AMC 10 · 2007 · #8

학년 7 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

digit-constraintsparitysystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: parity

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

이 AMC10을 출제한 회의에서 집으로 돌아오는 길에, 대회 위원장은 자신의 공항 주차 영수증의 숫자가 $bbcac$ 꼴임을 알아차렸다. 여기서 $0 \le a < b < c \le 9$ 이고, $b$ 는 $a$ 와 $c$ 의 평균이었다. 이 모든 성질을 만족하는 서로 다른 다섯 자리 수는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다섯 자리 수의 각 자리가 $bbcac$ 꼴이고, 자릿수들이 $0 \le a < b < c \le 9$ 를 만족하며 $b$ 가 $a$ 와 $c$ 의 평균이다. 이 모든 조건을 만족하는 서로 다른 다섯 자리 수가 몇 개인지 세어라.

주어진 것: 수의 각 자리는 순서대로 $b,\,b,\,c,\,a,\,c$ — 즉 $bbcac$ 꼴이다; 세 자릿값은 엄격히 증가하는 관계 $0 \le a < b < c \le 9$ 를 만족한다; $b$ 는 $a$ 와 $c$ 의 평균이다, 즉 $b = \dfrac{a+c}{2}$; 선택지: (A) $12$, (B) $16$, (C) $18$, (D) $20$, (E) $25$

구하는 것: 모든 조건을 만족하는 서로 다른 다섯 자리 수 $bbcac$ 의 개수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #16 관점 바꾸기, #5 패턴 찾기

이 문제는 순수한 '몇 개' 세기 문제이므로 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)가 핵심 엔진이다: 문제의 진짜 자유도를 찾은 뒤 유효한 경우를 나열하며 센다. 도구 #4 (변수 도입하기)는 이미 $a,b,c$ 로 주어져 있으니, 관건은 $b = \tfrac{a+c}{2}$ 를 셋을 서로 묶는 규칙으로 읽는 것이다. 도구 #16 (관점 바꾸기)이 결정적 수순이다: 세쌍 $(a,b,c)$ 를 찾는 대신, $b$ 가 $a$ 와 $c$ 로 완전히 결정된다는 점을 알아채면 문제 전체가 허용되는 쌍 $(a,c)$ 를 세는 것으로 줄어든다 — 그리고 평균 조건이 조용히 $a$ 와 $c$ 의 홀짝을 같게 만든다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

자릿수 꼴과 규칙 읽기

영수증은 $bbcac$ 로 읽히므로 서로 다른 값은 $a$, $b$, $c$ 세 개뿐이다.
이들은 엄격히 증가해야 하고($a < b < c$), $b$ 는 $a$ 와 $c$ 의 평균이다.
따라서 문제 전체는 세 자릿값을 고르는 데 있고, 배열이 아니다 — 배열 $bbcac$ 는 이미 고정되어 있다.

$$\text{자릿수} = b\,b\,c\,a\,c,\quad 0 \le a < b < c \le 9,\quad b = \dfrac{a+c}{2}$$

💡 실제로 변하는 것에 이름을 붙여라 — 여기서는 세 자릿값뿐이고 그 주변 꼴은 결코 변하지 않는다.

#4 변수 도입하기 6.SP.A.3 단계 2

b 를 a 와 c 의 중점으로 보기

$a$ 와 $c$ 의 평균은 $\dfrac{a+c}{2}$ 로, 둘 사이 정확히 한가운데에 놓인 값이다.
그러므로 $b$ 는 $a$ 와 $c$ 의 중점에 고정된다.
즉 $b$ 는 자유로운 선택이 전혀 아니다: $a$ 와 $c$ 를 고르면 $b$ 는 강제로 정해진다.

$$b = \dfrac{a+c}{2}\ \Longleftrightarrow\ a+c = 2b$$

💡 두 수의 평균은 그 중점이므로, 양 끝을 알면 가운데가 정해진다.

#5 패턴 찾기 2.OA.C.3 단계 3

중점이 a 와 c 의 홀짝을 같게 만든다

$a + c = 2b$ 이므로 합 $a+c$ 는 짝수여야 한다.
두 정수의 합이 짝수가 되는 경우는 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수일 때뿐이므로, $a$ 와 $c$ 는 홀짝이 같아야 한다.
덤으로, $a < c$ 가 홀짝이 같을 때마다 중점 $b = \tfrac{a+c}{2}$ 는 둘 사이에 엄격히 놓인 한 자리 정수이므로 $a < b < c$ 는 저절로 성립하고 $b \ge 1$ 이다 — 매번 진짜 다섯 자리 수가 된다.

$$a + c = 2b \text{ 는 짝수} \ \Rightarrow\ a \equiv c \pmod 2$$

💡 두 수의 합이 짝수가 되는 것은 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수일 때뿐이다.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.8 단계 4

관점 바꾸기: 유효한 쌍 (a, c) 만 세기

$b$ 는 $a$ 와 $c$ 로 결정되고 $a<b<c$ 는 저절로 해결되므로, 전체 개수는 $a < c$ 이면서 홀짝이 같은 쌍 $(a,c)$ 의 개수와 같다.
따라서 숫자 $0$–$9$ 중 홀짝이 같은 쌍만 세면 된다: 먼저 짝수끼리, 그다음 홀수끼리.

$$\#\{bbcac\} = \#\{(a,c): a<c,\ a\equiv c \pmod 2\}$$

💡 한 값이 다른 값들로 강제될 때는 자유로운 선택만 세면 된다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 5

둘 다 짝수인 쌍 세기

짝수 숫자는 $0, 2, 4, 6, 8$ — 다섯 개다.
$a < c$ 인 쌍이 필요하다.
작은 숫자를 고정하면: $0$ 은 $\{2,4,6,8\}$ 과(4가지), $2$ 는 $\{4,6,8\}$ 과(3가지), $4$ 는 $\{6,8\}$ 과(2가지), $6$ 은 $\{8\}$ 과(1가지) 짝을 이룬다.
즉 $4+3+2+1 = 10$ 쌍이다.

$$4+3+2+1 = 10 \text{ 개의 짝수 쌍}$$

💡 쌍을 더 작은 원소 기준으로 나열하면 중복해서 세지 않는다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 6

둘 다 홀수인 쌍 세고 더하기

홀수 숫자는 $1, 3, 5, 7, 9$ — 역시 다섯 개이므로 똑같은 셈으로 $4+3+2+1 = 10$ 개의 홀수 쌍이 있다.
두 경우를 더하면 $10 + 10 = 20$ 쌍, 곧 $20$ 개의 유효한 수다.
이것이 선택지 (D)이다.
(홀짝 규칙을 잊고 서로 다른 홀짝의 쌍을 세면 함정 값 $25$ 가 나온다.)

$$10 \text{ (짝수)} + 10 \text{ (홀수)} = 20 \ \Rightarrow\ \textbf{(D)}$$

💡 두 홀짝 경우는 서로 겹치지 않으면서 모든 경우를 덮으므로, 개수를 그냥 더하면 된다.

[1] #4 6.EE.B.6 영수증은 $bbcac$ 로 읽히므로 서로 다른 값은 $a$, $b$, $c$ 세 개뿐이다. 이들은 엄격히 증가해야 하고($a < b < c$),

[2] #4 6.SP.A.3 $a$ 와 $c$ 의 평균은 $\dfrac{a+c}{2}$ 로, 둘 사이 정확히 한가운데에 놓인 값이다. 그러므로 $b$ 는 $a$ 와 $c$

[3] #5 2.OA.C.3 $a + c = 2b$ 이므로 합 $a+c$ 는 짝수여야 한다. 두 정수의 합이 짝수가 되는 경우는 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수일 때뿐이므로,

[4] #16 7.SP.C.8 $b$ 는 $a$ 와 $c$ 로 결정되고 $a<b<c$ 는 저절로 해결되므로, 전체 개수는 $a < c$ 이면서 홀짝이 같은 쌍 $(a,c)$

[5] #2 7.SP.C.8 짝수 숫자는 $0, 2, 4, 6, 8$ — 다섯 개다. $a < c$ 인 쌍이 필요하다. 작은 숫자를 고정하면: $0$ 은 ${2,4,6,8

[6] #2 7.SP.C.8 홀수 숫자는 $1, 3, 5, 7, 9$ — 역시 다섯 개이므로 똑같은 셈으로 $4+3+2+1 = 10$ 개의 홀수 쌍이 있다. 두 경우를 더하

검토

합리성 확인: 다른 방법으로 총합을 교차 확인한다: $0$–$9$ 의 모든 숫자 중 $a<c$ 인 쌍은 $\binom{10}{2}=45$ 개다. 각 쌍은 홀짝이 같거나($a+c$ 짝수) 홀짝이 다르다($a+c$ 홀수). 홀짝이 같은 쌍은 정확히 우리가 센 $20$ 개이고, 나머지 $45-20=25$ 개가 홀짝이 다른 쌍이다. 홀짝이 같은 쌍만 평균 $b$ 가 정수가 되므로 $20$ 이 맞다 — 그리고 남은 $25$ 는 바로 짝수 합 조건을 무시했을 때 빠지는 함정 선택지 (E)이다. 개수가 선택지 범위 안에 편안히 들어와 (D)를 확인해 준다.

대안 접근: 쌍 대신 $b$ 를 기준으로 돈다. 각 가운데 값 $b$ 에 대해, 등간격이므로 어떤 간격 $d \ge 1$ 에 대해 $a = b-d$, $c = b+d$ 이고 둘 다 숫자 $0$–$9$ 안에 있어야 한다. $b = 1$ 부터 $8$ 까지 허용되는 $d$ 의 개수를 세면 $1,2,3,4,4,3,2,1$ 이 되고, 이를 더하면 다시 $20$ 이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions when solving a problem (자릿수를 변수 $a,b,c$ 로 다루고, 규칙 $b=\tfrac{a+c}{2}$ 와 함께 꼴 $bbcac$ 를 읽기.)
6.SP.A.3 Recognize a measure of center (mean) for a data set ('$a$ 와 $c$ 의 평균'을 중점 $\tfrac{a+c}{2}$ 로 해석하여 $a+c=2b$ 를 얻기.)
2.OA.C.3 Determine whether a group has an odd or even number of members ($a+c$ 가 짝수라는 점에서 $a$ 와 $c$ 의 홀짝이 같아야 함을 결론짓기.)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and counting (홀짝이 같은 숫자 쌍 $(a,c)$ 를 빠짐없이 나열하고 세어 총 $20$ 에 도달하기.)

⭐ 한 값이 다른 두 값의 평균이어야 할 때는 그 두 값의 합이 짝수여야 하므로, 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수다 — 그다음엔 쌍을 세기만 하면 된다.