경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 10 · 2007B · #7
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
각은 말로는 보기 어렵지만 그림으로는 쉽게 보이므로 도구 #1(그림 그리기)을 먼저 쓴다: ABCDE와 A, B의 두 직각을 그려 본다. 그 그림 속에 익숙한 두 도형이 숨어 있다 — 정사각형과 정삼각형이다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 마무리한다: E에서의 각은 하나의 각이 아니라 두 각이 겹쳐진 것(정사각형의 한 모서리 각 + 정삼각형의 한 각)이므로, 각 조각을 따로 구해서 더한다.
그려서 정사각형 찾기
AB를 바닥에 길이 1로 놓으면 A와 B의 90°가 AE와 BC를 나란히 세우므로 ABCE는 한 변이 1인 정사각형입니다.
같은 밑변 위에 직각으로 서 있는 같은 길이의 두 변은 정사각형으로 닫힌다.
4.G.A.1Draw A Diagram정삼각형 알아채기
정사각형이므로 CE = 1이고 오각형이므로 CD = DE = 1이니, 삼각형 CDE는 정삼각형입니다.
세 변의 길이가 모두 같으면 정삼각형밖에 될 수 없다.
4.G.A.2Draw A Diagram정삼각형의 각은 각각 60도
삼각형의 세 각의 합은 180°이고 여기서는 세 각이 모두 같으므로 ∠ DEC = 60°입니다.
같은 변은 같은 각을 만들고, 180°를 똑같이 셋으로 나누면 각각 60°이다.
변이 같으면 각도 같아지며, 평각을 나눠 가진 같은 세 각은 각각 60도다.
▸ 왜?
변과 그것을 마주하는 각은 짝을 이루므로, 세 변이 모두 같으면 세 각도 모두 같다.
▸ 왜?
세 각의 합은 언제나 평각이므로, 같은 세 각은 각각 그 3분의 1이다.
E에서 두 조각을 더하기
EC가 E의 각을 정사각형의 90°와 정삼각형의 60°로 나누므로 ∠ E = 150°, 즉 선택지 (E)입니다.
한 반직선을 공유하는 두 각은 파이 두 조각을 붙이듯 단순히 더하면 된다.
4.MD.C.7Identify Subproblems같은 길이의 변에 직각 두 개가 있으면 정사각형이 만들어지고, 남은 같은 변들은 정삼각형을 만들며, E에서의 각은 그 두 조각을 더한 것이다: 90° + 60° = 150°.
- 그려서 정사각형 찾기
- 정삼각형 알아채기
- 정삼각형의 각은 각각 60도
- E에서 두 조각을 더하기
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