AMC 10 · 2007 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

tangent-circlespythagorean-theoremsymmetry-argument convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

그림과 같이 반지름이 $1$ 인 원이 반지름이 $r$ 인 원 $4$ 개로 둘러싸여 있다. $r$ 은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\sqrt{2}$

(B)

$1+\sqrt{2}$

(C)

$\sqrt{6}$

(D)

(E)

$2+\sqrt{2}$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름 $1$인 원 하나를 반지름 $r$인 네 개의 원이 둘러싸고 있다. 바깥 원들은 각각 가운데 원에 접하고, 서로 이웃한 두 바깥 원끼리도 접한다. $r$를 구하시오.

주어진 것: 가운데 원의 반지름은 $1$이다; 둘러싸는 네 원의 반지름은 각각 $r$이며, 중심을 기준으로 대칭으로 배치되어 있다; 각 바깥 원은 가운데 원에 접하고, 이웃한 두 바깥 원과도 접한다; 선택지: (A) $\sqrt{2}$, (B) $1+\sqrt{2}$, (C) $\sqrt{6}$, (D) $3$, (E) $2+\sqrt{2}$

구하는 것: 네 바깥 원 각각의 반지름 $r$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #17 공간 상상하기, #13 대수로 바꾸기, #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

이 문제는 그림이 전부이므로, 먼저 중심들을 그리고(도구 #1) 각 "접함"을 중심 사이의 거리로 바꾼다. 대칭성 때문에 네 바깥 원의 중심은 정사각형의 꼭짓점에 놓이고(도구 #17), 이는 한가운데에 직각을 만들어 준다. 그 직각삼각형이 도형을 미지수 $r$ 하나짜리 피타고라스 방정식으로 바꾼다(도구 #13, #4). 방정식을 풀어 정확한 값을 선택지에 맞추면 끝난다(도구 #3).

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1

각 접함을 거리로 바꾸기

가운데 원의 중심을 $O$라 하자.
바깥 원은 가운데 원과 바깥쪽에서 접하므로 $O$에서 그 바깥 중심까지의 거리는 두 반지름의 합 $1+r$이다.
이웃한 두 바깥 원도 접하므로 두 중심 사이의 거리는 $r+r=2r$이다.

$$O\text{에서 바깥 중심까지}=1+r,\qquad \text{이웃한 바깥 중심 사이}=2r$$

💡 두 원이 바깥쪽에서 접하면 두 중심 사이 거리는 두 반지름을 더한 값일 뿐이다.

#17 공간 상상하기 4.MD.C.5 단계 2

대칭성에서 직각 읽기

네 바깥 원은 $O$ 둘레에 똑같은 간격으로 놓여 있어, 그 중심들이 $O$를 한가운데에 둔 정사각형을 이룬다.
$O$를 중심으로 한 바깥 중심에서 다음 바깥 중심으로 이동하면 한 바퀴가 네 등분되므로, 이웃 사이의 각은 $360^\circ\div4=90^\circ$이다.
이웃한 두 중심 $P$, $Q$를 택하면 삼각형 $OPQ$는 $OP=OQ=1+r$, 변 $PQ=2r$이고 $O$에서 직각을 이룬다.

$$\angle POQ=\dfrac{360^\circ}{4}=90^\circ,\qquad OP=OQ=1+r,\qquad PQ=2r$$

💡 똑같은 간격의 네 원이 한 바퀴를 네 개의 같은 직각으로 나눈다.

#13 대수로 바꾸기 8.G.B.7 단계 3

피타고라스 정리 적용하기

삼각형 $OPQ$는 $O$에서 직각이므로 두 변 $OP$, $OQ$와 빗변 $PQ$는 $OP^2+OQ^2=PQ^2$를 만족한다.
$OP=OQ=1+r$, $PQ=2r$을 대입한다.

$$(1+r)^2+(1+r)^2=(2r)^2\ \Rightarrow\ 2(1+r)^2=4r^2$$

💡 직각삼각형에서 두 변의 제곱을 더하면 빗변의 제곱이 된다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 4

깔끔한 방정식으로 정리하기

양변을 $2$로 나누면 $(1+r)^2=2r^2$이다.
양변이 모두 양수이므로 양의 제곱근을 취하면 $1+r=r\sqrt{2}$이다.
$r$가 든 항을 한쪽으로 모으면 $1=r\sqrt{2}-r=r(\sqrt{2}-1)$이다.

$$(1+r)^2=2r^2\ \Rightarrow\ 1+r=r\sqrt{2}\ \Rightarrow\ 1=r(\sqrt{2}-1)$$

💡 $r$ 항을 한쪽으로 모으면 $r$에 대해 풀 수 있는 하나의 방정식이 남는다.

#3 가능성 지우기 8.EE.A.2 단계 5

풀고 분모를 유리화하기

$\sqrt{2}-1$로 나누면 $r=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}$이다.
분모의 근호를 없애기 위해 분자와 분모에 켤레 $\sqrt{2}+1$을 곱한다.
$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=2-1=1$이므로 $r=1+\sqrt{2}$가 되고, 이는 선택지 $\textbf{(B)}$이다.

$$r=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{1}=1+\sqrt{2}$$

💡 켤레를 곱하면 지저분한 분모가 $1$로 줄어드는 제곱의 차가 된다.

[1] #1 7.G.B.4 가운데 원의 중심을 $O$라 하자. 바깥 원은 가운데 원과 바깥쪽에서 접하므로 $O$에서 그 바깥 중심까지의 거리는 두 반지름의 합 $1+r$이

[2] #17 4.MD.C.5 네 바깥 원은 $O$ 둘레에 똑같은 간격으로 놓여 있어, 그 중심들이 $O$를 한가운데에 둔 정사각형을 이룬다. $O$를 중심으로 한 바깥 중심

[3] #13 8.G.B.7 삼각형 $OPQ$는 $O$에서 직각이므로 두 변 $OP$, $OQ$와 빗변 $PQ$는 $OP^2+OQ^2=PQ^2$를 만족한다. $OP=OQ=1

[4] #4 7.EE.B.4 양변을 $2$로 나누면 $(1+r)^2=2r^2$이다. 양변이 모두 양수이므로 양의 제곱근을 취하면 $1+r=r\sqrt{2}$이다. $r$가

[5] #3 8.EE.A.2 $\sqrt{2}-1$로 나누면 $r=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}$이다. 분모의 근호를 없애기 위해 분자와 분모에 켤레 $\sqrt{

검토

합리성 확인: $r=1+\sqrt{2}\approx2.414$를 확인하자. 그러면 $O$에서 바깥 중심까지는 $1+r\approx3.414$, 이웃한 중심 사이는 $2r\approx4.828$이다. 직각삼각형을 검사하면 $2\cdot(3.414)^2\approx23.3$, $(4.828)^2\approx23.3$으로 일치한다. 바깥 원은 단위 원보다 커야 하는데 $2.414>1$이니 맞다. 가까운 함정 $\sqrt{6}\approx2.449$는 비슷하지만 정확한 방정식을 만족하지 못하므로, 도형은 값을 $1+\sqrt{2}$, 즉 선택지 (B)로 확정한다.

대안 접근: 직각삼각형 대신 대각선을 바로 쓸 수도 있다. 마주 보는 두 바깥 중심과 $O$는 한 직선 위에 있으므로 가로지르는 거리는 $(1+r)+(1+r)=2+2r$이고, 이는 한 변이 $2r$인 정사각형의 대각선이다. 정사각형의 대각선은 변$\times\sqrt{2}$이므로 $2+2r=2r\sqrt{2}$, 즉 $1+r=r\sqrt{2}$가 되어 다시 $r=1+\sqrt{2}$를 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (원의 접함을 이용해 두 중심 사이 거리를 두 반지름의 합($1+r$, $2r$)으로 읽기.)
4.MD.C.5 Recognize angles as geometric shapes formed when two rays share an endpoint ($O$ 둘레의 한 바퀴를 네 개의 같은 $90^\circ$ 각으로 나눠 $O$에서의 직각 얻기.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (직각삼각형 $OPQ$에서 두 변 $OP=OQ=1+r$와 빗변 $PQ=2r$를 관계짓기.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities ($2(1+r)^2=4r^2$를 정리하고 항을 모아 $1=r(\sqrt{2}-1)$로 만들기.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions ($(1+r)^2=2r^2$의 제곱근을 취하고 $\tfrac{1}{\sqrt{2}-1}$을 $1+\sqrt{2}$로 유리화하기.)

⭐ 원들이 딱 맞닿게 놓이면 두 중심 사이 거리는 두 반지름의 합이다. 모든 접함을 그 거리로 바꾸면 그림이 방정식이 된다.