AMC 10 · 2007 · #8

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

isosceles-triangleangle-sum-triangleangle-sum-polygon identify-subproblems ↑ 선수 지식: isosceles-triangle

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

삼각형 $ABC$ 와 $ADC$ 는 각각 $AB=BC$ , $AD=DC$ 인 이등변삼각형이다. 점 $D$ 는 삼각형 $ABC$ 의 내부에 있고, 각 $ABC$ 의 크기는 $40$ 도, 각 $ADC$ 의 크기는 $140$ 도이다. 각 $BAD$ 의 크기는 몇 도인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 20$

(B)

$\ 30$

(C)

$\ 40$

(D)

$\ 50$

(E)

$\ 60$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 이등변삼각형이 밑변 $AC$를 공유한다: 삼각형 $ABC$는 $AB=BC$이고 꼭지각 $\angle ABC=40^\circ$이며, 삼각형 $ADC$는 $AD=DC$이고 꼭지각 $\angle ADC=140^\circ$이다. 점 $D$는 삼각형 $ABC$의 내부에 있다. $\angle BAD$의 크기를 구하여라.

주어진 것: 삼각형 $ABC$는 $AB=BC$인 이등변삼각형이다; 삼각형 $ADC$는 $AD=DC$인 이등변삼각형이다; $\angle ABC=40^\circ$이고 $\angle ADC=140^\circ$이다; $D$는 삼각형 $ABC$의 내부에 있는 점이다; 선택지: (A) $20$, (B) $30$, (C) $40$, (D) $50$, (E) $60$ 도

구하는 것: $\angle BAD$의 크기(도)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

여기서는 대수가 전혀 필요 없다 — 문제 전체가 그림에서 각을 읽어내는 것이므로 도구 #1(그림 그리기)이 먼저다: 공유 밑변 $AC$ 위에 두 이등변삼각형을 그리고 $D$를 삼각형 $ABC$의 내부에 놓는다. 그림은 핵심 관계를 드러낸다 — 반직선 $AD$가 반직선 $AB$와 $AC$ 사이에 있으므로 $\angle BAC$가 $\angle BAD$와 $\angle DAC$로 나뉜다. 그러면 목표가 '$\angle BAC$와 $\angle DAC$를 따로 구한 뒤 빼기'가 되는데, 이것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이다. 이 두 각 각각은 한 이등변삼각형의 밑각이고, 그 삼각형의 내각 합에서 구한다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 4.MD.C.7 단계 1

그림을 그리고 A의 각을 쪼개기

선분 $AC$를 그리고 그 위에 두 삼각형을 세운다: 위쪽에 $AB=BC$인 꼭짓점 $B$, 그리고 삼각형 $ABC$ 내부에 $AD=DC$인 꼭짓점 $D$.
꼭짓점 $A$를 보자.
반직선 $AB$는 바깥 꼭짓점으로, 반직선 $AC$는 밑변을 따라 뻗고, $D$가 삼각형 내부에 있으므로 반직선 $AD$는 그 둘 사이에 있다.
따라서 각 $\angle BAC$는 두 조각으로 나뉜다: $\angle BAC=\angle BAD+\angle DAC$.
이를 정리하면 $\angle BAD=\angle BAC-\angle DAC$이다.
이제 할 일은 이 두 밑각을 구하는 것이다.

$$\angle BAD=\angle BAC-\angle DAC$$

💡 $D$가 삼각형 내부에 있으므로 반직선 $AD$가 $\angle BAC$를 갈라, 구하려는 각은 큰 밑각에서 작은 밑각을 뺀 것일 뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 2

삼각형 ABC에서 각 BAC 구하기

삼각형 $ABC$의 꼭지각은 $\angle ABC=40^\circ$이고, 세 각의 합은 $180^\circ$이므로 두 밑각 $\angle BAC$와 $\angle BCA$가 $180^\circ-40^\circ=140^\circ$를 나눠 갖는다.
$AB=BC$이므로 이 두 밑각은 같고, 각각은 $140^\circ$의 절반이다: $\angle BAC=\dfrac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ$.

$$\angle BAC=\dfrac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ$$

💡 같은 변은 같은 각을 마주 보므로, 꼭지각을 뺀 나머지가 두 밑각에 똑같이 나뉜다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 3

삼각형 ADC에서 각 DAC 구하기

삼각형 $ADC$에도 똑같이 한다.
꼭지각이 $\angle ADC=140^\circ$이므로 두 밑각 $\angle DAC$와 $\angle DCA$가 남은 $180^\circ-140^\circ=40^\circ$를 나눠 갖는다.
$AD=DC$이므로 이 밑각들은 같고, 각각은 $40^\circ$의 절반이다: $\angle DAC=\dfrac{180^\circ-140^\circ}{2}=20^\circ$.

$$\angle DAC=\dfrac{180^\circ-140^\circ}{2}=20^\circ$$

💡 $140^\circ$의 넓은 꼭지각은 밑각에 조금밖에 남기지 않으므로 각각은 작은 $20^\circ$이다.

#1 그림 그리기 4.MD.C.7 단계 4

빼서 각 BAD 구하기

그림에서 얻은 관계에 두 밑각을 넣는다: $\angle BAD=\angle BAC-\angle DAC=70^\circ-20^\circ=50^\circ$.
따라서 $\angle BAD=50^\circ$이고, 이는 선택지 (D)이다.
다른 선택지들은 실수에서 나온다: (C) $40^\circ$는 주어진 꼭지각을 그대로 옮긴 것, (A) $20^\circ$는 $\angle DAC$에서 멈춘 것, (B) $30^\circ$나 (E) $60^\circ$는 엉뚱한 각을 반으로 나누거나 합친 것이다.

$$\angle BAD=70^\circ-20^\circ=50^\circ\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$$

💡 두 밑각을 알면 답은 큰 각에서 작은 각을 빼는 뺄셈 한 번이다.

[1] #1 4.MD.C.7 선분 $AC$를 그리고 그 위에 두 삼각형을 세운다: 위쪽에 $AB=BC$인 꼭짓점 $B$, 그리고 삼각형 $ABC$ 내부에 $AD=DC$인 꼭

[2] #7 8.G.A.5 삼각형 $ABC$의 꼭지각은 $\angle ABC=40^\circ$이고, 세 각의 합은 $180^\circ$이므로 두 밑각 $\angle BAC

[3] #7 8.G.A.5 삼각형 $ADC$에도 똑같이 한다. 꼭지각이 $\angle ADC=140^\circ$이므로 두 밑각 $\angle DAC$와 $\angle DC

[4] #1 4.MD.C.7 그림에서 얻은 관계에 두 밑각을 넣는다: $\angle BAD=\angle BAC-\angle DAC=70^\circ-20^\circ=50^\c

검토

합리성 확인: 답은 $\angle BAC=70^\circ$보다 작은 양의 각이어야 한다. $\angle DAC=20^\circ$가 그 안에서 잘려 나가기 때문인데, $50^\circ$가 여기에 맞는다. 그림 전체를 점검하자: $A$에서 조각들이 $20^\circ+50^\circ=70^\circ=\angle BAC$이고, 삼각형 $ABC$는 $70^\circ+70^\circ+40^\circ=180^\circ$, 삼각형 $ADC$는 $20^\circ+20^\circ+140^\circ=180^\circ$이다. 모두 맞아떨어지므로 $50^\circ$는 일관적이다.

대안 접근: $A$에서의 분할 대신 대칭을 이용한다. 두 꼭짓점 $B$와 $D$는 모두 $AC$의 수직이등분선 위에 있으므로(각 이등변삼각형이 그 선에 대해 대칭이다), 그 선에 대한 반사는 $A$와 $C$를 맞바꾸고 $B$와 $D$는 고정한다 — 따라서 $\angle BAD=\angle BCD$이다. $C$ 쪽에서 보면 $\angle BCA=70^\circ$이고 $\angle DCA=20^\circ$(같은 밑각들)이므로 $\angle BCD=\angle BCA-\angle DCA=70^\circ-20^\circ=50^\circ$이다. 이것이 $\angle BAD=50^\circ$를 독립적으로 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.5 비형식적 논증으로 삼각형의 내각 합에 관한 사실 확립하기 (각 밑각을 그 삼각형의 내각 합에서 구하는 데 사용: $40^\circ$ 꼭지각에서 $\angle BAC=70^\circ$, $140^\circ$ 꼭지각에서 $\angle DAC=20^\circ$, 같은 변이 같은 밑각을 준다는 사실을 이용.)
4.MD.C.7 각의 크기가 더해짐(가법성)을 이해하고 덧셈·뺄셈으로 미지의 각 구하기 ($D$가 삼각형 내부에 있으므로 $\angle BAC$를 $\angle BAD+\angle DAC$로 나누고, 빼서 $\angle BAD=70^\circ-20^\circ=50^\circ$를 구하는 데 사용.)

⭐ 이등변삼각형에서는 두 밑각이 같으니, 꼭지각을 뺀 나머지를 반으로 나눈다; 여기서는 $70^\circ$와 $20^\circ$가 나오고 그 차이가 답이다.