AMC 10 · 2007 · #12

학년 8 algebra
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
linear-equations-two-varsystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
톰의 현재 나이는 T살이고, 세 자녀의 현재 나이의 합도 같은 T이다. 정확히 N년 전, 톰의 나이는 그때 세 자녀의 나이 합의 두 배였다. 비 T/N의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
3
(C)
4
(D)
5
(E)
6

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

문제가 이미 두 문자 T와 N을 주었으므로, 나머지 양들을 이 문자들로 나타내는 것(도구 #4)이 자연스러운 첫걸음이다. 이 도구가 열어 주는 핵심은 'N년 전'이 되면 세 자녀가 각각 N년씩 뒤로 가므로, 자녀들의 나이 합은 N이 아니라 3N만큼 줄어든다는 점이다. 모든 나이를 T와 N으로 쓰고 나면, '그때 톰의 나이는 그때 자녀들 합의 두 배'라는 한 문장이 하나의 방정식이 되고(도구 #13, 대수로 바꾸기), 이를 풀어 비 T/N을 구한다.

1STEP 1

모든 나이를 T와 N으로 쓰기

지금 톰은 T, 자녀 셋의 합도 T이다. N년 전이면 톰은 T-N, 자녀 셋은 각각 N씩 줄어 합이 T-3N이다.

그때 톰=T-N, 그때 자녀들 합=T-3N
2STEP 2

문장을 방정식으로 바꾸기

'두 배'는 두 식을 등호로 잇는다: T-N=2(T-3N). 오른쪽에 2를 분배하면 2T-6N이 된다.

T-N=2(T-3N)=2T-6N
3STEP 3

비 T/N 구하기

T는 한쪽, N은 다른 쪽으로 모으면 T-N=2T-6N에서 5N=T이고, N으로 나누면 T/N=5, 즉 (D)이다.

T-N=2T-6N → 5N=T → T/N=5
정답
5
T=5N에 맞는 수를 골라 보자. N=6이라 하면 T=30이다: 지금 톰은 30살이고 세 자녀의 나이 합도 30이다. 6년 전 톰은 24살이었고, 자녀들 합은 30-3(6)=12였다. 실제로 24=2 × 12이므로 조건이 성립하고 T/N=30/6=5이다. 세 자녀를 잊어버린 유혹적인 오답 — T-N=2(T-N) — 을 쓰면 T=N이 강요되어, 톰의 온 나이가 N년 안에 지나갔다는 불가능한 결론이 나오므로 3N만큼 줄어든다는 점이 필수임을 확인해 준다.
💡핵심 정리

나이 문제에서 시간을 되감으면 모든 사람이 그만큼 나이가 줄어드므로, 세 자녀는 세 배로 줄어든다 — 방정식을 세우기 전에 전부 세어라.

  • 모든 나이를 T와 N으로 쓰기
  • 문장을 방정식으로 바꾸기
  • 비 T/N 구하기

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