AMC 10 · 2014 · #17

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

probability-basicsystematic-enumeration systematic-enumerationcomplementary-countingcasework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

공정한 정육면체 주사위 세 개를 던진다. 세 주사위 중 두 개에 나온 값의 합이 나머지 한 주사위에 나온 값과 같을 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac16$

(B)

$\dfrac{13}{72}$

(C)

$\dfrac7{36}$

(D)

$\dfrac5{24}$

(E)

$\dfrac29$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 공정한 육면체 주사위 3개를 굴린다. 그 중 두 주사위의 눈의 합이 나머지 한 주사위의 눈과 같을 확률을 구하라.

주어진 것: 공정한 육면체 주사위 3개를 굴리며, 각 주사위는 1부터 6까지의 값을 서로 독립적으로 보여준다; 어떤 두 주사위의 눈의 합이 나머지 한 주사위의 눈과 같은 사건을 구한다; 선택지: (A) 1/6, (B) 13/72, (C) 7/36, (D) 5/24, (E) 2/9

구하는 것: 두 주사위의 합이 세 번째 주사위와 같을 확률

이해

문제 재정리: 공정한 육면체 주사위 3개를 굴린다. 그 중 두 주사위의 눈의 합이 나머지 한 주사위의 눈과 같을 확률을 구하라.

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기

각 주사위가 공정하고 독립이므로 $6^3 = 216$가지의 순서 있는 결과가 모두 같은 확률을 가진다. 따라서 확률은 (유리한 경우)$/216$일 뿐이다. "두 주사위의 합이 나머지와 같다"라는 표현은 어느 두 개인지 말하지 않아 미끄럽다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 이를 고정한다. 어느 한 주사위를 '합' 역할로 정한 뒤, 나머지 두 개가 그 값에 맞게 더해지도록 요구한다. 그러면 문제가 똑같은 3개의 작은 문제로 갈라진다(도구 #7). 각 작은 문제 안의 세기는 깔끔한 도구 #2(빠짐없이 나열하기)다. 나머지 두 주사위가 각 도달 가능한 합을 이루는 순서쌍을 나열하면 $1, 2, 3, 4, 5$라는 정돈된 계단이 나온다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 1

같은 확률의 모든 결과 세기

각 주사위는 공정하고 1부터 6까지 독립적으로 나오므로, 세 눈을 순서대로 적으면 $6 \times 6 \times 6 = 216$가지의 같은 확률을 갖는 순서 있는 결과가 생긴다.
모든 결과의 확률이 같으므로 확률은 유리한 경우의 수를 216으로 나눈 값이다.
이제 할 일은 한 주사위가 나머지 두 주사위의 합과 같은 경우를 세는 것이다.

$$6^3 = 216$$

💡 모든 결과의 확률이 같으면 확률은 곧 세기다. 유리한 경우를 전체로 나누면 된다.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.8 단계 2

어느 주사위가 합인지 정하기

"나머지와 같아지는 어떤 두 개"를 찾는 대신 뒤집어 생각한다.
먼저 세 주사위 중 어느 하나를 '합' 역할로 고른 뒤, 나머지 두 개가 그 값에 맞게 더해지도록 한다.
합이 되는 주사위를 고르는 방법은 3가지다.
합 주사위를 하나 고정하면, 나머지 두 주사위는 그 합 주사위가 보이는 값이 되도록 더해져야 한다.
이 관점 바꾸기가 흐릿한 조건 하나를 똑같은 3개의 명확한 작은 문제로 바꾼다.

$$\text{합 주사위를 고르는 방법 } 3\text{가지}$$

💡 어느 주사위가 합인지 이름 붙이면 막연한 '어떤 두 개'가 겨냥할 구체적 목표로 바뀐다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

합 주사위 하나에 대해 두 주사위의 합 나열하기

합 주사위를 고정한다.
나머지 두 주사위를 순서대로 읽었을 때, 그 합은 합 주사위가 실제로 보일 수 있는 값, 즉 2부터 6까지가 되어야 한다.
$a+b = s$인 순서쌍 $(a,b)$를 센다.
$s=2$이면 $1$가지($1{+}1$), $s=3$이면 $2$가지, $s=4$이면 $3$가지, $s=5$이면 $4$가지, $s=6$이면 $5$가지다.
이런 쌍 하나하나가 합 주사위를 $s$로 못박으며, 이는 정당한 눈이다.
계단을 더하면 합 주사위를 고르는 각 방법마다 $1+2+3+4+5 = 15$가지의 순서 있는 결과가 나온다.

$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$

💡 목표 값에 더해지는 순서쌍은 1, 2, 3, 4, 5로 줄지어 더하기 쉬운 계단을 이룬다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 4

겹침 없이 세 경우 합치기

합 주사위를 고르는 3가지 방법 각각이 15가지 결과를 주므로 $3 \times 15 = 45$다.
이 45가지는 절대 겹치지 않는다.
한 주사위가 나머지 두 개의 합과 같으면서 동시에 다른 주사위도 나머지 두 개의 합과 같다면, 두 식을 빼서 어떤 주사위가 0이 되어야 하는데 이는 어떤 눈으로도 불가능하다.
따라서 45가지 유리한 순서 있는 결과는 모두 서로 다르며 그대로 더할 수 있다.

$$3 \times 15 = 45$$

💡 두 주사위가 동시에 나머지의 합이 될 수는 없으므로 세 경우는 서로 떨어져 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.3 단계 5

확률 만들기

유리한 경우를 전체 경우로 나눈다.
$45 / 216$이다.
둘 다 9라는 인수를 가지므로 $45/216 = 5/24$다.
이는 선택지 (D)와 일치하므로 답은 (D)다.

$$\dfrac{45}{216} = \dfrac{5}{24} \Rightarrow \textbf{(D)}$$

💡 유리한 경우의 수를 전체 경우의 수로 한 번 나눈 뒤 분수를 약분한다.

[1] #2 7.SP.C.7 각 주사위는 공정하고 1부터 6까지 독립적으로 나오므로, 세 눈을 순서대로 적으면 $6 \times 6 \times 6 = 216$가지의 같은

[2] #16 7.SP.C.8 "나머지와 같아지는 어떤 두 개"를 찾는 대신 뒤집어 생각한다. 먼저 세 주사위 중 어느 하나를 '합' 역할로 고른 뒤, 나머지 두 개가 그 값

[3] #2 7.SP.C.8 합 주사위를 고정한다. 나머지 두 주사위를 순서대로 읽었을 때, 그 합은 합 주사위가 실제로 보일 수 있는 값, 즉 2부터 6까지가 되어야 한다

[4] #7 7.SP.C.8 합 주사위를 고르는 3가지 방법 각각이 15가지 결과를 주므로 $3 \times 15 = 45$다. 이 45가지는 절대 겹치지 않는다. 한 주사

[5] #7 7.NS.A.3 유리한 경우를 전체 경우로 나눈다. $45 / 216$이다. 둘 다 9라는 인수를 가지므로 $45/216 = 5/24$다. 이는 선택지 (D)와

검토

합리성 확인: 확률 $\tfrac{5}{24} \approx 0.208$은 타당하다. "두 개의 합이 세 번째와 같다"는 가능하지만 흔하지는 않으므로 5분의 1쯤의 값이 어울린다. 다른 방법으로도 세기를 확인할 수 있다. $a{+}b \le 6$인 다중집합 $\{a, b, a{+}b\}$를 나열하고 각각을 배열 수로 가중한다. 서로 다른 여섯 경우는 각각 $6$가지($36$)이고, 두 값이 겹치는 세 경우($\{1,1,2\}, \{2,2,4\}, \{3,3,6\}$)는 각각 $3$가지($9$)여서 다시 $45$가 된다. 오답에 가까운 값들은 실수에서 나온다. 어느 주사위가 합인지에 대한 3배를 빠뜨리면 $15/216 = 5/72$가 되고, 계단을 잘못 더하면 (B) $\tfrac{13}{72}$나 (C) $\tfrac{7}{36}$에 이른다.

대안 접근: 순서를 무시하고 세는 방법도 있다. $c = a + b$이고 $c \le 6$인 다중집합 $\{a, b, c\}$를 모두 나열한다: $\{1,1,2\}, \{1,2,3\}, \{1,3,4\}, \{1,4,5\}, \{1,5,6\}, \{2,2,4\}, \{2,3,5\}, \{2,4,6\}, \{3,3,6\}$. 각각을 만들 수 있는 순서 있는 굴림 수로 가중하면(모두 다르면 $6$, 두 눈이 같으면 $3$) 합이 $45$가 되고, 이를 $216$으로 나누면 $\tfrac{5}{24}$가 된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 확률 모델을 세우고 이를 이용해 사건의 확률 구하기 (216가지 순서 있는 주사위 결과를 모두 같은 확률로 다루어 확률이 유리한 경우의 수를 216으로 나눈 값이 되도록 함.)
7.SP.C.8 정리된 목록, 표, 시뮬레이션을 이용해 복합 사건의 확률 구하기 (어느 주사위가 합인지 고르고, 각 도달 가능한 값을 이루는 순서쌍을 나열하며, 겹침 없이 세 경우를 합침.)
7.NS.A.3 유리수의 사칙연산을 포함한 실생활 문제 해결하기 (45를 216으로 나누고 약분하여 최종 확률 5/24를 만듦.)

⭐ 어느 주사위가 합인지 정하고, 나머지 두 개의 순서쌍을 세면(1+2+3+4+5 = 15), 주사위 3개니까 45, 216으로 나누면 5/24다.