AMC 10 · 2007 · #24

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

tangent-circlesarea-trianglescircular-sectorpythagorean-theoremarea-difference identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

그림과 같이 $A$ 와 $B$ 를 중심으로 하는 두 원의 반지름은 각각 $2$ 이다. 점 $O$ 는 $\overline{AB}$ 의 중점이고, $OA = 2\sqrt {2}$ 이다. 선분 $OC$ 와 $OD$ 는 각각 $A$ 와 $B$ 를 중심으로 하는 원에 접하며, $EF$ 는 두 원의 공통접선이다. 색칠된 영역 $ECODF$ 의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac {8\sqrt {2}}{3}$

(B)

$8\sqrt {2} - 4 - \pi$

(C)

$4\sqrt {2}$

(D)

$4\sqrt {2} + \frac {\pi}{8}$

(E)

$8\sqrt {2} - 2 - \frac {\pi}{2}$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름 $2$인 두 원이 각각 $A$와 $B$를 중심으로 놓여 있습니다. 점 $O$는 $\overline{AB}$의 중점이고 $OA = 2\sqrt{2}$입니다. $O$에서 그은 선분 $OC$는 원 $A$에, 선분 $OD$는 원 $B$에 접하고, 직선 $EF$는 두 원의 위쪽에 공통으로 접합니다. 색칠된 영역 $ECODF$의 넓이를 구하세요. 이 영역은 $E$, $C$, $O$, $D$, $F$로 둘러싸이고 두 원 모양이 파여 나간 덩어리입니다.

주어진 것: 각 원의 반지름은 $2$이고 중심은 $A$와 $B$; $O$는 $\overline{AB}$의 중점이며 $OA = OB = 2\sqrt{2}$; $OC$는 원 $A$에, $OD$는 원 $B$에 접함; $EF$는 두 원의 위쪽에 걸친 공통 접선이며 $E$는 $A$ 위, $F$는 $B$ 위에 있음; 이 그림은 $O$를 지나는 $\overline{AB}$의 수직이등분선에 대해 좌우 대칭; 선택지: (A) $\frac{8\sqrt{2}}{3}$, (B) $8\sqrt{2} - 4 - \pi$, (C) $4\sqrt{2}$, (D) $4\sqrt{2} + \frac{\pi}{8}$, (E) $8\sqrt{2} - 2 - \frac{\pi}{2}$

구하는 것: 색칠된 영역 $ECODF$의 넓이

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #1 그림 그리기

색칠된 덩어리는 테두리가 울퉁불퉁합니다. 비스듬한 접선 $OC$, $OD$와 파여 나간 두 개의 곡선 자국이 있습니다. 이것을 정면으로 재기는 어려우므로, 도구 #16(관점 바꾸기)으로 다시 봅니다: 전체를 넓이가 쉬운 반듯한 직사각형 $ABFE$ 안에 가둔 다음, 그 직사각형에서 색칠되지 않은 조각을 모두 빼는 것입니다. 그 조각들은 우리가 아는 도형으로 깔끔하게 나뉘는데, 이것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)입니다: 아래 두 모서리의 직각삼각형 두 개와 원에서 잘라낸 부채꼴 두 개입니다. 도구 #1(그림 그리기)은 이름표를 정리해 각 조각을 한 번씩만 세도록 돕습니다. 삼각형을 구하려면 먼저 접선 하나의 길이가 필요한데, 이는 피타고라스 정리로 얻습니다.

실행 — 정답: B

#16 관점 바꾸기 6.G.A.1 단계 1

영역을 직사각형 안에 가두기

네 꼭짓점 $A$, $B$, $F$, $E$로 직사각형 $ABFE$를 만듭니다.
밑변 $AB$의 길이는 $OA + OB = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$이고, 높이는 반지름 $AE = 2$입니다.
색칠된 영역은 이 직사각형 안에 완전히 들어 있으므로, 색칠된 넓이는 직사각형의 넓이에서 색칠되지 않은 부분을 뺀 것입니다.

$$[ABFE] = AB \cdot AE = 4\sqrt{2} \cdot 2 = 8\sqrt{2}$$

💡 복잡한 도형은 그 둘레에 반듯한 상자를 두르고 필요 없는 부분을 덜어내면 무게를 재기가 쉬워집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

피타고라스로 접선 길이 구하기

삼각형 $OCA$를 봅니다.
$OC$가 점 $C$에서 원 $A$에 접하므로 반지름 $AC$가 그것과 직각으로 만나 $\angle OCA = 90^\circ$입니다.
빗변은 $OA = 2\sqrt{2}$이고 한 변은 반지름 $AC = 2$입니다.
피타고라스 정리로 나머지 한 변은 $OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{8 - 4} = 2$입니다.
두 변이 모두 $2$이므로 삼각형 $OCA$는 직각이등변삼각형이고, 따라서 두 예각은 각각 $45^\circ$입니다.
특히 $\angle CAO = 45^\circ$입니다.

$$OC = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 2^2} = \sqrt{8 - 4} = 2 \quad\Rightarrow\quad \angle CAO = 45^\circ$$

💡 접선은 자기가 닿는 반지름과 직각을 이루므로, 잴 수 있는 직각삼각형을 하나 건네줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

두 모서리 삼각형 빼기

왼쪽 아래 모서리에서, 색칠된 덩어리 아래의 직사각형 조각은 접선 $OC$로 잘려 나갑니다.
직각삼각형 $OCA$는 두 변 $OC = 2$, $CA = 2$이므로 넓이는 $\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 2 = 2$입니다.
그림의 좌우 대칭에 의해 오른쪽 아래 모서리의 삼각형 $ODB$도 넓이가 $2$입니다.
두 삼각형이 합쳐서 직사각형에서 $4$를 덜어냅니다.

$$[OCA] = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 2 = 2, \qquad [OCA] + [ODB] = 2 + 2 = 4$$

💡 밑변 곱하기 높이의 반이 각 직각삼각형을 주고, 대칭이므로 하나만 계산하면 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

두 부채꼴 빼기

원 자체는 색칠된 영역에서 잘려 나갑니다.
원 $A$ 쪽에서 잘려 나가는 조각은 부채꼴 $CAE$입니다.
이는 반지름 $AC$에서 반지름 $AE$까지 이릅니다.
$AE$는 곧게 위를 가리키고 $AC$는 밑변에서 $45^\circ$ 위를 가리키므로 $\angle CAE = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$입니다.
$45^\circ$ 부채꼴은 원 전체의 $\frac{45}{360} = \frac{1}{8}$이고, 원 전체 넓이는 $\pi \cdot 2^2 = 4\pi$입니다.
따라서 부채꼴 $CAE = \frac{1}{8}\cdot 4\pi = \frac{\pi}{2}$이고, 대칭에 의해 부채꼴 $DBF = \frac{\pi}{2}$입니다.
두 부채꼴이 모두 $\pi$를 덜어냅니다.

$$[\text{부채꼴 } CAE] = \tfrac{45}{360}\cdot \pi (2)^2 = \tfrac{1}{8}\cdot 4\pi = \tfrac{\pi}{2}, \qquad 2\cdot \tfrac{\pi}{2} = \pi$$

💡 부채꼴은 원 전체의 한 조각일 뿐이고, 그 비율은 각도를 $360^\circ$로 나눈 것입니다.

#16 관점 바꾸기 7.G.B.6 단계 5

조각들을 합치기

직사각형에서 시작해 색칠되지 않은 모든 것을 덜어냅니다: 두 모서리 삼각형(합 $4$)과 두 부채꼴(합 $\pi$).
그러면 $8\sqrt{2} - 4 - \pi$가 남습니다.
이것은 선택지 (B)와 일치합니다.

$$[ECODF] = 8\sqrt{2} - 4 - \pi \quad\Rightarrow\quad \textbf{(B)}$$

💡 색칠된 넓이는 둘러싼 직사각형에서 색칠되지 않은 조각을 모두 벗겨낸 뒤 남는 것입니다.

[1] #16 6.G.A.1 네 꼭짓점 $A$, $B$, $F$, $E$로 직사각형 $ABFE$를 만듭니다. 밑변 $AB$의 길이는 $OA + OB = 2\sqrt{2} +

[2] #7 8.G.B.7 삼각형 $OCA$를 봅니다. $OC$가 점 $C$에서 원 $A$에 접하므로 반지름 $AC$가 그것과 직각으로 만나 $\angle OCA = 90

[3] #7 6.G.A.1 왼쪽 아래 모서리에서, 색칠된 덩어리 아래의 직사각형 조각은 접선 $OC$로 잘려 나갑니다. 직각삼각형 $OCA$는 두 변 $OC = 2$, $

[4] #7 7.G.B.4 원 자체는 색칠된 영역에서 잘려 나갑니다. 원 $A$ 쪽에서 잘려 나가는 조각은 부채꼴 $CAE$입니다. 이는 반지름 $AC$에서 반지름 $AE

[5] #16 7.G.B.6 직사각형에서 시작해 색칠되지 않은 모든 것을 덜어냅니다: 두 모서리 삼각형(합 $4$)과 두 부채꼴(합 $\pi$). 그러면 $8\sqrt{2}

검토

합리성 확인: 수치로 보면 $8\sqrt{2} - 4 - \pi \approx 11.31 - 4 - 3.14 = 4.17$로, 둘러싼 직사각형의 $8\sqrt{2} \approx 11.31$보다 작고 그 절반에 조금 못 미치는 양수 넓이입니다. 두 모서리와 두 원 조각이 큰 덩어리를 갉아먹는 그림과 잘 맞습니다. 선택지를 훑어보면, (C) $4\sqrt{2}\approx 5.66$과 (A) $\frac{8\sqrt{2}}{3}\approx 3.77$은 곡선 경계라면 반드시 나와야 할 $\pi$를 빠뜨렸고, (E) $8\sqrt{2}-2-\frac{\pi}{2}$는 삼각형 하나 분량과 부채꼴 하나 분량만 빼서 오른쪽의 대칭 짝을 잊었습니다. 오직 (B)만 삼각형 둘($4$)과 부채꼴 둘($\pi$)을 모두 빼므로 (B)가 맞습니다.

대안 접근: 직사각형에서 빼는 대신 색칠된 영역을 곧바로 더할 수도 있습니다. 좌표 $A=(-2\sqrt{2},0)$, $B=(2\sqrt{2},0)$을 쓰면, 직선 변으로 이루어진 오각형 $O$-$C$-$E$-$F$-$D$의 넓이는 신발끈 공식으로 $6\sqrt{2}-4$입니다. 그다음 원이 각 쪽에서 활꼴 하나씩을 잘라내는데, 각각의 넓이는 $\frac{\pi}{2}-\sqrt{2}$($45^\circ$ 부채꼴에서 그 현 삼각형을 뺀 것)입니다. 두 자국을 빼면 $(6\sqrt{2}-4) - 2\left(\frac{\pi}{2}-\sqrt{2}\right) = 8\sqrt{2}-4-\pi$로 같은 답이 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.1 Find the area of triangles and other polygons by composing into or decomposing from familiar shapes (직사각형 $ABFE$의 넓이를 밑변 곱하기 높이로, 각 모서리 직각삼각형을 밑변 곱하기 높이의 반으로 구하는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean Theorem to determine unknown side lengths in right triangles (직각삼각형 $OCA$에서 접선 길이 $OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = 2$를 구하는 데 사용.)
7.G.B.4 Know and use the formulas for the area and circumference of a circle (각 $45^\circ$ 부채꼴을 원 넓이 $\pi(2)^2$의 $8$분의 $1$로 계산해 $\frac{\pi}{2}$을 얻는 데 사용.)
7.G.B.6 Solve real-world and mathematical problems involving area of two-dimensional objects composed of triangles, quadrilaterals, and polygons (직사각형, 삼각형, 부채꼴을 합쳐 최종 넓이 $8\sqrt{2}-4-\pi$를 얻는 데 사용.)

⭐ 색칠된 도형의 테두리가 울퉁불퉁하면, 그것을 반듯한 직사각형 안에 가두고 색칠되지 않은 조각을 모두 빼세요.