AMC 10 · 2007 · #4
학년 8 geometry-2d
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AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
중심 O가 세 꼭짓점 모두와 이어져 있으므로, 이 그림은 사실 점 O를 공유하는 세 삼각형 △ AOB, △ BOC, △ AOC이다. 도구 #1(그림 그리기)이 중요한 이유는 OA, OB, OC가 같은 반지름임을 표시해야 비로소 핵심 사실이 보이기 때문이다 — 그러면 세 삼각형이 모두 이등변삼각형이 된다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 B에서의 각을 OB로 갈라 이웃한 두 이등변삼각형에서 나오는 밑각 두 개로 나누고, 각각 구해 더한다.
세 번째 중심각 구하기
O에서의 세 중심각이 한 바퀴를 채우므로 ∠ AOC=360°-140°-120°=100°이다.
한 점에서 퍼져 나가 한 바퀴를 채우는 각들의 합은 언제나 360°이다.
한 점에서 퍼져 나가며 한 바퀴를 덮는 각들의 합은 언제나 온전한 한 바퀴다.
▸ 왜?
한 점 둘레를 한 바퀴 돌면 정해진 총량을 쓸어 가므로, 조각들의 합이 다른 값일 수 없다.
▸ 왜?
나란히 놓인 각은 더해지므로, 아는 각을 빼면 마지막 각이 남는다.
삼각형 AOB의 밑각
OA=OB가 반지름이라 △ AOB는 이등변삼각형이고 밑각이 같으므로 ∠ OBA=(180°-140°)/2=20°이다.
같은 반지름 두 개가 이등변삼각형을 만들고, 그 두 밑각은 반드시 같다.
8.G.A.5Identify Subproblems삼각형 BOC의 밑각
마찬가지로 OB=OC이므로 △ BOC도 꼭지각 120°인 이등변삼각형이고, ∠ OBC=(180°-120°)/2=30°이다.
꼭지각이 넓을수록 밑각에 남는 몫이 적으니, 120° 꼭지는 밑각을 각각 30°로 만든다.
8.G.A.5Identify SubproblemsB에서 두 조각을 더하기
OB가 ∠ ABC를 그 두 밑각으로 가르므로 ∠ ABC=20°+30°=50°, 즉 선택지 (D)이다.
B에서의 전체 각은 이웃한 두 부분을 더한 것일 뿐이다.
7.G.B.5Identify Subproblems중심에서 반지름을 그어 보라: 반지름은 모두 길이가 같아 각 삼각형이 이등변삼각형이 되고, 같은 밑각들을 이용해 원하는 각을 조각을 더해 만들 수 있다.
- 세 번째 중심각 구하기
- 삼각형 AOB의 밑각
- 삼각형 BOC의 밑각
- B에서 두 조각을 더하기