경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2007B · #8

학년 7 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

digit-constraintsparitysystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: parity

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

다섯 자리 수의 각 자리가 bbcac 꼴이고, 자릿수들이 0 ≤ a ＜ b ＜ c ≤ 9를 만족하며 b가 a와 c의 평균이다. 이 모든 조건을 만족하는 서로 다른 다섯 자리 수가 몇 개인지 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

이 문제는 순수한 '몇 개' 세기 문제이므로 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)가 핵심 엔진이다: 문제의 진짜 자유도를 찾은 뒤 유효한 경우를 나열하며 센다. 도구 #4 (변수 도입하기)는 이미 a,b,c 로 주어져 있으니, 관건은 b = (a+c)/2를 셋을 서로 묶는 규칙으로 읽는 것이다. 도구 #16 (관점 바꾸기)이 결정적 수순이다: 세쌍 (a,b,c)를 찾는 대신, b 가 a 와 c 로 완전히 결정된다는 점을 알아채면 문제 전체가 허용되는 쌍 (a,c)를 세는 것으로 줄어든다 — 그리고 평균 조건이 조용히 a 와 c 의 홀짝을 같게 만든다.

1STEP 1

자릿수 꼴과 규칙 읽기

bbcac를 채우는 값은 a, b, c 셋뿐이고, 엄격히 증가하며 b는 a와 c의 평균이다. 꼴은 고정이라 고를 것은 자릿값뿐이다.

자릿수 = b b c a c, 0 ≤ a ＜ b ＜ c ≤ 9, b = (a+c)/2

2STEP 2

b 를 a 와 c 의 중점으로 보기

평균 (a+c)/2는 a와 c의 정확히 한가운데이므로 b는 중점이다. a와 c를 고르면 b는 저절로 정해진다.

b = (a+c)/2 ⟺ a+c = 2b

3STEP 3

중점이 a 와 c 의 홀짝을 같게 만든다

a + c = 2b는 짝수이고, 합이 짝수이려면 a와 c의 홀짝이 같아야 한다. 그러면 a ＜ b ＜ c와 b ≥ 1은 저절로 성립한다.

a + c = 2b 는 짝수 → a ≡ c (mod 2)

4STEP 4

관점 바꾸기: 유효한 쌍 (a, c)만 세기

b는 a와 c로 정해지므로, 전체 개수는 a ＜ c이면서 홀짝이 같은 쌍 (a, c)의 개수와 같다.

#{bbcac} = #{(a,c): a ＜ c, a≡ c (mod 2)}

5STEP 5

둘 다 짝수인 쌍 세기

짝수 0, 2, 4, 6, 8에서 작은 쪽을 차례로 고정하면 4+3+2+1 = 10쌍이 나온다.

4+3+2+1 = 10 개의 짝수 쌍

6STEP 6

둘 다 홀수인 쌍 세고 더하기

홀수 1, 3, 5, 7, 9도 똑같이 10쌍이므로 10 + 10 = 20개, 곧 (D)이다. 홀짝을 무시하면 함정 25가 나온다.

10 (짝수) + 10 (홀수) = 20 → (D)

정답

다른 방법으로 총합을 교차 확인한다: 0–9의 모든 숫자 중 a ＜ c인 쌍은 C(10, 2)=45개다. 각 쌍은 홀짝이 같거나(a+c 짝수) 홀짝이 다르다(a+c 홀수). 홀짝이 같은 쌍은 정확히 우리가 센 20개이고, 나머지 45-20=25개가 홀짝이 다른 쌍이다. 홀짝이 같은 쌍만 평균 b가 정수가 되므로 20이 맞다 — 그리고 남은 25는 바로 짝수 합 조건을 무시했을 때 빠지는 함정 선택지 (E)이다. 개수가 선택지 범위 안에 편안히 들어와 (D)를 확인해 준다.

💡핵심 정리

한 값이 다른 두 값의 평균이어야 할 때는 그 두 값의 합이 짝수여야 하므로, 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수다 — 그다음엔 쌍을 세기만 하면 된다.

자릿수 꼴과 규칙 읽기
b 를 a 와 c 의 중점으로 보기
중점이 a 와 c 의 홀짝을 같게 만든다
관점 바꾸기: 유효한 쌍 (a, c)만 세기
둘 다 짝수인 쌍 세기
둘 다 홀수인 쌍 세고 더하기

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