AMC 10 · 2007 · #9

학년 8 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

exponentssystems-of-equationslinear-equations-two-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

실수 a와 b가 두 방정식 3^a = 81^(b+2)과 125^b = 5^(a-3)을 만족합니다. 곱 ab의 값은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-60

(B)

-17

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

각 방정식은 서로 달라 보이는 두 밑을 섞어 놓았으므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 하나씩 다룹니다. 두 방정식을 여는 열쇠는 도구 #5(패턴 찾기)입니다: 81과 125는 사실 3과 5의 거듭제곱이므로, 모든 항을 하나의 밑으로 쓸 수 있습니다. 밑이 같아지면 같은 거듭제곱은 같은 지수를 강제하고, 각 방정식은 a와 b 사이의 단순한 일차 관계로 무너집니다. 두 일차 관계가 연립방정식을 이루어 a와 b를 확정하고, 그다음 ab는 곱셈 한 번입니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 마지막에 빠른 부호 점검을 줍니다.

1STEP 1

모든 밑을 작은 소수의 거듭제곱으로 쓰기

밑이 달라 비교가 막혀 있습니다. 하지만 81 = 3⁴, 125 = 5³이므로 각 방정식을 하나의 밑으로 맞출 수 있습니다.

81 = 3⁴, 125 = 5³

2STEP 2

첫 방정식에서 지수 맞추기

81을 3⁴으로 바꾸면 지수는 4(b+2). 밑이 3으로 같으니 지수도 같아 a = 4b + 8입니다.

3^a = 3⁴(b+2) → a = 4b + 8

3STEP 3

둘째 방정식에서 지수 맞추기

125를 5³으로 바꾸면 왼쪽 지수는 3b. 따라서 3b = a - 3, 즉 a = 3b + 3입니다.

5³b = 5^a-3 → 3b = a - 3 → a = 3b + 3

4STEP 4

두 관계 합치기

두 식 모두 같은 a를 나타내므로 서로 같다고 놓으면 4b + 8 = 3b + 3이고 a는 사라집니다.

4b + 8 = 3b + 3

5STEP 5

b를 먼저, 그다음 a를 풀기

3b를 빼고 8을 빼면 b = -5. 이를 a = 3b + 3에 넣으면 a = -12입니다.

b = -5, a = 3(-5) + 3 = -12

6STEP 6

곱해서 ab 구하기

곱하면 ab = (-12)(-5). 음수 곱하기 음수는 양수이므로 ab = 60, 선택지 (E)입니다.

ab = (-12)(-5) = 60 → (E)

정답

a = -12, b = -5 쌍을 두 원래 방정식에 대입해 확인합니다. 첫째: 4b + 8 = 4(-5) + 8 = -12 = a이므로 3^a = 3⁻¹²이고 81^(b+2) = 81⁻³ = 3⁻¹² — 일치합니다. 둘째: 3b = -15이고 a - 3 = -15이므로 125^b = 5⁻¹⁵ = 5^(a-3) — 역시 일치합니다. 곱 (-12)(-5) = 60은 양수이고, 빠른 부호 점검으로 음수 선택지 (A)와 (B), 그리고 작은 양수 (C)와 (D)를 지우면 (E)가 남습니다.

💡핵심 정리

방정식이 서로 다른 밑을 숨기고 있을 때는 그것들을 같은 작은 수의 거듭제곱으로 다시 쓰세요 — 그러면 같은 거듭제곱은 같은 지수를 뜻하고, 어려운 지수 문제가 쉬운 대수가 됩니다.

모든 밑을 작은 소수의 거듭제곱으로 쓰기
첫 방정식에서 지수 맞추기
둘째 방정식에서 지수 맞추기
두 관계 합치기
b를 먼저, 그다음 a를 풀기
곱해서 ab 구하기