AMC 10 · 2007 · #12

학년 8 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

linear-equations-two-varsystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Tom의 나이는 $T$ 살이며, 이는 그의 세 자녀의 나이의 합과도 같다. $N$ 년 전 그의 나이는 그때 세 자녀의 나이의 합의 두 배였다. $T/N$ 은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 톰의 현재 나이는 $T$살이고, $T$는 지금 세 자녀의 나이의 합과도 같다. 정확히 $N$년 전, 그때의 톰의 나이는 그때의 세 자녀 나이의 합의 두 배였다. 비 $T/N$의 값을 구하여라.

주어진 것: 톰의 현재 나이는 $T$이다; 세 자녀의 현재 나이의 합도 $T$이다(같은 $T$); $N$년 전, 그때 톰의 나이는 그때 세 자녀 나이의 합의 두 배였다; 선택지: (A) 2, (B) 3, (C) 4, (D) 5, (E) 6

구하는 것: 톰의 나이와 지난 햇수의 비 $T/N$

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기

문제가 이미 두 문자 $T$와 $N$을 주었으므로, 나머지 양들을 이 문자들로 나타내는 것(도구 #4)이 자연스러운 첫걸음이다. 이 도구가 열어 주는 핵심은 '$N$년 전'이 되면 세 자녀가 각각 $N$년씩 뒤로 가므로, 자녀들의 나이 합은 $N$이 아니라 $3N$만큼 줄어든다는 점이다. 모든 나이를 $T$와 $N$으로 쓰고 나면, '그때 톰의 나이는 그때 자녀들 합의 두 배'라는 한 문장이 하나의 방정식이 되고(도구 #13, 대수로 바꾸기), 이를 풀어 비 $T/N$을 구한다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

모든 나이를 $T$와 $N$으로 쓰기

톰의 현재 나이는 $T$이고, 세 자녀의 현재 나이의 합도 $T$이다.
$N$년 전으로 돌아가자.
그때 톰의 나이는 $T-N$이었다.
세 자녀도 각각 $N$년씩 어렸으므로, 셋을 합치면 지금보다 $3N$년만큼 어렸다.
따라서 $N$년 전 자녀들의 나이 합은 $T-N$이 아니라 $T-3N$이다 — 자녀가 세 명이고 각각 $N$년씩 줄어들기 때문에 여기서 많이들 실수한다.

$$\text{그때 톰}=T-N,\qquad \text{그때 자녀들 합}=T-3N$$

💡 세 아이가 각각 $N$년씩 뒤로 가므로 셋의 나이 합은 한 사람의 세 배 속도인 $3N$만큼 줄어든다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.A.1 단계 2

문장을 방정식으로 바꾸기

문장은 $N$년 전 톰의 나이가 $N$년 전 자녀들 나이 합의 두 배였다고 말한다.
그때 톰의 나이는 $T-N$이고, 그때 자녀들 합의 두 배는 $2(T-3N)$이다.
둘을 같다고 놓으면 방정식이 되고, 오른쪽을 분배법칙으로 전개하면 $2$가 두 항 모두에 곱해진다.

$$T-N=2(T-3N)=2T-6N$$

💡 '두 배였다'는 한쪽이 다른 쪽의 두 배라는 뜻이므로, 곧 $2$라는 인수가 붙은 등호이다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 3

비 $T/N$ 구하기

$T$ 항은 한쪽으로, $N$ 항은 다른 쪽으로 모은다.
$T-N=2T-6N$에서 양변에 $T$를 빼면 $-N=T-6N$이 되고, 양변에 $6N$을 더하면 $5N=T$가 된다.
따라서 $T=5N$이고, 양변을 $N$으로 나누면 $T/N=5$이다.
이는 선택지 (D)와 일치한다.

$$T-N=2T-6N\;\Rightarrow\;5N=T\;\Rightarrow\;\dfrac{T}{N}=5$$

💡 $T$끼리, $N$끼리 반대쪽으로 모으면 두 문자 사이의 깔끔한 관계만 남고, 비를 구하는 데는 그것으로 충분하다.

[1] #4 6.EE.A.2 톰의 현재 나이는 $T$이고, 세 자녀의 현재 나이의 합도 $T$이다. $N$년 전으로 돌아가자. 그때 톰의 나이는 $T-N$이었다. 세 자녀도

[2] #13 7.EE.A.1 문장은 $N$년 전 톰의 나이가 $N$년 전 자녀들 나이 합의 두 배였다고 말한다. 그때 톰의 나이는 $T-N$이고, 그때 자녀들 합의 두 배는

[3] #4 8.EE.C.7 $T$ 항은 한쪽으로, $N$ 항은 다른 쪽으로 모은다. $T-N=2T-6N$에서 양변에 $T$를 빼면 $-N=T-6N$이 되고, 양변에 $6N

검토

합리성 확인: $T=5N$에 맞는 수를 골라 보자. $N=6$이라 하면 $T=30$이다: 지금 톰은 $30$살이고 세 자녀의 나이 합도 $30$이다. $6$년 전 톰은 $24$살이었고, 자녀들 합은 $30-3(6)=12$였다. 실제로 $24=2\times 12$이므로 조건이 성립하고 $T/N=30/6=5$이다. 세 자녀를 잊어버린 유혹적인 오답 — $T-N=2(T-N)$ — 을 쓰면 $T=N$이 강요되어, 톰의 온 나이가 $N$년 안에 지나갔다는 불가능한 결론이 나오므로 $3N$만큼 줄어든다는 점이 필수임을 확인해 준다.

대안 접근: 줄어드는 양을 직접 다루자. $N$년 동안 톰은 $N$만큼, 자녀들 합은 $3N$만큼 늘어난다. 지금 톰의 나이는 자녀들 합과 같고($T=T$), 그때는 톰의 나이가 그 두 배였다. 그때의 합은 $T-3N$이고, 그때 톰이 자녀들 합보다 앞선 차이는 $T-N-(T-3N)=2N$인데, 이것이 그때의 합과 같아야 하므로 $T-3N=2N$, 즉 $T=5N$이고 $T/N=5$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers ($N$년 전 각 나이를 $T$와 $N$으로 나타내기, 특히 자녀들 합을 $T-3N$으로 쓰기.)
7.EE.A.1 Apply properties of operations to add, subtract, factor, and expand linear expressions ('그들 합의 두 배'를 방정식으로 옮길 때 $2(T-3N)$을 $2T-6N$으로 전개하기.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable ($T-N=2T-6N$의 양변에서 동류항을 모아 $T=5N$, 따라서 $T/N=5$를 얻기.)

⭐ 나이 문제에서 시간을 되감으면 모든 사람이 그만큼 나이가 줄어드므로, 세 자녀는 세 배로 줄어든다 — 방정식을 세우기 전에 전부 세어라.