AMC 10 · 2007 · #13

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

circular-sectorarea-circlescoordinate-geometry identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

반지름이 각각 2인 두 원이 (2,0)과 (0,2)를 중심으로 놓여 있다. 두 원 안에 동시에 들어가는 영역의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\pi -2$

(B)

$\frac{\pi}{2}$

(C)

$\frac{\pi \sqrt{3}}{3}$

(D)

$2(\pi -2)$

(E)

$\pi$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

겹치는 부분은 휘어진 렌즈 모양인데, 그 모양을 가장 빨리 파악하려면 두 원을 그리고 서로 만나는 점을 표시하면 된다(도구 #1). 렌즈는 그 자체로 간단한 넓이 공식이 없으므로, 잴 수 있는 조각으로 쪼갠다. 렌즈의 절반은 부채꼴에서 삼각형을 뺀 활꼴이다(도구 #7 작은 문제로 쪼개기). 마지막으로 객관식 문제이므로 계산한 값을 다섯 선택지와 맞춰 본다(도구 #3).

1STEP 1

두 원이 만나는 점 찾기

두 원은 (0,0)과 (2,2)를 모두 지난다. 두 중심에서 각각 2만큼 떨어진 점이며, 렌즈의 양 끝점이다.

교점: (0,0)와 (2,2)

2STEP 2

렌즈를 똑같은 두 활꼴로 나누기

대칭이라 반쪽은 활꼴이다. (2,0)에서 양 끝점으로 그은 두 반지름이 이루는 각이 90°라서 반쪽=부채꼴-삼각형이다.

∠ = 90°, 렌즈의 절반 = 부채꼴 - 삼각형

3STEP 3

부채꼴과 삼각형의 넓이 재기

부채꼴은 원 넓이 4π의 1/4이니 π이고, 두 변이 2인 직각삼각형은 2이다. 반쪽은 π - 2이다.

부채꼴=1/4(4π)=π, 삼각형=1/2(2)(2)=2

4STEP 4

두 절반을 더하기

똑같은 반쪽을 두 배 하면 2(π - 2), 즉 (D)이다. (A) π - 2는 절반일 뿐이다.

2 (π-2)

정답

2(π -2)

수치로 어림하면 2(π-2)≈ 2(3.1416-2)=2(1.1416)≈ 2.28이다. 이는 원 하나의 넓이 4π≈ 12.6보다 훨씬 작은 얇은 조각으로, 중심들이 꽤 떨어져 있을 때(두 중심 사이 거리가 2√2≈ 2.83로 반지름보다 큼) 겹침에서 기대되는 크기이다. 2를 약간 넘는 양수 값은 얇은 렌즈에 알맞다. 선택지 (A) π-2≈1.14는 우리 답의 정확히 절반으로, 한 활꼴에서 멈추면 빠지는 함정이다.

💡핵심 정리

두 원이 겹친 휘어진 렌즈의 넓이를 재려면, 직선 삼각형을 잘라낸 부채꼴 조각으로 나눈 뒤 남는 얇은 조각들을 더하면 된다.

두 원이 만나는 점 찾기
렌즈를 똑같은 두 활꼴로 나누기
부채꼴과 삼각형의 넓이 재기
두 절반을 더하기

두 원이 만나는 점 찾기

렌즈를 똑같은 두 활꼴로 나누기

부채꼴과 삼각형의 넓이 재기

두 절반을 더하기

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