AMC 10 · 2007 · #4
학년 8 geometry-2d점 O는 △ABC에 외접하는 원의 중심이며, 그림과 같이 ∠BOC=120∘이고 ∠AOB=140∘이다. ∠ABC?의 크기는 몇 도인가?
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AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $O$는 $\triangle ABC$의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원의 중심이다. 두 중심각이 주어져 있다: $\angle BOC=120^\circ$, $\angle AOB=140^\circ$. 삼각형의 $B$에서의 각 $\angle ABC$의 크기를 구하여라.
주어진 것: $O$는 $\triangle ABC$의 외심이므로 $OA$, $OB$, $OC$는 모두 같은 원의 반지름이다; $\angle BOC=120^\circ$; $\angle AOB=140^\circ$; 선택지: (A) $35$, (B) $40$, (C) $45$, (D) $50$, (E) $60$ 도
구하는 것: 꼭짓점 $B$에서의 삼각형 내각 $\angle ABC$의 도수
이해
문제 재정리: $O$는 $\triangle ABC$의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원의 중심이다. 두 중심각이 주어져 있다: $\angle BOC=120^\circ$, $\angle AOB=140^\circ$. 삼각형의 $B$에서의 각 $\angle ABC$의 크기를 구하여라.
주어진 것: $O$는 $\triangle ABC$의 외심이므로 $OA$, $OB$, $OC$는 모두 같은 원의 반지름이다; $\angle BOC=120^\circ$; $\angle AOB=140^\circ$; 선택지: (A) $35$, (B) $40$, (C) $45$, (D) $50$, (E) $60$ 도
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
중심 $O$가 세 꼭짓점 모두와 이어져 있으므로, 이 그림은 사실 점 $O$를 공유하는 세 삼각형 $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle AOC$이다. 도구 #1(그림 그리기)이 중요한 이유는 $OA$, $OB$, $OC$가 같은 반지름임을 표시해야 비로소 핵심 사실이 보이기 때문이다 — 그러면 세 삼각형이 모두 이등변삼각형이 된다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 $B$에서의 각을 $OB$로 갈라 이웃한 두 이등변삼각형에서 나오는 밑각 두 개로 나누고, 각각 구해 더한다.
실행 — 정답: D
4.MD.C.7 단계 1 세 번째 중심각 구하기
- 세 중심각 $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle AOC$는 꼭짓점 $O$를 공유하며 점 둘레를 한 바퀴 완전히 돌므로 합이 $360^\circ$이다.
- 알고 있는 두 각을 빼면 세 번째 각을 얻는다: $\angle AOC=360^\circ-140^\circ-120^\circ=100^\circ$.
💡 한 점에서 퍼져 나가 한 바퀴를 채우는 각들의 합은 언제나 $360^\circ$이다.
8.G.A.5 단계 2 삼각형 AOB의 밑각
- $O$가 외심이므로 $OA=OB$(둘 다 반지름)이고, 따라서 $\triangle AOB$는 꼭지가 $O$인 이등변삼각형이다.
- $A$와 $B$에 있는 두 밑각은 같다.
- 삼각형 세 각의 합이 $180^\circ$이므로 각 밑각은 $\dfrac{180^\circ-140^\circ}{2}=20^\circ$이다.
- 특히 $\angle OBA=20^\circ$.
💡 같은 반지름 두 개가 이등변삼각형을 만들고, 그 두 밑각은 반드시 같다.
8.G.A.5 단계 3 삼각형 BOC의 밑각
- $\triangle BOC$에도 같은 논리가 적용된다: $OB=OC$가 반지름이므로 이 삼각형도 이등변삼각형이고 꼭지각은 $\angle BOC=120^\circ$이다.
- 각 밑각은 $\dfrac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ$이므로 $\angle OBC=30^\circ$이다.
💡 꼭지각이 넓을수록 밑각에 남는 몫이 적으니, $120^\circ$ 꼭지는 밑각을 각각 $30^\circ$로 만든다.
7.G.B.5 단계 4 B에서 두 조각을 더하기
- 선분 $OB$는 $\angle ABC$ 안에 놓여 그 각을 방금 구한 두 밑각으로 나눈다: $\triangle AOB$에서 온 $\angle OBA$와 $\triangle BOC$에서 온 $\angle OBC$이다.
- 이들을 더하면 $\angle ABC=20^\circ+30^\circ=50^\circ$이다.
- 이것이 선택지 (D)이다.
- ($\angle AOC=100^\circ$는 여기서 쓰이지 않았지만, 그림이 모순 없이 맞물림을 확인해 준다.)
💡 $B$에서의 전체 각은 이웃한 두 부분을 더한 것일 뿐이다.
4.MD.C.7 세 중심각 $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle AOC$는 꼭짓점 $O$를 공유하며 점 둘레를 한 바퀴 완전히 돌므로 8.G.A.5 $O$가 외심이므로 $OA=OB$(둘 다 반지름)이고, 따라서 $\triangle AOB$는 꼭지가 $O$인 이등변삼각형이다. $A$와 $B$에 8.G.A.5 $\triangle BOC$에도 같은 논리가 적용된다: $OB=OC$가 반지름이므로 이 삼각형도 이등변삼각형이고 꼭지각은 $\angle BOC= 7.G.B.5 선분 $OB$는 $\angle ABC$ 안에 놓여 그 각을 방금 구한 두 밑각으로 나눈다: $\triangle AOB$에서 온 $\angle O 검토
합리성 확인: 각 밑각은 올바른 이등변삼각형에서 나왔다: $20^\circ+20^\circ+140^\circ=180^\circ$, $30^\circ+30^\circ+120^\circ=180^\circ$로 둘 다 맞는다. 답 $50^\circ$는 삼각형 내각으로 타당하며($0^\circ$과 $180^\circ$ 사이) 선택지 (D)와 일치한다. 전체 정합성 확인으로, $\triangle ABC$의 각 내각은 맞은편 중심각의 절반이다: $A$에서 $\tfrac{120}{2}=60^\circ$, $B$에서 $\tfrac{100}{2}=50^\circ$, $C$에서 $\tfrac{140}{2}=70^\circ$이고 $60+50+70=180^\circ$이다.
대안 접근: 원주각 정리를 바로 쓰는 방법도 있다. $\angle ABC$는 호 $AC$에 서 있는 원주각이고, 그 호는 중심각 $\angle AOC=100^\circ$가 잘라 낸다. 같은 호에 대한 원주각은 중심각의 절반이므로 $\angle ABC=\tfrac12\cdot100^\circ=50^\circ$로 한 번에 나온다. 위의 이등변삼각형 방법은 사실 '중심각의 절반'이라는 이 규칙이 왜 참인지를 보여 주는 것이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
4.MD.C.7각의 크기가 더해짐(가법성)을 이해하기 ($O$에서의 세 중심각을 한 바퀴 $360^\circ$로 더해 $\angle AOC=100^\circ$를 구함.)8.G.A.5비형식적 논증으로 삼각형의 내각 합에 관한 사실 확립하기 (이등변삼각형 $\triangle AOB$와 $\triangle BOC$ 안에서 $180^\circ$ 각의 합을 적용해 밑각 $20^\circ$와 $30^\circ$를 구함.)7.G.B.5이웃각 등 각의 관계를 이용해 미지의 각 구하기 ($OB$가 $\angle ABC$를 나눈 이웃한 밑각 $\angle OBA$와 $\angle OBC$를 합쳐 $\angle ABC=50^\circ$를 얻음.)
⭐ 중심에서 반지름을 그어 보라: 반지름은 모두 길이가 같아 각 삼각형이 이등변삼각형이 되고, 같은 밑각들을 이용해 원하는 각을 조각을 더해 만들 수 있다.
⭐ 중심에서 반지름을 그어 보라: 반지름은 모두 길이가 같아 각 삼각형이 이등변삼각형이 되고, 같은 밑각들을 이용해 원하는 각을 조각을 더해 만들 수 있다.
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