AMC 10 · 2007 · #6

학년 7 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

percentageratio-proportionsystematic-enumeration systematic-enumeration ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어느 학교에서 AMC 10에 응시한 학생 수가 2002년에 60명, 2003년에 66명, 2004년에 70명, 2005년에 76명, 2006년에 78명, 2007년에 85명이었다. 연속한 두 해만 놓고 볼 때, 학생 수가 백분율로 가장 크게 증가한 구간이 어느 것인지 정하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2002\ \text{and}\ 2003$

(B)

$2003\ \text{and}\ 2004$

(C)

$2004\ \text{and}\ 2005$

(D)

$2005\ \text{and}\ 2006$

(E)

$2006\ \text{and}\ 2007$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

각 선택지가 다섯 개의 한 해 구간 중 하나이므로, 이 문제는 모두 계산해 비교하는 유한한 문제다 — 도구 #3(가능성 지우기)이 딱 맞는다: 모든 구간을 계산해 가장 큰 것을 남긴다. 다섯 개의 백분율 증가를 따로따로 구하는 것은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로, 구간마다 작은 비 하나씩이다. 미묘한 부분은 '백분율'이 무엇을 재는가인데 — 도구 #8(단위 살펴보기)로, 증가량을 늘어난 학생 수 자체가 아니라 시작 시점 학생 수에 대한 분수로 본다는 점에 초점을 맞춘다. 바로 이 지점이 이 문제가 파놓은 함정이다.

1STEP 1

'백분율 증가'의 뜻을 확정하기

백분율 증가는 증가량을 시작 시점 수로 나눈 값이다. 같은 +6이라도 시작 수가 작을수록 비율은 커진다.

percent increase=(new-old)/old × 100%

2STEP 2

각 구간의 백분율 증가 계산하기

구간별 증가율: $\frac{6}{60}=10\%$ , $\frac{4}{66}\approx 6.1\%$ , $\frac{6}{70}\approx 8.6\%$ , $\frac{2}{76}\approx 2.6\%$ , $\frac{7}{78}\approx 9.0\%$ .

6/60=10%, 4/66≈ 6.1%, 6/70≈ 8.6%, 2/76≈ 2.6%, 7/78≈ 9.0%

3STEP 3

다섯 백분율을 비교해 가장 큰 것 고르기

$10\%$ , $6.1\%$ , $8.6\%$ , $2.6\%$ , $9.0\%$ 중 최대는 10%, 곧 2002-2003 구간인 (A)이다.

max{10%, 6.1%, 8.6%, 2.6%, 9.0%}=10% → (A)

정답

2002 and 2003

진짜 경쟁자는 2002-2003과 2006-2007 두 구간이다. 증가량이 가장 큰(+6과 +7) 구간이기 때문이다. 반올림에 기대지 말고 두 분수를 직접 비교하자: 6/60=1/10과 7/78. 교차 곱셈을 하면 6 × 78=468이고 60 × 7=420이며 468 ＞ 420이므로 6/60 ＞ 7/78이다. 2002-2003 구간이 확실히 이기므로 (A)가 맞다. 나머지 구간은 모두 더 작거나 같은 분자를 더 큰 분모로 나눈 값이라 10%를 넘을 수 없다.

💡핵심 정리

백분율 증가는 증가량을 시작한 지점으로 나눈 값이므로, 시작 수가 작으면 실제로 더 크게 뛴 구간을 이길 수 있다.

'백분율 증가'의 뜻을 확정하기
각 구간의 백분율 증가 계산하기
다섯 백분율을 비교해 가장 큰 것 고르기

'백분율 증가'의 뜻을 확정하기

각 구간의 백분율 증가 계산하기

다섯 백분율을 비교해 가장 큰 것 고르기

비슷한 유형 더 풀어보기