AMC 10 · 2007 · #20
학년 7 geometry-2d정사각형 블록 25개가 5×5 정사각형 모양으로 배열되어 있다. 어떤 두 블록도 같은 행이나 같은 열에 있지 않도록 이 집합에서 블록 3개를 고르는 서로 다른 방법은 몇 가지인가?
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AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $25$개의 정사각형 블록으로 이루어진 $5 \times 5$ 격자에서, 고른 두 블록이 같은 행이나 같은 열에 놓이지 않도록 블록 $3$개를 뽑는 방법이 몇 가지인지 세어라.
주어진 것: 블록은 $5 \times 5$ 정사각형을 이루므로 행이 $5$개, 열이 $5$개이다; 정확히 블록 $3$개를 고른다; 고른 두 블록은 같은 행이나 같은 열에 있으면 안 된다; 선택지: (A) $100$, (B) $125$, (C) $600$, (D) $2300$, (E) $3600$
구하는 것: 같은 행·같은 열 금지 규칙을 만족하는 서로 다른 $3$-블록 묶음의 개수
이해
문제 재정리: $25$개의 정사각형 블록으로 이루어진 $5 \times 5$ 격자에서, 고른 두 블록이 같은 행이나 같은 열에 놓이지 않도록 블록 $3$개를 뽑는 방법이 몇 가지인지 세어라.
주어진 것: 블록은 $5 \times 5$ 정사각형을 이루므로 행이 $5$개, 열이 $5$개이다; 정확히 블록 $3$개를 고른다; 고른 두 블록은 같은 행이나 같은 열에 있으면 안 된다; 선택지: (A) $100$, (B) $125$, (C) $600$, (D) $2300$, (E) $3600$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #16 관점 바꾸기
"두 블록이 같은 행이나 열을 공유하지 않는다"는 규칙은 고른 $3$개의 블록이 서로 다른 $3$개의 행과 서로 다른 $3$개의 열에 놓인다는 뜻이다. 그러면 Tool #7(작은 문제로 쪼개기)로 세는 일을 서로 독립인 세 결정으로 나눌 수 있다: (1) $5$개의 행 중 어느 $3$개를 쓸지, (2) $5$개의 열 중 어느 $3$개를 쓸지, (3) 그 열들을 그 행들과 어떻게 짝지을지. Tool #2(빠짐없이 나열하기)로 각 작은 개수를 세고, Tool #16(관점 바꾸기)이 핵심 재구성이다 — 합법적인 블록 묶음을 직접 찾는 대신 행을 고르고, 열을 고르고, 짝짓는다.
실행 — 정답: C
7.SP.C.8 단계 1 행·열·짝짓기로 재구성
- 블록은 (행, 열)로 이름 붙는다.
- 두 블록이 같은 행도, 같은 열도 공유하지 않으면 $3$개의 블록은 서로 다른 $3$개의 행과 서로 다른 $3$개의 열에 놓인다.
- 따라서 블록을 고르는 일은 세 가지 별개의 작업과 같다: 어느 $3$개의 행을 쓸지 고르고, 어느 $3$개의 열을 쓸지 고르고, 고른 열을 고른 행 중 어느 것과 짝지을지 정하기.
💡 각 블록은 한 행과 한 열이 교차하는 곳에 있으므로, 블록을 고르는 것은 사실 행과 열, 그리고 그것들이 교차하는 방식을 고르는 것이다.
7.SP.C.8 단계 2 행을 고르는 방법 세기
- $5$개의 행 중 쓸 $3$개를 고른다.
- 빼놓는 두 행으로 나열하면 $\{1,2\},\{1,3\},\ldots,\{4,5\}$ 가 모든 순서 없는 선택을 정확히 한 번씩 준다.
- 이런 쌍은 $10$개이므로 행을 고르는 방법은 $10$가지다.
- 열도 똑같이 $10$가지다.
💡 $5$개 중 쓸 $3$개를 고르는 것은 빼놓을 $2$개를 고르는 것과 같고, 쌍을 빼놓는 방법은 $10$가지뿐이다.
7.SP.C.8 단계 3 짝짓는 방법 세기
- 이제 $3$개의 행과 $3$개의 열이 정해졌다.
- 고른 $3$개의 열을 늘어놓고 각 열에 고른 $3$개의 행 중 하나를 배정한다.
- 첫 번째 열은 $3$개의 행 중 아무거나, 두 번째 열은 남은 $2$개 중 하나, 마지막 열은 자동으로 정해진다.
- 즉 $3 \times 2 \times 1 = 6$가지 짝짓기이며, 각각 서로 다른 합법적인 $3$-블록 묶음을 준다.
💡 서로 다른 $3$개의 행을 서로 다른 $3$개의 열에 나눠 주는 것은 $3$개를 순서대로 배열하는 것과 같아 $6$가지다.
4.OA.A.3 단계 4 세 개수를 곱하기
- 세 선택은 서로 독립이므로 곱한다: 행 $10$가지, 열 $10$가지, 짝짓기 $6$가지.
- 이렇게 하면 모든 합법적인 $3$-블록 묶음을 정확히 한 번씩 센다.
💡 한 선택이 다른 선택에 영향을 주지 않을 때, 전체 경우의 수는 각 개수의 곱이다.
7.SP.C.8 블록은 (행, 열)로 이름 붙는다. 두 블록이 같은 행도, 같은 열도 공유하지 않으면 $3$개의 블록은 서로 다른 $3$개의 행과 서로 다른 $ 7.SP.C.8 $5$개의 행 중 쓸 $3$개를 고른다. 빼놓는 두 행으로 나열하면 $\{1,2\},\{1,3\},\ldots,\{4,5\}$ 가 모든 순서 없 7.SP.C.8 이제 $3$개의 행과 $3$개의 열이 정해졌다. 고른 $3$개의 열을 늘어놓고 각 열에 고른 $3$개의 행 중 하나를 배정한다. 첫 번째 열은 4.OA.A.3 세 선택은 서로 독립이므로 곱한다: 행 $10$가지, 열 $10$가지, 짝짓기 $6$가지. 이렇게 하면 모든 합법적인 $3$-블록 묶음을 정확히 검토
합리성 확인: 정답 $600$은 규칙 없이 블록 $3$개를 고르는 총수 $\binom{25}{3} = 2300$보다 작아야 하는데 실제로 그렇다 — 행/열 규칙이 많은 묶음을 걸러내므로 $2300$보다 한참 작은 수가 예상되어 (D) $2300$과 (E) $3600$이 배제된다. 두 번째 독립 계산도 $600$을 확인해 준다: 블록을 하나씩 놓는다. 첫 블록은 $25$가지, 그 행과 열 전체를 막으므로 두 번째 블록에는 $16$개의 자리가 남고, 두 번째 블록은 세 번째에 $9$개의 자리를 남긴다. 즉 $25 \times 16 \times 9 = 3600$가지 순서 있는 방법이지만 묶음은 순서가 없으므로 $3! = 6$으로 나눈다: $3600 / 6 = 600$. 두 방법 모두 $600$을 주어 (C)와 일치한다.
대안 접근: Tool #16(관점 바꾸기)로 순차 배치 — 위 확인에 나온 방법이다: 순서 있는 배치 $25 \times 16 \times 9$를 순서를 없애기 위해 $3! = 6$으로 나누면 행과 열을 분리하지 않고도 곧바로 $600$을 얻는다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.8Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (블록 선택을 복합 선택(행, 그다음 열, 그다음 짝짓기)으로 재구성하고, 빠짐없는 나열로 행 선택 $\binom{5}{3}=10$가지, 열 선택 $10$가지, 짝짓기 $3!=6$가지를 셈.)4.OA.A.3Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (서로 독립인 세 개수를 곱셈으로 결합해 $10 \times 10 \times 6 = 600$을 구하고, $25 \times 16 \times 9 \div 6$으로 교차 검증함.)
⭐ 고른 것들이 같은 행이나 열을 공유할 수 없을 때는 행을 고르고, 열을 고르고, 어떻게 줄 세울지 센 다음 — 세 개수를 서로 곱하면 된다.
⭐ 고른 것들이 같은 행이나 열을 공유할 수 없을 때는 행을 고르고, 열을 고르고, 어떻게 줄 세울지 센 다음 — 세 개수를 서로 곱하면 된다.
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