AMC 10 · 2007 · #17

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

equilateral-trianglearea-triangles double-counting ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

점 $P$ 는 정삼각형 $\triangle ABC$ 의 내부에 있다. 점 $Q$ , $R$ , $S$ 는 각각 $P$ 에서 $\overline{AB}$ , $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ 에 내린 수선의 발이다. $PQ=1$ , $PR=2$ , $PS=3$ 일 때, $AB$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 4$

(B)

$\ 3\sqrt{3}$

(C)

$\ 6$

(D)

$\ 4\sqrt{3}$

(E)

$\ 9$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정삼각형 $ABC$ 내부에 점 $P$가 있다. $P$에서 세 변에 수선을 내리면 그 발이 $\overline{AB}$ 위의 $Q$, $\overline{BC}$ 위의 $R$, $\overline{CA}$ 위의 $S$이고, 길이는 $PQ=1$, $PR=2$, $PS=3$이다. 변 $AB$의 길이를 구하시오.

주어진 것: $\triangle ABC$는 정삼각형이므로 세 변의 길이가 모두 같고 모든 각이 $60^\circ$이다; $P$는 내부의 점이고 $PQ,PR,PS$는 세 변까지의 수직 거리로 $PQ=1$, $PR=2$, $PS=3$이다; 선택지: (A) $4$, (B) $3\sqrt{3}$, (C) $6$, (D) $4\sqrt{3}$, (E) $9$

구하는 것: 정삼각형의 변 길이 $AB$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기, #13 대수로 바꾸기

세 수선은 그림으로 이어붙이고 싶어진다: $P$를 각 꼭짓점과 연결하면 정삼각형이 세 개의 작은 삼각형으로 나뉜다(도구 #1, 이어서 도구 #7). 각 수선은 길이 $s=AB$인 변 위에 놓인 작은 삼각형의 높이이므로, 세 넓이를 쉽게 적고 더할 수 있다. 그 합을 정삼각형 전체의 넓이 — 하나의 변수 $s$로 계산한 값(도구 #4) — 과 같게 놓으면 기하 문제가 풀 수 있는 하나의 방정식으로 바뀐다(도구 #13). 이 넓이 분할 아이디어가 바로 비비아니 정리이다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

$P$에서 삼각형 쪼개기

선분 $PA$, $PB$, $PC$를 그린다.
이들은 $\triangle ABC$를 세 개의 작은 삼각형 $\triangle PAB$, $\triangle PBC$, $\triangle PCA$로 나눈다.
각 수선은 이 삼각형들 중 하나를 한 변 위에 내린 높이이다: $PQ\perp AB$는 $\triangle PAB$의 높이, $PR\perp BC$는 $\triangle PBC$의 높이, $PS\perp CA$는 $\triangle PCA$의 높이이다.
모든 밑변이 정삼각형의 변이므로 각 밑변의 길이는 모두 $s=AB$로 같다.

$$[ABC]=[PAB]+[PBC]+[PCA]$$

💡 내부의 점을 꼭짓점과 이으면 하나의 삼각형이 세 개로 바뀌고, 그 높이가 바로 주어진 세 수치이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 2

세 작은 넓이 더하기

삼각형의 넓이는 $\tfrac12\,(\text{밑변})(\text{높이})$이다.
각 작은 삼각형은 밑변이 $s$이고 높이가 주어진 값들 중 하나이다: $[PAB]=\tfrac12 s\cdot 1$, $[PBC]=\tfrac12 s\cdot 2$, $[PCA]=\tfrac12 s\cdot 3$.
이들을 더하면 $\tfrac12 s$가 묶여 나와 합은 $\tfrac12 s(1+2+3)=3s$가 된다.

$$[ABC]=\tfrac12 s(1)+\tfrac12 s(2)+\tfrac12 s(3)=\tfrac12 s(1+2+3)=3s$$

💡 같은 밑변 $s$를 공유하므로 세 높이는 그냥 더해지고, 결국 그 합 $1+2+3$만 중요하다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 3

정삼각형 전체의 넓이

이제 $[ABC]$를 직접 구한다.
정삼각형을 자신의 높이로 나누면 빗변이 $s$, 밑변의 절반이 $\tfrac{s}{2}$인 두 개의 $30$-$60$-$90$ 직각삼각형이 된다.
피타고라스 정리로 높이는 $h=\sqrt{s^2-\left(\tfrac{s}{2}\right)^2}=\tfrac{\sqrt3}{2}\,s$이다.
따라서 $[ABC]=\tfrac12\, s\cdot h=\tfrac12 s\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}s=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$이다.

$$h=\sqrt{s^2-\tfrac{s^2}{4}}=\tfrac{\sqrt3}{2}s,\qquad [ABC]=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$$

💡 정삼각형은 두 개의 $30$-$60$-$90$ 삼각형으로 접히므로 그 넓이는 항상 변의 제곱의 $\tfrac{\sqrt3}{4}$배이다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 4

두 넓이를 같게 놓기

두 식은 같은 영역을 나타내므로 서로 같아야 한다: $3s=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$.
$s>0$이므로 양변을 $s$로 나누면 $3=\tfrac{\sqrt3}{4}s$이다.
$\tfrac{4}{\sqrt3}$을 곱하면 $s$가 분리된다: $s=\tfrac{12}{\sqrt3}$.

$$3s=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2\ \Rightarrow\ 3=\tfrac{\sqrt3}{4}s\ \Rightarrow\ s=\tfrac{12}{\sqrt3}$$

💡 한 영역을 두 가지로 재면 방정식이 생기고, 공통인 $s$를 나눠 없애면 간단한 일차식 풀이로 줄어든다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 5

근호 정리하기

$\tfrac{12}{\sqrt3}$의 분모를 유리화하기 위해 분자와 분모에 $\sqrt3$을 곱한다: $\tfrac{12}{\sqrt3}\cdot\tfrac{\sqrt3}{\sqrt3}=\tfrac{12\sqrt3}{3}=4\sqrt3$.
따라서 $AB=4\sqrt3$이고, 이는 선택지 $\textbf{(D)}$이다.

$$s=\tfrac{12}{\sqrt3}=\tfrac{12\sqrt3}{3}=4\sqrt3$$

💡 분모의 근호를 없애면 지저분한 분수가 깔끔한 $4\sqrt3$ 꼴로 바뀐다.

[1] #1 6.G.A.1 선분 $PA$, $PB$, $PC$를 그린다. 이들은 $\triangle ABC$를 세 개의 작은 삼각형 $\triangle PAB$, $\tr

[2] #7 7.G.B.6 삼각형의 넓이는 $\tfrac12\,(\text{밑변})(\text{높이})$이다. 각 작은 삼각형은 밑변이 $s$이고 높이가 주어진 값들 중

[3] #4 8.G.B.7 이제 $[ABC]$를 직접 구한다. 정삼각형을 자신의 높이로 나누면 빗변이 $s$, 밑변의 절반이 $\tfrac{s}{2}$인 두 개의 $30$

[4] #13 7.EE.B.4 두 식은 같은 영역을 나타내므로 서로 같아야 한다: $3s=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$. $s>0$이므로 양변을 $s$로 나누면 $3

[5] #13 8.EE.A.2 $\tfrac{12}{\sqrt3}$의 분모를 유리화하기 위해 분자와 분모에 $\sqrt3$을 곱한다: $\tfrac{12}{\sqrt3}\cd

검토

합리성 확인: $s=4\sqrt3$로 두 넓이를 확인한다. 조각들의 합은 $3s=12\sqrt3$이고, 전체는 $\tfrac{\sqrt3}{4}s^2=\tfrac{\sqrt3}{4}\cdot 48=12\sqrt3$으로 서로 일치한다. 또한 전체 삼각형의 높이는 $h=\tfrac{\sqrt3}{2}\cdot 4\sqrt3=6$으로, 세 거리의 합 $1+2+3$과 정확히 같다. 이것이 바로 비비아니 정리로, 든든한 교차 검증이 된다. 수치로는 $4\sqrt3\approx6.9$로 가장 큰 수선($3$)보다 충분히 크며(어떤 실제 삼각형이든 그래야 한다), $12/\sqrt3$과 맞는 유일한 선택지이다.

대안 접근: 넓이 계산을 건너뛰고 비비아니 정리를 바로 쓴다: 정삼각형 내부의 임의의 점에서 세 변까지의 수직 거리의 합은 항상 그 삼각형의 높이와 같다. 따라서 높이는 $h=1+2+3=6$이다. 정삼각형에서 $h=\tfrac{\sqrt3}{2}s$이므로 $6=\tfrac{\sqrt3}{2}s$를 풀면 $s=\tfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3$을 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.1 Find the area of triangles and other figures by composing and decomposing ($\triangle ABC$를 $\triangle PAB$, $\triangle PBC$, $\triangle PCA$로 나누고 각 수선을 높이로 보기.)
7.G.B.6 Solve problems involving area of two-dimensional objects composed of triangles (세 작은 삼각형의 넓이 $\tfrac12 s(1)+\tfrac12 s(2)+\tfrac12 s(3)=3s$ 더하기.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean Theorem to determine unknown side lengths (정삼각형의 높이 $h=\tfrac{\sqrt3}{2}s$를 구해 넓이 $\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$ 얻기.)
7.EE.B.4 Use variables to construct and solve simple equations ($3s=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$을 세우고 $s$에 대해 풀기.)
8.EE.A.2 Use square root symbols and work with irrational square roots ($\tfrac{12}{\sqrt3}$을 유리화하여 간단한 꼴 $4\sqrt3$으로 만들기.)

⭐ 내부의 점을 꼭짓점과 이으면 세 수선이 높이가 되고, 더한 조각들을 전체 삼각형의 넓이와 맞추면 변의 길이가 정해진다.