AMC 10 · 2007 · #6

학년 7 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

percentageratio-proportionsystematic-enumeration systematic-enumeration ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Euclid 고등학교에서 AMC 10에 응시한 학생 수는 2002년에 $60$ 명, 2003년에 $66$ 명, 2004년에 $70$ 명, 2005년에 $76$ 명, 2006년에 $78$ 명, 그리고 2007년에 $85$ 명이었다. 연속한 두 해 사이에서 응시자 수가 가장 큰 백분율 증가를 보인 것은 어느 두 해 사이인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2002\ \text{and}\ 2003$

(B)

$2003\ \text{and}\ 2004$

(C)

$2004\ \text{and}\ 2005$

(D)

$2005\ \text{and}\ 2006$

(E)

$2006\ \text{and}\ 2007$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어느 학교에서 AMC 10에 응시한 학생 수가 2002년에 $60$명, 2003년에 $66$명, 2004년에 $70$명, 2005년에 $76$명, 2006년에 $78$명, 2007년에 $85$명이었다. 연속한 두 해 사이에서 학생 수가 백분율로 가장 크게 증가한 구간이 어디인지 찾아라.

주어진 것: 연도별 학생 수: $2002{:}\,60$, $2003{:}\,66$, $2004{:}\,70$, $2005{:}\,76$, $2006{:}\,78$, $2007{:}\,85$; 연속한 다섯 개의 한 해 구간이 곧 선택지이다: (A) 2002-2003, (B) 2003-2004, (C) 2004-2005, (D) 2005-2006, (E) 2006-2007

구하는 것: 한 해 구간 중 백분율 증가가 가장 큰 구간이 어느 것인지

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #8 단위 살펴보기

각 선택지가 다섯 개의 한 해 구간 중 하나이므로, 이 문제는 모두 계산해 비교하는 유한한 문제다 — 도구 #3(가능성 지우기)이 딱 맞는다: 모든 구간을 계산해 가장 큰 것을 남긴다. 다섯 개의 백분율 증가를 따로따로 구하는 것은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로, 구간마다 작은 비 하나씩이다. 미묘한 부분은 '백분율'이 무엇을 재는가인데 — 도구 #8(단위 살펴보기)로, 증가량을 늘어난 학생 수 자체가 아니라 시작 시점 학생 수에 대한 분수로 본다는 점에 초점을 맞춘다. 바로 이 지점이 이 문제가 파놓은 함정이다.

실행 — 정답: A

#8 단위 살펴보기 7.RP.A.3 단계 1

'백분율 증가'의 뜻을 확정하기

한 해에서 다음 해로의 백분율 증가는 학생 증가량을 시작 시점 학생 수로 나눈 뒤 백분율로 나타낸 것이다: $\frac{\text{새 값}-\text{옛 값}}{\text{옛 값}}\times 100\%$.
핵심은 분모다: 똑같이 $+6$명이 늘어도 시작 수가 작을 때가 클 때보다 더 큰 비율이 된다.
그래서 학생 수가 가장 많이 늘어난 구간이 반드시 백분율이 가장 큰 구간인 것은 아니다.

$$\text{percent increase}=\dfrac{\text{new}-\text{old}}{\text{old}}\times 100\%$$

💡 적게 시작했을수록 같은 증가가 더 크게 느껴지므로, 항상 앞선 해의 수로 나눈다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 2

각 구간의 백분율 증가 계산하기

다섯 구간을 하나씩 처리한다.
(A) 2002-2003: $\frac{66-60}{60}=\frac{6}{60}=\frac{1}{10}=10\%$.
(B) 2003-2004: $\frac{70-66}{66}=\frac{4}{66}\approx 6.1\%$.
(C) 2004-2005: $\frac{76-70}{70}=\frac{6}{70}\approx 8.6\%$.
(D) 2005-2006: $\frac{78-76}{76}=\frac{2}{76}\approx 2.6\%$.
(E) 2006-2007: $\frac{85-78}{78}=\frac{7}{78}\approx 9.0\%$.

$$\tfrac{6}{60}=10\%,\ \tfrac{4}{66}\approx 6.1\%,\ \tfrac{6}{70}\approx 8.6\%,\ \tfrac{2}{76}\approx 2.6\%,\ \tfrac{7}{78}\approx 9.0\%$$

💡 각 구간을 작은 분수 하나로 바꾸면 그 성장률을 숫자 하나로 읽을 수 있다.

#3 가능성 지우기 6.NS.B.3 단계 3

다섯 백분율을 비교해 가장 큰 것 고르기

결과를 나란히 놓으면 $10\%,\ 6.1\%,\ 8.6\%,\ 2.6\%,\ 9.0\%$이다.
가장 큰 값은 $10\%$로, 2002년에서 2003년 사이다.
함정에 주의하자: 실제 학생 수가 가장 많이 는 것은 2006년에서 2007년의 $+7$명이지만, 시작 수 $78$이 크기 때문에 약 $9.0\%$에 그친다 — 시작 수가 더 작은 $60$에서 나온 $\frac{6}{60}=10\%$에 살짝 못 미친다.
백분율 증가가 가장 큰 구간은 2002년과 2003년 사이이고, 이는 선택지 (A)이다.

$$\max\{10\%,\,6.1\%,\,8.6\%,\,2.6\%,\,9.0\%\}=10\%\ \Rightarrow\ \textbf{(A)}$$

💡 모든 구간이 백분율로 바뀌면, 정답은 그 목록에서 가장 큰 수일 뿐이다.

[1] #8 7.RP.A.3 한 해에서 다음 해로의 백분율 증가는 학생 증가량을 시작 시점 학생 수로 나눈 뒤 백분율로 나타낸 것이다: $\frac{\text{새 값}-\t

[2] #7 6.RP.A.3 다섯 구간을 하나씩 처리한다. (A) 2002-2003: $\frac{66-60}{60}=\frac{6}{60}=\frac{1}{10}=10\%

[3] #3 6.NS.B.3 결과를 나란히 놓으면 $10\%,\ 6.1\%,\ 8.6\%,\ 2.6\%,\ 9.0\%$이다. 가장 큰 값은 $10\%$로, 2002년에서 2

검토

합리성 확인: 진짜 경쟁자는 2002-2003과 2006-2007 두 구간이다. 증가량이 가장 큰($+6$과 $+7$) 구간이기 때문이다. 반올림에 기대지 말고 두 분수를 직접 비교하자: $\frac{6}{60}=\frac{1}{10}$과 $\frac{7}{78}$. 교차 곱셈을 하면 $6\times 78=468$이고 $60\times 7=420$이며 $468>420$이므로 $\frac{6}{60}>\frac{7}{78}$이다. 2002-2003 구간이 확실히 이기므로 (A)가 맞다. 나머지 구간은 모두 더 작거나 같은 분자를 더 큰 분모로 나눈 값이라 $10\%$를 넘을 수 없다.

대안 접근: $10\%$라는 기준은 확인하기 쉬우므로, 각 구간을 이 기준에 직접 대본다(도구 #3): 증가량이 시작 수의 $10$분의 $1$에 도달하는가? 2002-2003은 $\ge 6$이 필요한데 정확히 $6$이 나온다 — 그렇다, $10\%$다. 다른 모든 구간에서 시작 수의 $10$분의 $1$은 $6.6$, $7.0$, $7.6$, $7.8$이지만 실제 증가량은 $4$, $6$, $2$, $7$뿐이라 각자의 기준에 미치지 못한다. 따라서 $10\%$에 도달하는 구간은 2002-2003뿐이고, 모든 소수를 계산하지 않고도 이 구간이 가장 크다는 것을 알 수 있다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.RP.A.3 비례 관계를 이용해 여러 단계의 비와 백분율 문제(백분율 증가 포함)를 해결하기 (백분율 증가를 증가량을 시작 수로 나눈 값으로 정의하기 — 문제가 요구하는 핵심 비교.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론(100당 비율로서의 백분율 구하기 포함) 사용하기 (각 구간의 증가량 대 시작 수를 백분율로 바꾸기, 구간마다 작은 분수 하나씩.)
6.NS.B.3 여러 자리 소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 능숙하게 하기 (다섯 개의 비를 계산하고 비교하여(교차 곱셈 검산 $6\times 78$ 대 $60\times 7$ 포함) 가장 큰 것을 고르기.)

⭐ 백분율 증가는 증가량을 시작한 지점으로 나눈 값이므로, 시작 수가 작으면 실제로 더 크게 뛴 구간을 이길 수 있다.