AMC 10 · 2007 · #20
학년 7 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"두 블록이 같은 행이나 열을 공유하지 않는다"는 규칙은 고른 3개의 블록이 서로 다른 3개의 행과 서로 다른 3개의 열에 놓인다는 뜻이다. 그러면 Tool #7(작은 문제로 쪼개기)로 세는 일을 서로 독립인 세 결정으로 나눌 수 있다: (1) 5개의 행 중 어느 3개를 쓸지, (2) 5개의 열 중 어느 3개를 쓸지, (3) 그 열들을 그 행들과 어떻게 짝지을지. Tool #2(빠짐없이 나열하기)로 각 작은 개수를 세고, Tool #16(관점 바꾸기)이 핵심 재구성이다 — 합법적인 블록 묶음을 직접 찾는 대신 행을 고르고, 열을 고르고, 짝짓는다.
행·열·짝짓기로 재구성
블록을 (행, 열)로 부른다. 블록 3개는 서로 다른 행 3개와 열 3개를 쓰므로 행 고르기·열 고르기·짝짓기로 나눈다.
각 블록은 한 행과 한 열이 교차하는 곳에 있으므로, 블록을 고르는 것은 사실 행과 열, 그리고 그것들이 교차하는 방식을 고르는 것이다.
7.SP.C.8Change Focus Count The Complement행을 고르는 방법 세기
5개 행 중 3개를 고르는 것은 뺄 2개를 고르는 것과 같고 그런 쌍은 10개다: 행 10가지, 열 10가지.
5개 중 쓸 3개를 고르는 것은 빼놓을 2개를 고르는 것과 같고, 쌍을 빼놓는 방법은 10가지뿐이다.
7.SP.C.8Make A Systematic List짝짓는 방법 세기
행과 열이 정해지면 고른 각 열에 행을 배정한다: 3 × 2 × 1 = 6가지 짝짓기이며 각각 다른 묶음이다.
서로 다른 3개의 행을 서로 다른 3개의 열에 나눠 주는 것은 3개를 순서대로 배열하는 것과 같아 6가지다.
7.SP.C.8Make A Systematic List세 개수를 곱하기
세 선택이 서로 독립이므로 곱한다: 10 × 10 × 6 = 600이며 모든 묶음을 정확히 한 번씩 센다.
한 선택이 다른 선택에 영향을 주지 않을 때, 전체 경우의 수는 각 개수의 곱이다.
한 선택이 다른 선택에 영향을 주지 않으면, 전체 가짓수는 각 개수를 곱한 것이다.
▸ 왜?
각 단계는 다른 단계와 상관없이 정해지므로, 모든 조합이 정확히 한 번씩 나타난다.
▸ 왜?
어느 행을 남길지 고르는 것은 어느 행을 뺄지 고르는 것과 같으므로, 개수가 겹쳐 세어지지 않는다.
고른 것들이 같은 행이나 열을 공유할 수 없을 때는 행을 고르고, 열을 고르고, 어떻게 줄 세울지 센 다음 — 세 개수를 서로 곱하면 된다.
- 행·열·짝짓기로 재구성
- 행을 고르는 방법 세기
- 짝짓는 방법 세기
- 세 개수를 곱하기