AMC 10 · 2007 · #11

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

isosceles-trianglecoordinate-geometrypythagorean-theoremarea-circles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 이등변삼각형은 길이가 3인 두 변과 길이가 2인 밑변을 가진다. 이 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원이 있다. 그 원의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\pi$

(B)

$\frac{5}{2}\pi$

(C)

$\frac{81}{32}\pi$

(D)

$3\pi$

(E)

$\frac{7}{2}\pi$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

원의 넓이는 π R²이므로 모든 것이 반지름 R에 달려 있다. 삼각형을 좌표로 그리고(도구 #1) 밑변을 평평하게 놓아 그 중점을 원점에 두면 삼각형의 거울 대칭이 드러나고, 이는 원의 중심을 세로축 위로 강제한다. 중심의 높이를 k로 이름 붙이면(도구 #4) '중심이 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있다'는 조건이 방정식이 된다. 그러면 문제는 작은 문제들로 나뉜다(도구 #7): 먼저 삼각형의 높이, 그다음 중심의 위치, 그다음 반지름, 마지막으로 넓이.

1STEP 1

좌표를 잡고 높이 구하기

밑변을 x축에 놓아 B=(-1,0), C=(1,0), 꼭대기 A=(0,h)로 두면 1²+h²=3²이므로 높이는 h=2√2입니다.

1²+h²=3² → h²=8 → h=2√2

2STEP 2

중심을 대칭축 위에 두기

대칭성에 의해 중심은 O=(0,k)이고, 밑변 모서리까지는 R²=1+k², 꼭대기까지는 R²=(2√2-k)²입니다.

R²=1+k² 그리고 R²=(2√2-k)²

3STEP 3

중심의 높이 구하기

두 식을 같다고 놓으면 1+k²=(2√2-k)²에서 k² 항이 사라져 1=8-4√2 k만 남고, k=7/(4√2)입니다.

1+k²=8-4√2 k+k² → 4√2 k=7 → k=7/4√2

4STEP 4

반지름의 제곱과 넓이 계산하기

제곱하면 k²=49/32이므로 R²=1+49/32=81/32이고, 넓이는 π R²=81/32π, 즉 선택지 (C)입니다.

R²=1+49/32=81/32 → 넓이=π R²=81/32π

정답

81/32π

크기를 점검하자: R²=81/32≈2.53이므로 R≈1.59이다. 원은 모든 꼭짓점에 닿을 만큼 커야 한다. 꼭짓점은 밑변에서 2√2≈2.83만큼 위에 있고, 높이 k=7/4√2≈1.24인 중심에서 꼭짓점까지는 2.83-1.24≈1.59, 밑변 모서리까지는 √(1+1.24²)≈1.59로 두 거리가 일치하여 하나의 일관된 반지름임이 확인된다. 넓이 81/32π≈2.53π는 선택지 2π와 5/2π 사이에 깔끔하게 놓여 오직 (C)에만 들어맞는다.

💡핵심 정리

도형을 좌표평면 위에 놓고, 대칭성으로 원의 중심을 거울선 위에 고정하고, 넓이에는 R이 아니라 R²만 필요하다는 것을 기억하자.

좌표를 잡고 높이 구하기
중심을 대칭축 위에 두기
중심의 높이 구하기
반지름의 제곱과 넓이 계산하기

좌표를 잡고 높이 구하기

중심을 대칭축 위에 두기

중심의 높이 구하기

반지름의 제곱과 넓이 계산하기

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