AMC 10 · 2007 · #4

학년 6 algebra

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up

linear-equations-one-varparity convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

두 정수는 연속하는 두 홀수이고, 그래서 큰 수는 작은 수보다 정확히 2만큼 크다. 큰 정수는 작은 정수의 세 배이다. 두 정수의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

작은 정수 하나가 나머지 전부를 결정하는 유일한 미지수이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 그것을 s라 이름 붙이고 큰 정수를 s+2로 쓴다(다음 홀수는 항상 2 크다). 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 "큰 수는 작은 수의 세 배"라는 문장을 방정식으로 바꾸면, 추측하지 않고도 s가 정확히 정해진다.

1STEP 1

두 정수에 이름 붙이기

작은 홀수를 s라 하자. 다음 홀수는 2만큼 크므로 큰 수는 s+2이고, 미지수 하나로 둘 다 표현된다.

작은 수=s, 큰 수=s+2

2STEP 2

문장을 방정식으로 바꾸기

"작은 수의 세 배"는 3s이고 큰 수는 s+2이므로, 두 식을 같다고 놓으면 s+2=3s이다.

s+2=3s

3STEP 3

작은 정수 구하기

차이는 2이면서 3s-s=2s이므로 2s=2, 즉 s=1이고 큰 수는 s+2=3이다.

2s=2 → s=1, s+2=3

4STEP 4

두 정수 더하기

두 수는 1과 3이므로 합은 1+3=4, 곧 선택지 (A)이다. 3+5=8 같은 것은 5≠3×3이라 함정이다.

1+3=4 → (A)

정답

이 쌍을 모든 조건에 대해 확인해 보자: 1과 3은 홀수이고, 연속하는 두 홀수이며(2 차이), 큰 수 3은 정확히 작은 수 1의 세 배이다. 세 조건이 모두 성립하고, 합 4는 선택지 (A)이다. 또한 가장 작은 선택지인데 이는 자연스럽다: 세 배로 만들면 작은 수가 아주 작아야 하므로 합도 작게 유지된다. 작은 수를 예컨대 3으로 크게 잡으면 큰 수는 9가 되어야 하지만 9는 3보다 2 큰 수가 아니므로, 더 큰 쌍은 존재하지 않는다.

💡핵심 정리

작은 수를 s라 부르고 다음 홀수를 s+2로 쓴 뒤, 문장을 방정식으로 바꾸면 두 수가 저절로 나온다.

두 정수에 이름 붙이기
문장을 방정식으로 바꾸기
작은 정수 구하기
두 정수 더하기

두 정수에 이름 붙이기

문장을 방정식으로 바꾸기

작은 정수 구하기

두 정수 더하기

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