AMC 10 · 2007 · #7

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

equilateral-triangleangle-sum-triangleisosceles-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: angle-sum-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

볼록오각형 $ABCDE$ 의 모든 변의 길이가 같고, $\angle A= \angle B = 90^\circ$ 이다. $\angle E?$ 의 크기는 몇 도인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

108

(C)

120

(D)

144

(E)

150

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 볼록 오각형 $ABCDE$에서 다섯 변의 길이가 모두 같고, $A$와 $B$에서의 각이 모두 $90^\circ$이다. $E$에서의 각의 크기를 도(degree) 단위로 구하여라.

주어진 것: $ABCDE$는 볼록 오각형이고, 꼭짓점은 순서대로 놓여 있다; 다섯 변 $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EA$의 길이가 모두 같다; $\angle A = 90^\circ$이고 $\angle B = 90^\circ$이다; 선택지: (A) $90$, (B) $108$, (C) $120$, (D) $144$, (E) $150$

구하는 것: 꼭짓점 $E$에서의 내각 $\angle E$의 크기(도)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

각은 말로는 보기 어렵지만 그림으로는 쉽게 보이므로 도구 #1(그림 그리기)을 먼저 쓴다: $ABCDE$와 $A$, $B$의 두 직각을 그려 본다. 그 그림 속에 익숙한 두 도형이 숨어 있다 — 정사각형과 정삼각형이다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 마무리한다: $E$에서의 각은 하나의 각이 아니라 두 각이 겹쳐진 것(정사각형의 한 모서리 각 + 정삼각형의 한 각)이므로, 각 조각을 따로 구해서 더한다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 1

그려서 정사각형 찾기

변 $AB$를 바닥에 놓고 변의 길이를 $1$이라 하자.
$A$에서 각이 $90^\circ$이므로 변 $AE$는 $A$에서 곧장 위로 올라간다.
$B$에서도 각이 $90^\circ$이므로 변 $BC$는 $B$에서 같은 방향으로 곧장 위로 올라간다.
이제 $AE$와 $BC$는 둘 다 $AB$에 수직이고, 둘 다 길이가 $1$이며, 같은 방향을 향한다.
따라서 $A$, $B$, $C$, $E$는 한 변이 $1$인 정사각형 $ABCE$의 네 꼭짓점이 된다.

$$AB = BC = EA = 1,\quad AE \perp AB,\quad BC \perp AB$$

💡 같은 밑변 위에 직각으로 서 있는 같은 길이의 두 변은 정사각형으로 닫힌다.

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 2

정삼각형 알아채기

정사각형 $ABCE$에는 위쪽 두 꼭짓점을 잇는 네 번째 변 $CE$가 있고, 정사각형의 모든 변은 같으므로 $CE = 1$이다.
오각형의 남은 꼭짓점은 $D$이고, 변 $CD = DE = 1$이다.
따라서 삼각형 $CDE$는 세 변이 모두 $1$이다: $CD = DE = EC = 1$.
이는 정사각형 위에 얹힌 정삼각형이다.

$$EC = 1 = CD = DE \;\Rightarrow\; \triangle CDE \text{ 정삼각형}$$

💡 세 변의 길이가 모두 같으면 정삼각형밖에 될 수 없다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 3

정삼각형의 각은 각각 60도

어떤 삼각형이든 세 내각의 합은 $180^\circ$이다.
정삼각형은 세 각이 모두 같으므로 각 각은 $180^\circ \div 3 = 60^\circ$이다.
특히 이 삼각형의 $E$에서의 각, 즉 $\angle DEC$는 $60^\circ$이다.

$$\angle DEC = \dfrac{180^\circ}{3} = 60^\circ$$

💡 같은 변은 같은 각을 만들고, $180^\circ$를 똑같이 셋으로 나누면 각각 $60^\circ$이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.C.7 단계 4

E에서 두 조각을 더하기

오각형의 $E$에서의 각은 변 $ED$와 $EA$ 사이의 각 $\angle DEA$이다.
대각선 $EC$가 그 각 안에 놓여 각을 두 부분으로 나눈다: 정삼각형에서 온 $\angle DEC$와, 정사각형의 한 모서리 각인 $\angle CEA = 90^\circ$이다.
이 둘을 더하면 $\angle E = \angle DEC + \angle CEA = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ$이다.
이것이 선택지 (E)이다.
(A) $90$은 삼각형을 잊은 것이고, (C) $120$은 $60^\circ$을 두 배 한 것이며, (B) $108$은 정오각형의 각이다 — 변만 같고 각은 다른 이 도형에 놓인 함정이다.

$$\angle E = \angle DEC + \angle CEA = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 한 반직선을 공유하는 두 각은 파이 두 조각을 붙이듯 단순히 더하면 된다.

[1] #1 4.G.A.1 변 $AB$를 바닥에 놓고 변의 길이를 $1$이라 하자. $A$에서 각이 $90^\circ$이므로 변 $AE$는 $A$에서 곧장 위로 올라간다.

[2] #1 4.G.A.2 정사각형 $ABCE$에는 위쪽 두 꼭짓점을 잇는 네 번째 변 $CE$가 있고, 정사각형의 모든 변은 같으므로 $CE = 1$이다. 오각형의 남은

[3] #7 8.G.A.5 어떤 삼각형이든 세 내각의 합은 $180^\circ$이다. 정삼각형은 세 각이 모두 같으므로 각 각은 $180^\circ \div 3 = 60^

[4] #7 4.MD.C.7 오각형의 $E$에서의 각은 변 $ED$와 $EA$ 사이의 각 $\angle DEA$이다. 대각선 $EC$가 그 각 안에 놓여 각을 두 부분으로

검토

합리성 확인: 전체 합으로 확인해 보자: 어떤 오각형이든 내각의 합은 $540^\circ$이다. 여기서 $\angle A = \angle B = 90^\circ$이고, 도형의 좌우 대칭에 의해 $\angle C = \angle E$이며 $\angle D = \angle CDE = 60^\circ$(삼각형의 꼭대기)이다. 따라서 $90 + 90 + 60 + 2\angle E = 540$에서 $2\angle E = 300$, 즉 $\angle E = 150^\circ$로 답과 일치한다. 또한 $150^\circ < 180^\circ$이므로 볼록 조건을 만족하고, $90^\circ$보다 크다는 점도 변 $ED$가 수직보다 훨씬 더 기운 그림과 잘 맞는다.

대안 접근: 도형을 알아채는 대신 좌표를 쓸 수도 있다. $A=(0,0)$, $B=(1,0)$으로 두면 직각에서 $E=(0,1)$, $C=(1,1)$이고, $CE$ 위의 정삼각형 꼭대기로 $D=(\tfrac12, 1+\tfrac{\sqrt3}{2})$이다. 벡터 $EA=(0,-1)$은 $-90^\circ$ 방향, $ED=(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2})$은 $60^\circ$ 방향을 가리키므로 두 벡터 사이의 각은 $60^\circ-(-90^\circ)=150^\circ$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.1 Draw points, lines, line segments, rays, angles, and identify in figures ($A$와 $B$의 직각을 이용해 $AE$와 $BC$가 $AB$에 수직임을 알아내어 정사각형 $ABCE$를 만드는 데 사용.)
4.G.A.2 Classify two-dimensional figures based on presence of parallel or perpendicular lines (세 변 $CD$, $DE$, $EC$가 모두 공통 변의 길이 $1$과 같으므로 $\triangle CDE$를 정삼각형으로 분류하는 데 사용.)
8.G.A.5 Use informal arguments to establish facts about angle sum and exterior angles (삼각형의 내각 합 $180^\circ$을 이용해 정삼각형 $\triangle CDE$의 각 각이 $60^\circ$임을 결론짓는 데 사용.)
4.MD.C.7 Recognize angle measure as additive and solve addition and subtraction problems (정사각형의 모서리 각 $\angle CEA = 90^\circ$와 정삼각형의 $\angle DEC = 60^\circ$를 더해 $\angle E = 150^\circ$를 얻는 데 사용.)

⭐ 같은 길이의 변에 직각 두 개가 있으면 정사각형이 만들어지고, 남은 같은 변들은 정삼각형을 만들며, $E$에서의 각은 그 두 조각을 더한 것이다: $90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$.