AMC 10 · 2007 · #25

학년 4 number-theory
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digit-sumcaseworkmodular-arithmeticbound-inequality-then-enumerate caseworkbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: digit-sum
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문제
양의 정수 n에 대해 S(n)을 n의 각 자리 숫자의 합이라 하고, 여기에 S를 한 번 더 적용해 S(S(n))을 얻는다. n + S(n) + S(S(n))이 정확히 2007이 되는 n의 개수를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\ 1$
(B)
$\ 2$
(C)
$\ 3$
(D)
$\ 4$
(E)
$\ 5$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 극단의 원리

양의 정수는 무한히 많으므로, 먼저 Tool #14(극단의 원리)로 n을 아주 좁은 구간에 가둔다. 두 추가 항 S(n)+S(S(n))은 결코 커질 수 없어서 n은 2007 바로 아래에 있어야 한다. 그러면 후보는 수십 개뿐이다. 다음으로 Tool #16(관점 바꾸기)으로 문제를 9로 나눈 나머지의 관점에서 본다. 자리 숫자 합 규칙에 의해 n은 3의 배수가 될 수밖에 없어 후보가 3분의 2로 줄어든다. 마지막으로 Tool #2(빠짐없이 나열하기)로 남은 3의 배수들을 순서대로 지나가며 각각 n + S(n) + S(S(n))을 계산하고 맞는 것을 센다.

1STEP 1

n을 좁은 구간에 가두기

두 항이 양수라 n은 2007 미만이고, 각 자리가 최대 1,9,9,9이라 S(n) ≤ 28, S(S(n)) ≤ 10이니 n ≥ 1969이다.

S(n)+S(S(n)) ≤ 28+10 = 38 → n = 2007 - S(n) - S(S(n)) ≥ 1969, 따라서 1969 ≤ n ≤ 2006
2STEP 2

3의 배수만 남기기

세 항 모두 9로 나눈 나머지 r이 같아 합은 3r을 남기고, 2007이 9의 배수이므로 n은 3의 배수여야 한다.

n ≡ S(n) ≡ S(S(n)) ≡ r (mod 9) → 3r ≡ 2007 ≡ 0 (mod 9) → 3 ∣ r → 3 ∣ n
3STEP 3

남은 후보를 하나씩 확인하기

1971부터 2004까지 3의 배수마다 세 항의 합을 구하면 1977, 1980, 1983, 2001만 2007이 된다.

1977, 1980, 1983, 2001 → 2007 (나머지는 모두 빗나감)
4STEP 4

맞은 것의 개수 세기

이 구간이 가능한 모든 해를 담고 있고 그중 네 개만 통과한다: 1977, 1980, 1983, 2001. 답은 (D)이다.

n ∈ {1977, 1980, 1983, 2001} → 4 개 → (D)
정답
4
네 개의 해를 손으로 확인해 보자. 1977: 자리 숫자 합은 1+9+7+7 = 24, 그 합은 2+4 = 6이므로 1977+24+6 = 2007이다. 2001: 자리 숫자 합은 3, S(3)=3이므로 2001+3+3 = 2007이다. 둘 다 맞다. 네 해는 자연스럽게 두 무리(1977–1983과 외따로 떨어진 2001)로 나뉘는데, 이는 n이 1900대에서 2000대로 넘어가며 자리 숫자 합이 뛰는 것과 일치한다. 4는 선택지에 있고 3의 배수 패턴과도 맞으므로 (D)가 타당하다.
💡핵심 정리

자리 숫자 합은 아주 작아서 n은 2007 바로 아래에 있어야 하고, 그 짧은 3의 배수 목록을 확인하면 정확히 네 개가 남는다.

  • n을 좁은 구간에 가두기
  • 3의 배수만 남기기
  • 남은 후보를 하나씩 확인하기
  • 맞은 것의 개수 세기

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