AMC 10 · 2007 · #22

학년 7 arithmetic

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

expected-valueprobability-basiccasework systematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 참가자가 $1$ 부터 $4$ 까지의 수 중 하나를 고른다. 선택을 마친 후, 각 면이 $1$ 부터 $4$ 까지 번호가 매겨진 정사면체 주사위 두 개를 굴린다. 주사위를 굴린 뒤 고른 수가 정확히 한 주사위의 밑면에 나오면 참가자는 $1$ 달러를 딴다. 고른 수가 두 주사위 모두의 밑면에 나오면 $2$ 달러를 딴다. 고른 수가 어느 주사위의 밑면에도 나오지 않으면 $1$ 달러를 잃는다. 주사위를 한 번 굴릴 때 참가자의 기댓값(달러)은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-\frac{1}{8}$

(B)

$-\frac{1}{16}$

(C)

(D)

$\frac{1}{16}$

(E)

$\frac{1}{8}$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1$부터 $4$까지 중 한 숫자를 고릅니다. 각 면이 $1$~$4$인 공정한 정사면체 주사위 두 개를 굴리고, 각 주사위의 바닥에 오는 숫자를 결과로 봅니다. 고른 숫자가 한 주사위의 바닥에만 나오면 $\$1$을 얻고, 두 주사위의 바닥에 모두 나오면 $\$2$를 얻고, 어느 바닥에도 나오지 않으면 $\$1$을 잃습니다. 주사위 두 개를 한 번 굴릴 때의 기대 수익을 구하세요.

주어진 것: 굴리기 전에 $\{1,2,3,4\}$ 중 한 숫자를 고정해서 고른다; 공정한 정사면체 주사위 두 개를 굴리며, 각 바닥은 $1,2,3,4$가 나올 확률이 모두 같다; 보상: 정확히 한 바닥에 나오면 $+\$1$, 두 바닥 모두에 나오면 $+\$2$, 어느 바닥에도 없으면 $-\$1$; 선택지: (A) $-\frac{1}{8}$, (B) $-\frac{1}{16}$, (C) $0$, (D) $\frac{1}{16}$, (E) $\frac{1}{8}$

구하는 것: 주사위 두 개를 한 번 굴릴 때의 기대(평균) 달러 수익

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #8 단위 살펴보기

도구 #2 (빠짐없이 나열하기) — 각 주사위의 바닥은 $4$가지 숫자 중 하나이므로 두 주사위는 $4\times4=16$가지의 똑같이 가능한 바닥 쌍을 만든다. 이것을 나열하면 확률 공식을 다루는 대신 그냥 세기만 하면 된다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) — 세 가지 보상은 세 개의 서로 다른 경우(고른 숫자가 정확히 한 바닥에, 두 바닥 모두에, 어느 바닥에도)에 대응하므로 각 경우의 결과를 따로 센다. 도구 #8 (단위 살펴보기) — 답은 달러 단위이고, '기대 수익'은 평균 보상을 뜻하므로 각 경우의 달러 값에 그 확률을 곱해 더하면 단위가 끝까지 달러로 유지된다.

실행 — 정답: B

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 1

16가지 똑같은 결과 세우기

각 주사위의 바닥은 $1,2,3,4$가 나올 확률이 모두 같고 두 주사위는 독립이다.
그래서 하나의 결과는 (첫 번째 주사위 바닥, 두 번째 주사위 바닥) 순서쌍이며, 똑같이 가능한 쌍이 $4\times4=16$가지 있다.
고른 숫자를 하나로 고정하자 — 대칭성에 의해 어떤 숫자를 골라도 답이 같기 때문이다.
이제 모든 질문은 '$16$가지 쌍 중 몇 개에서 고른 숫자가 나타나는가?'로 바뀐다.

$$4\times4=16\text{가지 똑같이 가능한 결과}$$

💡 독립인 두 번의 4지선다가 셀 수 있는 $16$가지 똑같은 결과의 격자를 만든다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

'정확히 하나' 경우 세기

고른 숫자가 정확히 한 바닥에만 오는 경우는 서로 겹치지 않는 두 가지다: 첫 번째 주사위에는 오고 두 번째에는 안 오는 경우, 또는 두 번째에는 오고 첫 번째에는 안 오는 경우.
각 주사위는 고른 숫자를 $1$가지로, 다른 숫자를 $3$가지로 보여준다.
그래서 '첫째 예, 둘째 아니오'는 $1\times3=3$쌍, '첫째 아니오, 둘째 예'는 $3\times1=3$쌍이라서 합쳐 $3+3=6$쌍이다.
확률은 $\frac{6}{16}$이고 보상은 $+\$1$이다.

$$1\cdot3+3\cdot1=6\;\Rightarrow\;P=\tfrac{6}{16}$$

💡 정확히 한 번 맞으려면 한 주사위는 맞고 다른 하나는 빗나가야 하며, 어느 주사위가 그 역할을 할지 두 가지 방법이 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 3

'둘 다'와 '아무것도 아님' 세기

두 바닥 모두에 고른 숫자가 오는 경우는 $1\times1=1$가지뿐이라 확률 $\frac{1}{16}$, 보상 $+\$2$이다. 어느 바닥에도 오지 않는 경우는 각 주사위가 나머지 $3$개 숫자 중 하나를 보여줄 때이므로 $3\times3=9$가지, 확률 $\frac{9}{16}$, 보상 $-\$1$이다.
경우가 모두를 덮는지 확인하자: $6+1+9=16$, 모든 결과가 빠짐없이 세어졌다.

$$1\cdot1=1,\quad 3\cdot3=9,\quad 6+1+9=16$$

💡 둘 다 맞는 경우는 유일한 완전일치 쌍이고, 아무것도 아닌 경우는 두 주사위 모두 고른 숫자를 피하는 경우이며, 세 개수는 $16$가지를 모두 채워야 한다.

#8 단위 살펴보기 7.NS.A.3 단계 4

달러 보상의 평균 내기

기대 수익은 각 보상에 그 확률을 곱해 모두 더한 것이다.
모든 경우를 $16$ 위에 놓으면 $\frac{6}{16}$은 $+1$, $\frac{1}{16}$은 $+2$, $\frac{9}{16}$은 $-1$을 준다.
그래서 기대 수익은 $\frac{6(1)+1(2)+9(-1)}{16}=\frac{6+2-9}{16}=\frac{-1}{16}$이다.
한 번 굴릴 때 평균적으로 $\frac{1}{16}$달러를 잃을 것으로 기대되며, 이것이 선택지 (B)이다.

$$\dfrac{6(1)+1(2)+9(-1)}{16}=\dfrac{-1}{16}\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 각 달러 금액을 그것이 얼마나 자주 일어나는지로 가중하면 한 번 굴릴 때의 진짜 장기 평균이 나온다.

[1] #2 7.SP.C.7 각 주사위의 바닥은 $1,2,3,4$가 나올 확률이 모두 같고 두 주사위는 독립이다. 그래서 하나의 결과는 (첫 번째 주사위 바닥, 두 번째 주

[2] #7 7.SP.C.8 고른 숫자가 정확히 한 바닥에만 오는 경우는 서로 겹치지 않는 두 가지다: 첫 번째 주사위에는 오고 두 번째에는 안 오는 경우, 또는 두 번째에

[3] #7 7.SP.C.8 두 바닥 모두에 고른 숫자가 오는 경우는 $1\times1=1$가지뿐이라 확률 $\frac{1}{16}$, 보상 $+\$2$이다. 어느 바닥에도

[4] #8 7.NS.A.3 기대 수익은 각 보상에 그 확률을 곱해 모두 더한 것이다. 모든 경우를 $16$ 위에 놓으면 $\frac{6}{16}$은 $+1$, $\frac

검토

합리성 확인: 결과 $-\frac{1}{16}$은 작은 음수이며 이는 타당하다: $\$1$을 잃는 큰 확률 $\frac{9}{16}$이 이기는 합산 확률 $\frac{7}{16}$을 거의 상쇄해서, 이 게임은 플레이어에게 아주 살짝만 불리하다. 분자 $6+2-9=-1$은 아주 작은 음수라서 $0$ (C)과 양수 선택지 (D),(E)를 배제하고, $-\frac{2}{16}=-\frac{1}{8}$ (A)만큼 음수도 아니므로 (B)만 들어맞는다. 검산으로 전체 확률 $\frac{6+1+9}{16}=1$이 되어 어떤 결과도 빠지거나 이중으로 세지 않았음을 확인한다.

대안 접근: 주사위별 기댓값을 이용한다 (도구 #7). 한 주사위에서 고른 숫자가 바닥에 올 확률은 $\frac{1}{4}$이다. 맞은 주사위 수를 $X$라 하면 $X$는 $n=2, p=\frac14$인 이항분포를 따르며 $P(X=0)=\frac{9}{16}, P(X=1)=\frac{6}{16}, P(X=2)=\frac{1}{16}$이다. 각 경우의 보상 $-1, +1, +2$에 이 확률을 곱해 $E=\sum (\text{보상})\cdot P$을 계산하면 똑같이 $-\frac{1}{16}$이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 확률 모델을 만들어 사건의 확률을 구하기 (독립인 두 주사위를 16가지 똑같이 가능한 바닥 쌍으로 모델링하기.)
7.SP.C.8 정리된 목록, 표, 세기로 복합 사건의 확률 구하기 (정확히 하나 맞음, 둘 다 맞음, 하나도 안 맞음 각각의 결과 수 세기.)
7.NS.A.3 유리수의 사칙연산이 포함된 실생활 문제 해결하기 (보상(손실인 음수 포함)을 각 확률로 가중하여 기대 수익으로 합치기.)

⭐ 똑같이 가능한 $16$가지 바닥 쌍을 나열해 각 상금이 나오는 개수를 세고, 각 달러 금액에 그 확률을 곱해 더하면 된다 — 작은 음수 합은 이 게임이 살짝 주최 측에 유리함을 뜻한다.