AMC 10 · 2007 · #13

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

circular-sectorarea-circlescoordinate-geometry identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

반지름이 $2$ 인 두 원이 각각 $(2,0)$ 과 $(0,2)$ 를 중심으로 한다. 두 원의 내부의 공통부분(교집합)의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\pi -2$

(B)

$\frac{\pi}{2}$

(C)

$\frac{\pi \sqrt{3}}{3}$

(D)

$2(\pi -2)$

(E)

$\pi$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 각각 $2$인 두 원이 $(2,0)$과 $(0,2)$을 중심으로 놓여 있다. 두 원 안에 동시에 들어가는 영역의 넓이를 구하여라.

주어진 것: 원 1은 중심이 $(2,0)$이고 반지름이 $2$이다; 원 2는 중심이 $(0,2)$이고 반지름이 $2$이다; 두 원의 반지름이 같다; 선택지: (A) $\pi-2$, (B) $\frac{\pi}{2}$, (C) $\frac{\pi\sqrt3}{3}$, (D) $2(\pi-2)$, (E) $\pi$

구하는 것: 두 원이 겹치는 부분(두 원의 내부에 모두 속하는 렌즈 모양 영역)의 넓이

이해

문제 재정리: 반지름이 각각 $2$인 두 원이 $(2,0)$과 $(0,2)$을 중심으로 놓여 있다. 두 원 안에 동시에 들어가는 영역의 넓이를 구하여라.

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

겹치는 부분은 휘어진 렌즈 모양인데, 그 모양을 가장 빨리 파악하려면 두 원을 그리고 서로 만나는 점을 표시하면 된다(도구 #1). 렌즈는 그 자체로 간단한 넓이 공식이 없으므로, 잴 수 있는 조각으로 쪼갠다. 렌즈의 절반은 부채꼴에서 삼각형을 뺀 활꼴이다(도구 #7 작은 문제로 쪼개기). 마지막으로 객관식 문제이므로 계산한 값을 다섯 선택지와 맞춰 본다(도구 #3).

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 6.NS.C.8 단계 1

두 원이 만나는 점 찾기

두 원을 그린다.
어떤 점이 두 원 위에 동시에 있으려면 두 중심에서 각각 정확히 $2$만큼 떨어져 있어야 한다.
$(0,0)$을 확인하면, 중심 $(2,0)$은 가로로 $2$만큼, 중심 $(0,2)$은 세로로 $2$만큼 떨어져 있으므로 $(0,0)$은 두 원 위에 있다.
$(2,2)$를 확인하면, $(2,0)$에서 세로로 $2$, $(0,2)$에서 가로로 $2$만큼 떨어져 있으므로 이 점도 두 원 위에 있다.
두 교점 $(0,0)$과 $(2,2)$가 렌즈의 양 끝점이다.

$$\text{교점: }(0,0)\text{와 }(2,2)$$

💡 겹치는 부분은 두 원의 경계가 만나는 두 지점 사이에 갇혀 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.8 단계 2

렌즈를 똑같은 두 활꼴로 나누기

두 중심을 지나는 직선이 대칭축이므로 렌즈는 똑같은 두 조각으로 나뉜다.
중심이 $(2,0)$인 원 1에 속하는 절반에 집중한다.
$(2,0)$에서 양 끝점 $(0,0)$과 $(2,2)$로 두 반지름을 그린다.
$(0,0)$으로 가는 반지름은 왼쪽으로 곧게(수평) 향하고, $(2,2)$로 가는 반지름은 위로 곧게(수직) 향하므로 두 반지름이 이루는 각은 직각 $90^\circ$이다.
그 절반은 활꼴, 즉 $90^\circ$ 부채꼴에서 곧은 삼각형을 잘라낸 것이다.

$$\angle = 90^\circ,\quad \text{렌즈의 절반} = \text{부채꼴} - \text{삼각형}$$

💡 렌즈의 절반은 직선 변을 가진 삼각형을 잘라낸 조각 파이로, 휘어진 얇은 조각만 남는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 3

부채꼴과 삼각형의 넓이 재기

$90^\circ$ 부채꼴은 원 전체의 $\tfrac14$이다.
원 전체의 넓이는 $\pi\cdot 2^2 = 4\pi$이므로 부채꼴은 $\tfrac14\cdot 4\pi = \pi$이다.
잘라낸 삼각형은 두 반지름을 두 변으로 가지며, 두 변의 길이가 모두 $2$이고 직각에서 만나므로 넓이는 $\tfrac12\cdot 2\cdot 2 = 2$이다.
휘어진 얇은 조각, 즉 렌즈의 절반은 부채꼴에서 삼각형을 뺀 것이다.

$$\text{부채꼴}=\tfrac14(4\pi)=\pi,\quad \text{삼각형}=\tfrac12(2)(2)=2$$

💡 사분원에서 그 안의 직각삼각형을 빼면 정확히 남는 휘어진 조각이 된다.

#3 가능성 지우기 7.G.B.6 단계 4

두 절반을 더하기

렌즈의 절반은 넓이가 $\pi - 2$이다.
두 번째 단계의 대칭성에 의해 다른 절반도 똑같으므로 겹치는 부분 전체는 이것의 두 배이다.
따라서 $2(\pi - 2)$가 된다.
선택지와 비교하면 이것은 (D)와 정확히 일치하고, (A) $\pi-2$는 절반일 뿐이며 나머지도 맞지 않는다.
교집합의 넓이는 $\textbf{(D)}\ 2(\pi-2)$이다.

$$2\,(\pi-2)$$

💡 렌즈는 똑같은 두 개의 휘어진 조각이므로 한 조각을 두 배 한다.

[1] #1 6.NS.C.8 두 원을 그린다. 어떤 점이 두 원 위에 동시에 있으려면 두 중심에서 각각 정확히 $2$만큼 떨어져 있어야 한다. $(0,0)$을 확인하면, 중

[2] #7 6.NS.C.8 두 중심을 지나는 직선이 대칭축이므로 렌즈는 똑같은 두 조각으로 나뉜다. 중심이 $(2,0)$인 원 1에 속하는 절반에 집중한다. $(2,0)$

[3] #7 7.G.B.4 $90^\circ$ 부채꼴은 원 전체의 $\tfrac14$이다. 원 전체의 넓이는 $\pi\cdot 2^2 = 4\pi$이므로 부채꼴은 $\tf

[4] #3 7.G.B.6 렌즈의 절반은 넓이가 $\pi - 2$이다. 두 번째 단계의 대칭성에 의해 다른 절반도 똑같으므로 겹치는 부분 전체는 이것의 두 배이다. 따라서

검토

합리성 확인: 수치로 어림하면 $2(\pi-2)\approx 2(3.1416-2)=2(1.1416)\approx 2.28$이다. 이는 원 하나의 넓이 $4\pi\approx 12.6$보다 훨씬 작은 얇은 조각으로, 중심들이 꽤 떨어져 있을 때(두 중심 사이 거리가 $2\sqrt2\approx 2.83$로 반지름보다 큼) 겹침에서 기대되는 크기이다. $2$를 약간 넘는 양수 값은 얇은 렌즈에 알맞다. 선택지 (A) $\pi-2\approx1.14$는 우리 답의 정확히 절반으로, 한 활꼴에서 멈추면 빠지는 함정이다.

대안 접근: 반지름 $r$이 같고 중심 사이 거리가 $d$인 두 원의 렌즈 넓이 공식 $A = 2r^2\cos^{-1}\!\left(\tfrac{d}{2r}\right) - \tfrac{d}{2}\sqrt{4r^2-d^2}$를 쓴다. 여기서 $r=2$, $d=2\sqrt2$이므로 $\tfrac{d}{2r}=\tfrac{\sqrt2}{2}$이고 $\cos^{-1}\!\left(\tfrac{\sqrt2}{2}\right)=\tfrac{\pi}{4}$이다. 그러면 $A = 2\cdot4\cdot\tfrac{\pi}{4} - \sqrt2\cdot\sqrt{16-8} = 2\pi - \sqrt2\cdot 2\sqrt2 = 2\pi - 4 = 2(\pi-2)$로 (D)가 확인된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.NS.C.8 좌표평면에 점을 나타내고 같은 좌표를 공유하는 점 사이의 거리 구하기 (교점 $(0,0)$과 $(2,2)$를 찾고 두 반지름이 수평과 수직, 즉 서로 수직임을 확인하는 데 사용.)
7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고 활용하기 ($90^\circ$ 부채꼴을 원의 넓이 $\pi\cdot2^2=4\pi$의 $\tfrac14$로 계산하는 데 사용.)
6.G.A.1 삼각형과 다른 다각형의 넓이 구하기 (두 변이 $2$인 직각삼각형의 넓이를 $\tfrac12\cdot2\cdot2=2$로 계산하는 데 사용.)
7.G.B.6 더 간단한 도형들로 이루어진 평면도형의 넓이 문제 해결하기 (각 활꼴을 부채꼴에서 삼각형을 뺀 것으로 구하고 두 배 하여 렌즈 전체 $2(\pi-2)$를 얻는 데 사용.)

⭐ 두 원이 겹친 휘어진 렌즈의 넓이를 재려면, 직선 삼각형을 잘라낸 부채꼴 조각으로 나눈 뒤 남는 얇은 조각들을 더하면 된다.