AMC 10 · 2007 · #24

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid
tangent-circlesarea-trianglescircular-sectorpythagorean-theoremarea-difference identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
반지름 2인 두 원이 각각 A와 B를 중심으로 놓여 있습니다. 점 O는 AB의 중점이고 OA = 2√(2)입니다. 선분 OC는 점 C에서 원 A에, 선분 OD는 점 D에서 원 B에 접합니다. 직선 EF는 두 원 위쪽을 지나는 공통접선으로 원 A와는 점 E에서, 원 B와는 점 F에서 만납니다. E, C, O, D, F로 둘러싸이고 두 원 모양이 파여 나간 색칠된 영역 ECODF의 넓이는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac {8\sqrt {2}}{3}$
(B)
$8\sqrt {2} - 4 - \pi$
(C)
$4\sqrt {2}$
(D)
$4\sqrt {2} + \frac {\pi}{8}$
(E)
$8\sqrt {2} - 2 - \frac {\pi}{2}$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기

색칠된 덩어리는 테두리가 울퉁불퉁합니다. 비스듬한 접선 OC, OD와 파여 나간 두 개의 곡선 자국이 있습니다. 이것을 정면으로 재기는 어려우므로, 도구 #16(관점 바꾸기)으로 다시 봅니다: 전체를 넓이가 쉬운 반듯한 직사각형 ABFE 안에 가둔 다음, 그 직사각형에서 색칠되지 않은 조각을 모두 빼는 것입니다. 그 조각들은 우리가 아는 도형으로 깔끔하게 나뉘는데, 이것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)입니다: 아래 두 모서리의 직각삼각형 두 개와 원에서 잘라낸 부채꼴 두 개입니다. 도구 #1(그림 그리기)은 이름표를 정리해 각 조각을 한 번씩만 세도록 돕습니다. 삼각형을 구하려면 먼저 접선 하나의 길이가 필요한데, 이는 피타고라스 정리로 얻습니다.

1STEP 1

영역을 직사각형 안에 가두기

색칠된 덩어리를 직사각형 ABFE로 감쌉니다. 밑변 AB = 4√(2), 높이 AE = 2이므로 넓이는 8√(2)입니다.

[ABFE] = AB · AE = 4√(2) · 2 = 8√(2)
2STEP 2

피타고라스로 접선 길이 구하기

접선이므로 ∠ OCA = 90°, 피타고라스로 OC = 2. 두 변이 같아 직각이등변삼각형이니 ∠ CAO = 45°입니다.

OC = √((2√(2))² - 2²) = √(8 - 4) = 2 → ∠ CAO = 45°
3STEP 3

두 모서리 삼각형 빼기

삼각형 OCA는 두 변이 2, 2이므로 넓이 2이고, 대칭으로 ODB도 2라서 두 모서리가 4를 덜어냅니다.

[OCA] = 1/2 · 2 · 2 = 2, [OCA] + [ODB] = 2 + 2 = 4
4STEP 4

두 부채꼴 빼기

AE는 위, AC는 45° 방향이라 잘린 조각은 원 4π의 1/8인 45° 부채꼴입니다. 각 π/2이므로 둘이 π를 뺍니다.

[부채꼴 CAE] = 45/360 · π (2)² = 1/8 · 4π = π/2, 2 · π/2 = π
5STEP 5

조각들을 합치기

직사각형에서 삼각형 둘(4)과 부채꼴 둘(π)을 벗겨내면 8√(2) - 4 - π가 남고, 곧 선택지 (B)입니다.

[ECODF] = 8√(2) - 4 - π → (B)
정답
8√(2) - 4 - π
수치로 보면 8√(2) - 4 - π ≈ 11.31 - 4 - 3.14 = 4.17로, 둘러싼 직사각형의 8√(2) ≈ 11.31보다 작고 그 절반에 조금 못 미치는 양수 넓이입니다. 두 모서리와 두 원 조각이 큰 덩어리를 갉아먹는 그림과 잘 맞습니다. 선택지를 훑어보면, (C) 4√(2)≈ 5.66과 (A) 8√(2)/3≈ 3.77은 곡선 경계라면 반드시 나와야 할 π를 빠뜨렸고, (E) 8√(2)-2-π/2는 삼각형 하나 분량과 부채꼴 하나 분량만 빼서 오른쪽의 대칭 짝을 잊었습니다. 오직 (B)만 삼각형 둘(4)과 부채꼴 둘(π)을 모두 빼므로 (B)가 맞습니다.
💡핵심 정리

색칠된 도형의 테두리가 울퉁불퉁하면, 그것을 반듯한 직사각형 안에 가두고 색칠되지 않은 조각을 모두 빼세요.

  • 영역을 직사각형 안에 가두기
  • 피타고라스로 접선 길이 구하기
  • 두 모서리 삼각형 빼기
  • 두 부채꼴 빼기
  • 조각들을 합치기

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