AMC 10 · 2007 · #8
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
여기서는 대수가 전혀 필요 없다 — 문제 전체가 그림에서 각을 읽어내는 것이므로 도구 #1(그림 그리기)이 먼저다: 공유 밑변 AC 위에 두 이등변삼각형을 그리고 D를 삼각형 ABC의 내부에 놓는다. 그림은 핵심 관계를 드러낸다 — 반직선 AD가 반직선 AB와 AC 사이에 있으므로 ∠ BAC가 ∠ BAD와 ∠ DAC로 나뉜다. 그러면 목표가 '∠ BAC와 ∠ DAC를 따로 구한 뒤 빼기'가 되는데, 이것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이다. 이 두 각 각각은 한 이등변삼각형의 밑각이고, 그 삼각형의 내각 합에서 구한다.
그림을 그리고 A의 각을 쪼개기
AC를 긋고 위에 B, 내부에 D를 그린다. 반직선 AD가 AB와 AC 사이에 있으므로 ∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC이다.
D가 삼각형 내부에 있으므로 반직선 AD가 ∠ BAC를 갈라, 구하려는 각은 큰 밑각에서 작은 밑각을 뺀 것일 뿐이다.
4.MD.C.7Draw A Diagram삼각형 ABC에서 각 BAC 구하기
꼭지각 ∠ ABC=40°가 남긴 140°를 두 밑각이 나눠 갖고, AB=BC라 서로 같으니 ∠ BAC=70°이다.
같은 변은 같은 각을 마주 보므로, 꼭지각을 뺀 나머지가 두 밑각에 똑같이 나뉜다.
같은 변은 같은 각을 마주하므로, 꼭지각을 뺀 나머지가 두 밑각에 고르게 나뉜다.
▸ 왜?
두 변이 같으면 그것을 마주하는 각도 같으므로, 어느 밑각도 더 클 수 없다.
▸ 왜?
세 각의 합은 언제나 평각이므로, 꼭지각이 두 밑각이 나눠 가질 몫을 정한다.
삼각형 ADC에서 각 DAC 구하기
삼각형 ADC도 같다. 넓은 꼭지각 ∠ ADC=140°가 남긴 40°를 똑같이 나누니 ∠ DAC=20°이다.
140°의 넓은 꼭지각은 밑각에 조금밖에 남기지 않으므로 각각은 작은 20°이다.
8.G.A.5Identify Subproblems빼서 각 BAD 구하기
그림에서 얻은 관계에 두 밑각을 넣으면 ∠ BAD=70°-20°=50°, 곧 선택지 (D)이다.
두 밑각을 알면 답은 큰 각에서 작은 각을 빼는 뺄셈 한 번이다.
4.MD.C.7Draw A Diagram이등변삼각형에서는 두 밑각이 같으니, 꼭지각을 뺀 나머지를 반으로 나눈다; 여기서는 70°와 20°가 나오고 그 차이가 답이다.
- 그림을 그리고 A의 각을 쪼개기
- 삼각형 ABC에서 각 BAC 구하기
- 삼각형 ADC에서 각 DAC 구하기
- 빼서 각 BAD 구하기