AMC 10 · 2007 · #4
학년 6 arithmetic연속한 두 홀수 정수 중 큰 수가 작은 수의 세 배이다. 이 두 수의 합은 얼마인가?
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AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 두 홀수가 수직선 위에서 사이에 다른 홀수 없이 나란히 붙어 있다(연속하는 두 홀수이다). 큰 수는 작은 수의 세 배와 같다. 두 정수의 합을 구하여라.
주어진 것: 두 수는 연속하는 홀수이므로, 큰 수는 작은 수보다 정확히 $2$ 크다; 큰 정수는 작은 정수의 세 배이다; 선택지: (A) $4$, (B) $8$, (C) $12$, (D) $16$, (E) $20$
구하는 것: 두 정수 자체, 그리고 그 합
이해
문제 재정리: 두 홀수가 수직선 위에서 사이에 다른 홀수 없이 나란히 붙어 있다(연속하는 두 홀수이다). 큰 수는 작은 수의 세 배와 같다. 두 정수의 합을 구하여라.
주어진 것: 두 수는 연속하는 홀수이므로, 큰 수는 작은 수보다 정확히 $2$ 크다; 큰 정수는 작은 정수의 세 배이다; 선택지: (A) $4$, (B) $8$, (C) $12$, (D) $16$, (E) $20$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #13 대수로 바꾸기
작은 정수 하나가 나머지 전부를 결정하는 유일한 미지수이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 그것을 $s$라 이름 붙이고 큰 정수를 $s+2$로 쓴다(다음 홀수는 항상 $2$ 크다). 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 "큰 수는 작은 수의 세 배"라는 문장을 방정식으로 바꾸면, 추측하지 않고도 $s$가 정확히 정해진다.
실행 — 정답: A
6.EE.B.6 단계 1 두 정수에 이름 붙이기
- 작은 홀수를 $s$라 하자.
- 다음 연속 홀수는 항상 $2$ 크므로, 큰 정수는 $s+2$이다.
- 이제 두 수 모두 하나의 미지수로 표현된다.
💡 홀수는 $2$씩 건너뛰므로, $s$ 바로 위 이웃은 $s+2$이다.
6.EE.B.6 단계 2 문장을 방정식으로 바꾸기
- 문제는 큰 정수가 작은 정수의 세 배라고 말한다.
- "작은 수의 세 배"는 $3s$이고 큰 정수는 $s+2$이므로, 두 양은 같다: $s+2=3s$.
💡 "이다"는 양쪽이 같은 수를 가리킨다는 뜻이므로, 두 식을 같다고 놓는다.
6.EE.B.7 단계 3 작은 정수 구하기
- 큰 수는 작은 수보다 $2$ 크다(연속 홀수이므로).
- 또한 큰 수는 $3s$, 작은 수는 $s$이므로 $3s-s=2s$만큼 크기도 하다.
- 둘은 같은 차이를 나타내므로 $2s=2$이고, 따라서 $s=1$이다.
- 그러면 큰 정수는 $s+2=3$이다.
- 확인: $1$과 $3$은 모두 홀수이고, 연속하는 두 홀수이며, $3=3\times1$이다.
💡 두 수의 차이는 $2$이면서 동시에 작은 수의 두 배이므로, 작은 수는 $1$일 수밖에 없다.
6.EE.A.2 단계 4 두 정수 더하기
- 두 정수는 $1$과 $3$이다.
- 합은 $1+3=4$이다.
- 이것은 선택지 (A)와 일치한다.
- 다른 선택지들은 "큰 수가 작은 수의 세 배"를 만족하지 않는 홀수 쌍의 합이다.
- 예를 들어 $3+5=8$은 (B)를 주지만 $5\neq3\times3$이므로 함정이다.
💡 두 정수를 알고 나면, 합은 그냥 더하기이다.
6.EE.B.6 작은 홀수를 $s$라 하자. 다음 연속 홀수는 항상 $2$ 크므로, 큰 정수는 $s+2$이다. 이제 두 수 모두 하나의 미지수로 표현된다. 6.EE.B.6 문제는 큰 정수가 작은 정수의 세 배라고 말한다. "작은 수의 세 배"는 $3s$이고 큰 정수는 $s+2$이므로, 두 양은 같다: $s+2=3s 6.EE.B.7 큰 수는 작은 수보다 $2$ 크다(연속 홀수이므로). 또한 큰 수는 $3s$, 작은 수는 $s$이므로 $3s-s=2s$만큼 크기도 하다. 둘은 6.EE.A.2 두 정수는 $1$과 $3$이다. 합은 $1+3=4$이다. 이것은 선택지 (A)와 일치한다. 다른 선택지들은 "큰 수가 작은 수의 세 배"를 만족 검토
합리성 확인: 이 쌍을 모든 조건에 대해 확인해 보자: $1$과 $3$은 홀수이고, 연속하는 두 홀수이며($2$ 차이), 큰 수 $3$은 정확히 작은 수 $1$의 세 배이다. 세 조건이 모두 성립하고, 합 $4$는 선택지 (A)이다. 또한 가장 작은 선택지인데 이는 자연스럽다: 세 배로 만들면 작은 수가 아주 작아야 하므로 합도 작게 유지된다. 작은 수를 예컨대 $3$으로 크게 잡으면 큰 수는 $9$가 되어야 하지만 $9$는 $3$보다 $2$ 큰 수가 아니므로, 더 큰 쌍은 존재하지 않는다.
대안 접근: 작은 홀수들로 추측하고 확인해 볼 수도 있다. $1,3$을 시도: $3=3\times1$인가? 맞다, 따라서 합은 $4$이다. $3,5$를 시도: $5=3\times3=9$인가? 아니다. $5,7$을 시도: $7=15$인가? 아니다. 오직 $1,3$만 성립하므로, 대수 없이도 (A)가 확인된다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.B.6변수로 수를 나타내고 식을 세워 문제 해결하기 (작은 정수를 $s$로 두고 큰 정수를 $s+2$로 쓰며, 문장에서 방정식 $s+2=3s$를 세우는 데 사용.)6.EE.B.7px = q 형태의 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제 해결하기 (관계를 $2s=2$로 줄이고 이를 풀어 $s=1$을 얻는 데 사용.)6.EE.A.2문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 값을 구하기 ($s=1$을 $s$와 $s+2$에 대입하고 더하여 합 $1+3=4$를 구하는 데 사용.)
⭐ 작은 수를 $s$라 부르고 다음 홀수를 $s+2$로 쓴 뒤, 문장을 방정식으로 바꾸면 두 수가 저절로 나온다.
⭐ 작은 수를 $s$라 부르고 다음 홀수를 $s+2$로 쓴 뒤, 문장을 방정식으로 바꾸면 두 수가 저절로 나온다.
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