AMC 10 · 2007 · #11

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

isosceles-trianglecoordinate-geometrypythagorean-theoremarea-circles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 원이 두 변의 길이가 $3$ 이고 밑변의 길이가 $2$ 인 이등변삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지난다. 이 원의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\pi$

(B)

$\frac{5}{2}\pi$

(C)

$\frac{81}{32}\pi$

(D)

$3\pi$

(E)

$\frac{7}{2}\pi$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 이등변삼각형은 길이가 $3$인 두 변과 길이가 $2$인 밑변을 가진다. 이 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원이 있다. 그 원의 넓이를 구하여라.

주어진 것: 삼각형은 길이가 $3$인 두 변을 가진 이등변삼각형이다; 삼각형의 밑변 길이는 $2$이다; 하나의 원이 세 꼭짓점을 모두 지난다(외접원); 선택지: (A) $2\pi$, (B) $\tfrac52\pi$, (C) $\tfrac{81}{32}\pi$, (D) $3\pi$, (E) $\tfrac72\pi$

구하는 것: 세 꼭짓점을 지나는 원의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

원의 넓이는 $\pi R^2$이므로 모든 것이 반지름 $R$에 달려 있다. 삼각형을 좌표로 그리고(도구 #1) 밑변을 평평하게 놓아 그 중점을 원점에 두면 삼각형의 거울 대칭이 드러나고, 이는 원의 중심을 세로축 위로 강제한다. 중심의 높이를 $k$로 이름 붙이면(도구 #4) '중심이 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있다'는 조건이 방정식이 된다. 그러면 문제는 작은 문제들로 나뉜다(도구 #7): 먼저 삼각형의 높이, 그다음 중심의 위치, 그다음 반지름, 마지막으로 넓이.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 1

좌표를 잡고 높이 구하기

밑변을 $x$축 위에 평평하게 놓고 그 중점을 원점에 두면 밑변의 꼭짓점은 $B=(-1,0)$, $C=(1,0)$이 된다(이렇게 하면 밑변 길이가 $2$이다).
꼭짓점 $A$는 원점 바로 위 $(0,h)$에 있다.
각 같은 변의 길이가 $3$이므로 $A$에서 $C$까지의 거리는 $3$이다.
이 거리는 가로 변 $1$, 세로 변 $h$인 직각삼각형의 빗변이므로, 피타고라스 정리에 의해 $1^2+h^2=3^2$, 따라서 $h^2=8$이고 $h=2\sqrt2$이다.

$$1^2+h^2=3^2 \;\Rightarrow\; h^2=8 \;\Rightarrow\; h=2\sqrt2$$

💡 이등변삼각형을 가운데로 반 가르면 직각삼각형이 생기므로 피타고라스 정리가 높이를 내어준다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.8 단계 2

중심을 대칭축 위에 두기

원의 중심은 세 꼭짓점에서 모두 같은 거리 $R$에 있다.
$B$와 $C$가 $y$축에 대해 서로 거울상이므로 중심은 그 축 위, 어떤 점 $O=(0,k)$에 있어야 한다.
반지름을 거리로 두 가지로 표현하자.
$O$에서 $B=(-1,0)$까지의 거리는 가로 성분 $1$, 세로 성분 $k$이므로 $R^2=1^2+k^2$이다.
$O$에서 꼭짓점 $A=(0,2\sqrt2)$까지의 거리는 축을 따라 곧장 위로 올라가므로 $R=2\sqrt2-k$, 즉 $R^2=(2\sqrt2-k)^2$이다.

$$R^2=1+k^2 \quad\text{그리고}\quad R^2=(2\sqrt2-k)^2$$

💡 중심은 두 밑변 모서리에서 똑같이 떨어져 있으므로 거울 대칭선 위에만 있을 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.7 단계 3

중심의 높이 구하기

두 식이 모두 $R^2$과 같으므로 서로 같다고 놓는다: $1+k^2=(2\sqrt2-k)^2$.
오른쪽을 전개하면 $8-4\sqrt2\,k+k^2$이 된다.
양변에서 $k^2$ 항이 사라지고 일차방정식 $1=8-4\sqrt2\,k$만 남는다.
풀면 $4\sqrt2\,k=7$이므로 $k=\dfrac{7}{4\sqrt2}$이다.

$$1+k^2=8-4\sqrt2\,k+k^2 \;\Rightarrow\; 4\sqrt2\,k=7 \;\Rightarrow\; k=\dfrac{7}{4\sqrt2}$$

💡 양변의 제곱 항이 서로 맞아떨어져 사라지면서, 무섭게 보이던 방정식이 한 번에 풀리는 일차식으로 줄어든다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

반지름의 제곱과 넓이 계산하기

넓이에는 $R^2$만 필요하고 $R^2=1+k^2$이다.
$k$를 제곱하면 $k^2=\left(\dfrac{7}{4\sqrt2}\right)^2=\dfrac{49}{16\cdot2}=\dfrac{49}{32}$이다.
그러면 $R^2=1+\dfrac{49}{32}=\dfrac{32}{32}+\dfrac{49}{32}=\dfrac{81}{32}$이다.
원의 넓이는 $\pi R^2=\dfrac{81}{32}\pi$이고, 이는 선택지 $\textbf{(C)}$이다.

$$R^2=1+\dfrac{49}{32}=\dfrac{81}{32} \;\Rightarrow\; \text{넓이}=\pi R^2=\dfrac{81}{32}\pi$$

💡 넓이가 $\pi R^2$이므로 $R$ 자체는 전혀 필요 없고, 바로 나오는 $R^2$만 있으면 된다.

[1] #1 8.G.B.7 밑변을 $x$축 위에 평평하게 놓고 그 중점을 원점에 두면 밑변의 꼭짓점은 $B=(-1,0)$, $C=(1,0)$이 된다(이렇게 하면 밑변 길이

[2] #4 8.G.B.8 원의 중심은 세 꼭짓점에서 모두 같은 거리 $R$에 있다. $B$와 $C$가 $y$축에 대해 서로 거울상이므로 중심은 그 축 위, 어떤 점 $O

[3] #7 8.EE.C.7 두 식이 모두 $R^2$과 같으므로 서로 같다고 놓는다: $1+k^2=(2\sqrt2-k)^2$. 오른쪽을 전개하면 $8-4\sqrt2\,k+k

[4] #7 7.G.B.4 넓이에는 $R^2$만 필요하고 $R^2=1+k^2$이다. $k$를 제곱하면 $k^2=\left(\dfrac{7}{4\sqrt2}\right)^2

검토

합리성 확인: 크기를 점검하자: $R^2=\tfrac{81}{32}\approx2.53$이므로 $R\approx1.59$이다. 원은 모든 꼭짓점에 닿을 만큼 커야 한다. 꼭짓점은 밑변에서 $2\sqrt2\approx2.83$만큼 위에 있고, 높이 $k=\tfrac{7}{4\sqrt2}\approx1.24$인 중심에서 꼭짓점까지는 $2.83-1.24\approx1.59$, 밑변 모서리까지는 $\sqrt{1+1.24^2}\approx1.59$로 두 거리가 일치하여 하나의 일관된 반지름임이 확인된다. 넓이 $\tfrac{81}{32}\pi\approx2.53\pi$는 선택지 $2\pi$와 $\tfrac52\pi$ 사이에 깔끔하게 놓여 오직 (C)에만 들어맞는다.

대안 접근: 외접원 반지름 공식 $R=\dfrac{abc}{4K}$를 쓴다. 여기서 $a,b,c$는 변의 길이, $K$는 삼각형의 넓이이다. 넓이는 $K=\tfrac12\cdot\text{밑변}\cdot\text{높이}=\tfrac12\cdot2\cdot2\sqrt2=2\sqrt2$이다. 변이 $3,3,2$이므로 $R=\dfrac{3\cdot3\cdot2}{4\cdot2\sqrt2}=\dfrac{18}{8\sqrt2}=\dfrac{9}{4\sqrt2}$이고, 따라서 $R^2=\dfrac{81}{32}$, 넓이는 $\dfrac{81}{32}\pi$로 (C)가 확인된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (변 $3$과 밑변의 절반 $1$로부터 삼각형의 높이 $h=2\sqrt2$를 구하기.)
8.G.B.8 Apply the Pythagorean theorem to find distance between two points in a coordinate system (반지름을 중심 $(0,k)$에서 밑변 꼭짓점까지, 그리고 꼭짓점까지의 거리로 표현하기.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable ($k^2$ 항이 사라진 뒤 $1=8-4\sqrt2\,k$를 풀어 중심의 높이를 구하기.)
7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (반지름을 $\pi R^2$로 원의 넓이로 바꾸기.)

⭐ 도형을 좌표평면 위에 놓고, 대칭성으로 원의 중심을 거울선 위에 고정하고, 넓이에는 $R$이 아니라 $R^2$만 필요하다는 것을 기억하자.