선} = 2$$

💡 하나의 곧은 길이가 세 도형을 모두 꿰뚫으므로, 그것을 한 번 재면 어디서나 그 값이 정해집니다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 3

안쪽 정육면체의 공간 대각선 쓰기

안쪽 정육면체의 모서리를 $s$라 합시다.
마주 보는 꼭짓점까지는 피타고라스를 두 번 밟아 도달합니다.
먼저 한 면의 대각선은 변이 $s$인 정사각형의 두 꼭짓점을 잇는 것이므로 길이의 제곱은 $s^2 + s^2 = 2s^2$입니다.
다음으로 공간 대각선은 그 면 대각선과 모서리 $s$ 하나를 다리로 하는 직각삼각형의 빗변이므로, 길이의 제곱은 $2s^2 + s^2 = 3s^2$입니다.
따라서 공간 대각선은 $\sqrt{3s^2} = s\sqrt{3}$입니다.

$$\text{면 대각선}^2 = s^2 + s^2 = 2s^2, \qquad \text{공간 대각선}^2 = 2s^2 + s^2 = 3s^2$$

💡 상자를 가로지르는 꼭짓점끼리의 거리는 피타고라스 정리를 두 번, 한 번은 면을 가로질러, 한 번은 먼 꼭짓점까지 올려 쓰는 것일 뿐입니다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 4

안쪽 모서리의 제곱 구하기

공간 대각선이 $2$이므로 $s\sqrt{3} = 2$로 놓습니다.
양변을 제곱하면 $3s^2 = 4$, 따라서 $s^2 = \dfrac{4}{3}$입니다.
겉넓이는 $s^2$으로 만들어지므로 $s$ 자체가 아니라 $s^2$만 있으면 된다는 점에 주목하세요.

$$s\sqrt{3} = 2 \;\Rightarrow\; 3s^2 = 4 \;\Rightarrow\; s^2 = \dfrac{4}{3}$$

💡 대각선 방정식을 제곱하면 성가신 제곱근이 깔끔한 $s^2$ 값으로 바뀌는데, 넓이가 필요로 하는 것이 바로 그것입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.4 단계 5

안쪽 겉넓이 계산하기

안쪽 정육면체의 겉넓이는 넓이가 각각 $s^2$인 면 $6$개이므로 $6s^2 = 6 \cdot \dfrac{4}{3} = 8$ 제곱미터입니다.
이는 선택지 (C)입니다.

$$6 s^2 = 6 \cdot \dfrac{4}{3} = 8 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 겉넓이는 $s^2$의 여섯 배이므로, $s^2$을 손에 쥐면 곱셈 한 번으로 문제가 끝납니다.

[1] #7 6.G.A.4 정육면체는 똑같은 정사각형 면이 $6$개이므로, 각 면의 넓이는 $24 \div 6 = 4$ 제곱미터입니다. 넓이가 $4$인 정사각형의 한 변은

[2] #17 7.G.B.6 구는 바깥 정육면체에 내접하므로 각 면의 중심에 닿습니다. 구를 가로지르는 거리는 마주 보는 두 면 사이의 간격, 즉 정육면체의 모서리와 정확히

[3] #4 8.G.B.7 안쪽 정육면체의 모서리를 $s$라 합시다. 마주 보는 꼭짓점까지는 피타고라스를 두 번 밟아 도달합니다. 먼저 한 면의 대각선은 변이 $s$인 정

[4] #4 8.EE.A.2 공간 대각선이 $2$이므로 $s\sqrt{3} = 2$로 놓습니다. 양변을 제곱하면 $3s^2 = 4$, 따라서 $s^2 = \dfrac{4}{

[5] #7 6.G.A.4 안쪽 정육면체의 겉넓이는 넓이가 각각 $s^2$인 면 $6$개이므로 $6s^2 = 6 \cdot \dfrac{4}{3} = 8$ 제곱미터입니다.

검토

합리성 확인: 안쪽 정육면체는 바깥 것보다 꽤 작아야 하므로 겉넓이는 $24$보다 한참 아래여야 하는데, $8$은 그 기대에 맞습니다. 더 날카로운 확인은 두 정육면체를 직접 비교하는 것입니다: 바깥 모서리는 $2$이고 안쪽 공간 대각선도 $2$인데, 정육면체의 공간 대각선은 모서리의 $\sqrt{3}$배이므로 안쪽 모서리는 $\frac{2}{\sqrt{3}}$이고 모서리 비는 $\frac{1}{\sqrt{3}}$입니다. 넓이는 그 비의 제곱 $\frac{1}{3}$으로 커지고, 실제로 $\frac{1}{3} \cdot 24 = 8$입니다. 두 경로가 일치하므로 $8$이 맞습니다.

대안 접근: 안쪽 모서리를 아예 건너뛰고 닮음 지름길을 씁니다. 두 정육면체는 닮았고, 끝까지 살아남는 길이는 $2$입니다: 그것은 바깥 정육면체의 모서리이자 안쪽 정육면체의 공간 대각선입니다. 어떤 정육면체든 모서리와 공간 대각선은 $\sqrt{3}$배만큼 차이 나므로, 안쪽 정육면체는 길이가 $\frac{1}{\sqrt{3}}$배로 줄고 따라서 넓이는 $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$배로 줄어듭니다. 그래서 안쪽 겉넓이는 $24$의 $\frac{1}{3}$인 $8$이며, $s$를 풀지 않고도 (C)가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.4 Represent 3D figures with nets and find surface area (바깥 정육면체의 겉넓이를 면 넓이로 바꾸고($24 \div 6 = 4$이므로 모서리 $2$), 안쪽 정육면체의 겉넓이를 $s^2$에서 $6s^2 = 8$로 다시 세우는 데 사용.)
7.G.B.6 Solve problems involving surface area and volume of three-dimensional objects (내접한 구의 지름이 바깥 정육면체의 모서리이자 안쪽 정육면체의 공간 대각선과 같음을 알아채어 세 도형을 한 길이로 잇는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (안쪽 정육면체 안에서 피타고라스 정리를 두 번 적용해 모서리 $s$로부터 공간 대각선 $s\sqrt{3}$을 구하는 데 사용.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions ($s\sqrt{3} = 2$을 제곱해 $3s^2 = 4$을 $s^2 = \frac{4}{3}$로 푸는 데 사용.)

⭐ 겹겹이 포개진 도형을 관통하는 한 길이를 따라가세요: 큰 정육면체의 모서리는 구의 너비이고 작은 정육면체의 꼭짓점끼리 이은 대각선이며, 나머지는 모두 그 한 선에서 따라 나옵니다.