AMC 10 · 2007 · #17

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

equilateral-trianglearea-triangles double-counting ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정삼각형

ABC

내부에 점

P

가 있다.

P

에서 세 변에 수선을 내리면 그 발이

AB

위의

Q

BC

위의

R

CA

위의

S

이고, 길이는

PQ=1

PR=2

PS=3

이다. 변

AB

의 길이를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 4$

(B)

$\ 3\sqrt{3}$

(C)

$\ 6$

(D)

$\ 4\sqrt{3}$

(E)

$\ 9$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

세 수선은 그림으로 이어붙이고 싶어진다: P를 각 꼭짓점과 연결하면 정삼각형이 세 개의 작은 삼각형으로 나뉜다(도구 #1, 이어서 도구 #7). 각 수선은 길이 s=AB인 변 위에 놓인 작은 삼각형의 높이이므로, 세 넓이를 쉽게 적고 더할 수 있다. 그 합을 정삼각형 전체의 넓이 — 하나의 변수 s로 계산한 값(도구 #4) — 과 같게 놓으면 기하 문제가 풀 수 있는 하나의 방정식으로 바뀐다(도구 #13). 이 넓이 분할 아이디어가 바로 비비아니 정리이다.

1STEP 1

P에서 삼각형 쪼개기

$PA$ , $PB$ , $PC$ 를 그으면 삼각형이 세 조각으로 갈라지고, 밑변은 온전한 한 변, 높이는 주어진 거리가 된다.

[ABC]=[PAB]+[PBC]+[PCA]

2STEP 2

세 작은 넓이 더하기

조각의 밑변이 모두 $s$ 이므로 넓이 $\frac{1}{2}s(1)$ , $\frac{1}{2}s(2)$ , $\frac{1}{2}s(3)$ 의 합은 $3s$ 이다.

[ABC]=1/2 s(1)+1/2 s(2)+1/2 s(3)=1/2 s(1+2+3)=3s

3STEP 3

정삼각형 전체의 넓이

정삼각형을 자기 높이 $\frac{\sqrt{3}}{2}s$ 로 가르면 30-60-90 삼각형 둘이 되고, 넓이는 $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ 이다.

h=√(s²-s²/4)=√3/2s, [ABC]=√3/4s²

4STEP 4

두 넓이를 같게 놓기

한 영역을 두 번 잰 셈이니 $3s=\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ 이고, 양수인 $s$ 로 나누면 $s=\frac{12}{\sqrt{3}}$ 이다.

3s=√3/4s² → 3=√3/4s → s=12/√3

5STEP 5

근호 정리하기

분자와 분모에 $\sqrt{3}$ 을 곱하면 $\frac{12\sqrt{3}}{3}$ 이므로 $AB=4\sqrt{3}$ , 곧 선택지 (D)이다.

s=12/√3=12√3/3=4√3

정답

4√(3)

s=4√3로 두 넓이를 확인한다. 조각들의 합은 3s=12√3이고, 전체는 √3/4s²=√3/4 · 48=12√3으로 서로 일치한다. 또한 전체 삼각형의 높이는 h=√3/2 · 4√3=6으로, 세 거리의 합 1+2+3과 정확히 같다. 이것이 바로 비비아니 정리로, 든든한 교차 검증이 된다. 수치로는 4√3≈6.9로 가장 큰 수선(3)보다 충분히 크며(어떤 실제 삼각형이든 그래야 한다), 12/√3과 맞는 유일한 선택지이다.

💡핵심 정리

내부의 점을 꼭짓점과 이으면 세 수선이 높이가 되고, 더한 조각들을 전체 삼각형의 넓이와 맞추면 변의 길이가 정해진다.

P에서 삼각형 쪼개기
세 작은 넓이 더하기
정삼각형 전체의 넓이
두 넓이를 같게 놓기
근호 정리하기

P에서 삼각형 쪼개기

세 작은 넓이 더하기

정삼각형 전체의 넓이

두 넓이를 같게 놓기

근호 정리하기

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