AMC 10 · 2007 · #9

학년 8 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

exponentssystems-of-equationslinear-equations-two-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

실수 $a$ 와 $b$ 는 두 방정식 $3^{a} = 81^{b + 2}$ 과 $125^{b} = 5^{a - 3}$ 을 만족한다. $ab$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-60

(B)

-17

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 방정식이 실수 $a$와 $b$를 연결합니다: $3^{a} = 81^{b+2}$ 그리고 $125^{b} = 5^{a-3}$. 곱 $ab$의 값을 구하세요.

주어진 것: 방정식 $3^{a} = 81^{b+2}$; 방정식 $125^{b} = 5^{a-3}$; $a$와 $b$는 실수; 선택지: (A) $-60$, (B) $-17$, (C) $9$, (D) $12$, (E) $60$

구하는 것: 곱 $ab$의 값

이해

문제 재정리: 두 방정식이 실수 $a$와 $b$를 연결합니다: $3^{a} = 81^{b+2}$ 그리고 $125^{b} = 5^{a-3}$. 곱 $ab$의 값을 구하세요.

주어진 것: 방정식 $3^{a} = 81^{b+2}$; 방정식 $125^{b} = 5^{a-3}$; $a$와 $b$는 실수; 선택지: (A) $-60$, (B) $-17$, (C) $9$, (D) $12$, (E) $60$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

각 방정식은 서로 달라 보이는 두 밑을 섞어 놓았으므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 하나씩 다룹니다. 두 방정식을 여는 열쇠는 도구 #5(패턴 찾기)입니다: $81$과 $125$는 사실 $3$과 $5$의 거듭제곱이므로, 모든 항을 하나의 밑으로 쓸 수 있습니다. 밑이 같아지면 같은 거듭제곱은 같은 지수를 강제하고, 각 방정식은 $a$와 $b$ 사이의 단순한 일차 관계로 무너집니다. 두 일차 관계가 연립방정식을 이루어 $a$와 $b$를 확정하고, 그다음 $ab$는 곱셈 한 번입니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 마지막에 빠른 부호 점검을 줍니다.

실행 — 정답: E

#5 패턴 찾기 8.EE.A.1 단계 1

모든 밑을 작은 소수의 거듭제곱으로 쓰기

각 방정식의 양변은 서로 다른 밑을 써서 직접 비교가 막혀 있습니다.
하지만 $81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^{4}$이고 $125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^{3}$입니다.
큰 밑을 이렇게 다시 쓰면 각 방정식이 하나의 공통 밑으로 놓입니다 — 첫 방정식은 밑 $3$, 둘째 방정식은 밑 $5$.

$$81 = 3^{4}, \qquad 125 = 5^{3}$$

💡 복잡한 밑은 흔히 익숙한 작은 밑이 변장한 것이므로, 다시 쓰면 양변이 마침내 같은 언어로 말합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.1 단계 2

첫 방정식에서 지수 맞추기

$81$을 $3^{4}$으로 바꿉니다: 첫 방정식은 $3^{a} = (3^{4})^{b+2} = 3^{4(b+2)}$이 됩니다.
거듭제곱의 거듭제곱은 지수를 곱합니다.
이제 양변이 모두 $3$의 거듭제곱이므로 지수가 같아야 합니다: $a = 4(b+2) = 4b + 8$.

$$3^{a} = 3^{4(b+2)} \;\Rightarrow\; a = 4b + 8$$

💡 양변의 밑이 같으면 지수만이 방정식을 담으므로, 그냥 지수를 같다고 놓으면 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.1 단계 3

둘째 방정식에서 지수 맞추기

$125$를 $5^{3}$으로 바꿉니다: 둘째 방정식은 왼쪽이 $(5^{3})^{b} = 5^{3b}$, 오른쪽이 $5^{a-3}$이 됩니다.
양변이 모두 $5$의 거듭제곱이므로 지수가 같습니다: $3b = a - 3$, 정리하면 $a = 3b + 3$.

$$5^{3b} = 5^{a-3} \;\Rightarrow\; 3b = a - 3 \;\Rightarrow\; a = 3b + 3$$

💡 밑을 공유하면 지수에 관한 문장은 평범한 일차식으로 바뀝니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.8 단계 4

두 관계 합치기

이제 $a$는 두 가지와 동시에 같습니다: $a = 4b + 8$ 그리고 $a = 3b + 3$.
둘 다 같은 $a$를 나타내므로, 두 오른쪽 변을 서로 같다고 놓습니다.
이것이 $a$를 없애고 $b$에 관한 하나의 방정식만 남깁니다: $4b + 8 = 3b + 3$.

$$4b + 8 = 3b + 3$$

💡 같은 양에 대한 두 식은 서로 같다고 놓을 수 있고, 이는 그 양을 지우고 다른 미지수를 분리합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.7 단계 5

b를 먼저, 그다음 a를 풀기

$4b + 8 = 3b + 3$을 풉니다.
양변에서 $3b$를 빼면 $b + 8 = 3$.
$8$을 빼면 $b = -5$.
$b = -5$를 $a = 3b + 3$에 다시 넣으면 $a = 3(-5) + 3 = -15 + 3 = -12$.

$$b = -5, \qquad a = 3(-5) + 3 = -12$$

💡 한 변수를 한 단계씩 벗겨낸 뒤, 그 값을 다시 넣어 다른 변수를 엽니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.2 단계 6

곱해서 ab 구하기

문제가 $ab$를 물으므로 두 값을 곱합니다: $ab = (-12)(-5)$.
음수 곱하기 음수는 양수이고 $12 \times 5 = 60$이므로 $ab = 60$입니다.
이것은 선택지 (E)와 일치합니다.

$$ab = (-12)(-5) = 60 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 음수 둘을 곱하면 부호가 서로 상쇄되어 양수 곱이 남습니다.

[1] #5 8.EE.A.1 각 방정식의 양변은 서로 다른 밑을 써서 직접 비교가 막혀 있습니다. 하지만 $81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 =

[2] #7 8.EE.A.1 $81$을 $3^{4}$으로 바꿉니다: 첫 방정식은 $3^{a} = (3^{4})^{b+2} = 3^{4(b+2)}$이 됩니다. 거듭제곱의 거듭

[3] #7 8.EE.A.1 $125$를 $5^{3}$으로 바꿉니다: 둘째 방정식은 왼쪽이 $(5^{3})^{b} = 5^{3b}$, 오른쪽이 $5^{a-3}$이 됩니다.

[4] #7 8.EE.C.8 이제 $a$는 두 가지와 동시에 같습니다: $a = 4b + 8$ 그리고 $a = 3b + 3$. 둘 다 같은 $a$를 나타내므로, 두 오른쪽

[5] #7 8.EE.C.7 $4b + 8 = 3b + 3$을 풉니다. 양변에서 $3b$를 빼면 $b + 8 = 3$. $8$을 빼면 $b = -5$. $b = -5$를 $

[6] #7 7.NS.A.2 문제가 $ab$를 물으므로 두 값을 곱합니다: $ab = (-12)(-5)$. 음수 곱하기 음수는 양수이고 $12 \times 5 = 60$이므

검토

합리성 확인: $a = -12$, $b = -5$ 쌍을 두 원래 방정식에 대입해 확인합니다. 첫째: $4b + 8 = 4(-5) + 8 = -12 = a$이므로 $3^{a} = 3^{-12}$이고 $81^{b+2} = 81^{-3} = 3^{-12}$ — 일치합니다. 둘째: $3b = -15$이고 $a - 3 = -15$이므로 $125^{b} = 5^{-15} = 5^{a-3}$ — 역시 일치합니다. 곱 $(-12)(-5) = 60$은 양수이고, 빠른 부호 점검으로 음수 선택지 (A)와 (B), 그리고 작은 양수 (C)와 (D)를 지우면 (E)가 남습니다.

대안 접근: 먼저 부호에 가능성 지우기를 씁니다. 일차 관계에서 $a$와 $b$가 둘 다 음수로 나오므로 그 곱은 반드시 양수 — (A) $-60$과 (B) $-17$을 즉시 지웁니다. 양수 선택지 중에서 $-12$와 $-5$ 근처의 수를 곱해 나올 만큼 큰 것은 $60$뿐이므로, 정확한 곱셈을 하기도 전에 (E)를 가리킵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.A.1 Know and apply the properties of integer exponents ($81 = 3^{4}$과 $125 = 5^{3}$으로 다시 쓰고, 거듭제곱의 거듭제곱 규칙을 쓰며, 밑이 같아진 뒤 지수를 맞추는 데 사용.)
8.EE.C.8 Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations ($a = 4b + 8$과 $a = 3b + 3$에서 $a$에 대한 두 식을 같다고 놓아 하나의 방정식으로 합치는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable ($4b + 8 = 3b + 3$을 풀어 $b = -5$를 얻고 다시 대입해 $a = -12$를 구하는 데 사용.)
7.NS.A.2 Apply and extend understanding of multiplication and division of rational numbers (두 음수 값을 곱해 $(-12)(-5) = 60$으로 곱 $ab$를 구하는 데 사용.)

⭐ 방정식이 서로 다른 밑을 숨기고 있을 때는 그것들을 같은 작은 수의 거듭제곱으로 다시 쓰세요 — 그러면 같은 거듭제곱은 같은 지수를 뜻하고, 어려운 지수 문제가 쉬운 대수가 됩니다.