AMC 10 · 2014 · #17

학년 7 probability
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search
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📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
공정한 육면체 주사위 3개를 굴린다. 각 주사위는 1부터 6까지의 눈이 나온다. 두 주사위의 눈의 합이 나머지 한 주사위의 눈과 같을 확률을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\dfrac16$
(B)
$\dfrac{13}{72}$
(C)
$\dfrac7{36}$
(D)
$\dfrac5{24}$
(E)
$\dfrac29$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

각 주사위가 공정하고 독립이므로 6³ = 216가지의 순서 있는 결과가 모두 같은 확률을 가진다. 따라서 확률은 (유리한 경우)/216일 뿐이다. "두 주사위의 합이 나머지와 같다"라는 표현은 어느 두 개인지 말하지 않아 미끄럽다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 이를 고정한다. 어느 한 주사위를 '합' 역할로 정한 뒤, 나머지 두 개가 그 값에 맞게 더해지도록 요구한다. 그러면 문제가 똑같은 3개의 작은 문제로 갈라진다(도구 #7). 각 작은 문제 안의 세기는 깔끔한 도구 #2(빠짐없이 나열하기)다. 나머지 두 주사위가 각 도달 가능한 합을 이루는 순서쌍을 나열하면 1, 2, 3, 4, 5라는 정돈된 계단이 나온다.

1STEP 1

같은 확률의 모든 결과 세기

독립인 공정한 주사위 3개는 같은 확률의 순서 있는 결과 216가지를 만든다. 확률은 유리한 경우를 216으로 나눈 값이다.

6³ = 216
2STEP 2

어느 주사위가 합인지 정하기

뒤집어 생각한다. 세 주사위 중 합 역할을 고르는 방법이 3가지, 나머지 둘은 그 값에 맞춰 더해져야 한다.

합 주사위를 고르는 방법 3가지
3STEP 3

합 주사위 하나에 대해 두 주사위의 합 나열하기

합 주사위를 고정하면 합 2부터 6까지의 순서쌍 수는 1, 2, 3, 4, 5이고, 더하면 15가지다.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
4STEP 4

겹침 없이 세 경우 합치기

3가지 선택마다 15가지이므로 45가지다. 두 주사위가 동시에 합일 수는 없으니 겹침도 없다.

3 × 15 = 45
5STEP 5

확률 만들기

유리한 경우를 전체로 나눈 45216\frac{45}{216}에서 9를 약분하면 524\frac{5}{24}, 곧 선택지 (D)다.

45/216 = 5/24 → (D)
정답
5/24
확률 5/24 ≈ 0.208은 타당하다. "두 개의 합이 세 번째와 같다"는 가능하지만 흔하지는 않으므로 5분의 1쯤의 값이 어울린다. 다른 방법으로도 세기를 확인할 수 있다. a+b ≤ 6인 다중집합 {a, b, a+b}를 나열하고 각각을 배열 수로 가중한다. 서로 다른 여섯 경우는 각각 6가지(36)이고, 두 값이 겹치는 세 경우({1,1,2}, {2,2,4}, {3,3,6})는 각각 3가지(9)여서 다시 45가 된다. 오답에 가까운 값들은 실수에서 나온다. 어느 주사위가 합인지에 대한 3배를 빠뜨리면 15/216 = 5/72가 되고, 계단을 잘못 더하면 (B) 13/72나 (C) 7/36에 이른다.
💡핵심 정리

어느 주사위가 합인지 정하고, 나머지 두 개의 순서쌍을 세면(1+2+3+4+5 = 15), 주사위 3개니까 45, 216으로 나누면 5/24다.

  • 같은 확률의 모든 결과 세기
  • 어느 주사위가 합인지 정하기
  • 합 주사위 하나에 대해 두 주사위의 합 나열하기
  • 겹침 없이 세 경우 합치기
  • 확률 만들기

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