AMC 10 · 2007 · #18

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length
tangent-circlespythagorean-theoremsymmetry-argument convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
반지름 1인 원 하나를 반지름 r인 네 개의 원이 둘러싸고 있다. 바깥 원들은 각각 가운데 원에 접하고, 서로 이웃한 두 바깥 원끼리도 접한다. r를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\sqrt{2}$
(B)
$1+\sqrt{2}$
(C)
$\sqrt{6}$
(D)
3
(E)
$2+\sqrt{2}$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

이 문제는 그림이 전부이므로, 먼저 중심들을 그리고(도구 #1) 각 "접함"을 중심 사이의 거리로 바꾼다. 대칭성 때문에 네 바깥 원의 중심은 정사각형의 꼭짓점에 놓이고(도구 #17), 이는 한가운데에 직각을 만들어 준다. 그 직각삼각형이 도형을 미지수 r 하나짜리 피타고라스 방정식으로 바꾼다(도구 #13, #4). 방정식을 풀어 정확한 값을 선택지에 맞추면 끝난다(도구 #3).

1STEP 1

각 접함을 거리로 바꾸기

가운데 원의 중심을 O라 하면 O에서 바깥 중심까지는 1+r, 이웃한 두 바깥 중심 사이는 2r이다.

O에서 바깥 중심까지=1+r, 이웃한 바깥 중심 사이=2r
2STEP 2

대칭성에서 직각 읽기

중심들이 고르게 놓여 정사각형을 이루므로 O에서 이웃 P, Q가 이루는 각은 90°이고, OP=OQ=1+r, PQ=2r이다.

∠ POQ=360°/4=90°, OP=OQ=1+r, PQ=2r
3STEP 3

피타고라스 정리 적용하기

삼각형 OPQ는 O에서 직각이라 OP²+OQ²=PQ²이고, 두 길이를 대입하면 2(1+r)²=4r²이다.

(1+r)²+(1+r)²=(2r)² → 2(1+r)²=4r²
4STEP 4

깔끔한 방정식으로 정리하기

양변을 2로 나누면 (1+r)²=2r², 양의 제곱근을 취하면 1+r=r√(2), r 항을 모으면 1=r(√(2)-1)이다.

(1+r)²=2r² → 1+r=r√(2) → 1=r(√(2)-1)
5STEP 5

풀고 분모를 유리화하기

따라서 r=1/(√(2)-1)이고, 위아래에 √(2)+1을 곱하면 분모가 1이 되어 r=1+√(2), 즉 (B)이다.

r=1/(√(2)-1)=(√(2)+1)/(√(2)-1)(√(2)+1)=(√(2)+1)/1=1+√(2)
정답
1+√(2)
r=1+√(2)≈2.414를 확인하자. 그러면 O에서 바깥 중심까지는 1+r≈3.414, 이웃한 중심 사이는 2r≈4.828이다. 직각삼각형을 검사하면 2·(3.414)²≈23.3, (4.828)²≈23.3으로 일치한다. 바깥 원은 단위 원보다 커야 하는데 2.414 ＞ 1이니 맞다. 가까운 함정 √(6)≈2.449는 비슷하지만 정확한 방정식을 만족하지 못하므로, 도형은 값을 1+√(2), 즉 선택지 (B)로 확정한다.
💡핵심 정리

원들이 딱 맞닿게 놓이면 두 중심 사이 거리는 두 반지름의 합이다. 모든 접함을 그 거리로 바꾸면 그림이 방정식이 된다.

  • 각 접함을 거리로 바꾸기
  • 대칭성에서 직각 읽기
  • 피타고라스 정리 적용하기
  • 깔끔한 방정식으로 정리하기
  • 풀고 분모를 유리화하기

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