AMC 10 · 2008 · #14

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

ratio-proportionpythagorean-theoremarea-rectangles convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

텔레비전 화면은 가로세로 비가 4:3이고 대각선이 27인치이다. 가로세로 비가 2:1인 영화를 화면 가로를 꽉 채워 보여 주면, 위와 아래에 높이가 같은 어두운 띠 두 개가 남는다. 띠 하나의 높이가 몇 인치인지 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 2$

(B)

$\ 2.25$

(C)

$\ 2.5$

(D)

$\ 2.7$

(E)

$\ 3$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

4:3과 2:1이라는 비는 모양은 정하지만 실제 크기는 정하지 않는다. 그래서 도구 #4(변수 도입하기)로 배율 k 하나를 정해 모든 길이를 k로 나타낸다. 그림(도구 #1)을 보면 가로, 세로, 대각선이 직각삼각형을 이루므로 27이라는 한 숫자가 k에 대한 식이 된다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 목표를 화면 크기 구하기, 영화 높이 구하기, 남은 높이를 반으로 나누기의 순서로 잇는다.

1STEP 1

변수 하나로 화면 크기 나타내기

비가 4:3이므로 양수 배율 k에 대해 화면은 가로 4k, 세로 3k이다.

가로 = 4k, 세로 = 3k

2STEP 2

대각선으로 k 구하기

피타고라스 정리로 (4k)² + (3k)² = 25k²이니 대각선은 5k이다. 5k = 27에서 k = 5.4이다.

(4k)² + (3k)² = 25k² → 5k = 27 → k = 5.4

3STEP 3

화면의 가로와 세로 구하기

k = 5.4를 대입하면 화면은 가로 21.6인치, 세로 16.2인치이다.

가로 = 21.6, 세로 = 16.2

4STEP 4

영화의 높이 구하기

영화도 가로가 21.6인치이고 2:1 모양은 높이가 가로의 절반이므로 높이는 10.8인치이다.

영화 높이 = 21.6/2 = 10.8

5STEP 5

남은 높이를 둘로 나누기

어두운 부분은 모두 16.2 - 10.8 = 5.4인치이고 두 띠가 반씩 나누니 하나는 2.7인치, 답은 (D)이다.

띠 하나 = (16.2 - 10.8)/2 = 5.4/2 = 2.7 → (D)

정답

2.7

띠 높이 2.7은 16.2인치 화면에 비해 작아, 세로로 긴 영화를 감싸는 얇은 두 띠와 잘 맞는다. 합을 확인하면 띠 두 개 2.7에 영화 10.8을 더해 2.7 + 10.8 + 2.7 = 16.2로 화면 높이와 정확히 같다. 그림의 띠는 0에서 2.7까지, 그리고 13.5에서 16.2까지로 각각 높이 2.7이라 (D)를 확인해 준다.

💡핵심 정리

4:3 화면은 3-4-5 삼각형을 확대한 것이라 대각선 27인치면 세로가 16.2가 되고, 높이 10.8인 영화가 남긴 어둠 5.4가 2.7인치 띠 두 개로 나뉜다.

변수 하나로 화면 크기 나타내기
대각선으로 k 구하기
화면의 가로와 세로 구하기
영화의 높이 구하기
남은 높이를 둘로 나누기

변수 하나로 화면 크기 나타내기

대각선으로 k 구하기

화면의 가로와 세로 구하기

영화의 높이 구하기

남은 높이를 둘로 나누기

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