AMC 10 · 2008 · #14

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

ratio-proportionpythagorean-theoremarea-rectangles convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

옛날 텔레비전 화면의 화면비는 $4: 3$ 이다. 즉, 가로와 세로의 비가 $4: 3$ 이다. 많은 영화의 화면비는 $4: 3$ 이 아니어서, 때때로 그림과 같이 "레터박스" 방식으로 텔레비전 화면에 상영된다. 즉, 화면의 위와 아래에 같은 높이의 띠를 어둡게 처리한다. 어떤 영화의 화면비가 $2: 1$ 이고, 대각선의 길이가 $27$ 인치인 옛날 텔레비전 화면에 상영된다고 하자. 어둡게 처리된 각 띠의 높이는 몇 인치인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 2$

(B)

$\ 2.25$

(C)

$\ 2.5$

(D)

$\ 2.7$

(E)

$\ 3$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 텔레비전 화면은 가로세로 비가 $4:3$이고 대각선이 $27$인치이다. 가로세로 비가 $2:1$인 영화를 화면 가로를 꽉 채워 보여 주면, 위와 아래에 높이가 같은 어두운 띠 두 개가 남는다. 띠 하나의 높이를 구하라.

주어진 것: 화면의 가로세로 비는 $4:3$이다; 화면의 대각선은 $27$인치이다; 영화의 가로세로 비는 $2:1$이다; 영화가 화면 가로를 꽉 채우고, 남는 어두운 부분은 위아래 같은 높이의 띠 두 개로 나뉜다; 보기: (A) $2$, (B) $2.25$, (C) $2.5$, (D) $2.7$, (E) $3$

구하는 것: 어두운 띠 하나의 높이(인치)

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

$4:3$과 $2:1$이라는 비는 모양은 정하지만 실제 크기는 정하지 않는다. 그래서 도구 #4(변수 도입하기)로 배율 $k$ 하나를 정해 모든 길이를 $k$로 나타낸다. 그림(도구 #1)을 보면 가로, 세로, 대각선이 직각삼각형을 이루므로 $27$이라는 한 숫자가 $k$에 대한 식이 된다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 목표를 화면 크기 구하기, 영화 높이 구하기, 남은 높이를 반으로 나누기의 순서로 잇는다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 1

변수 하나로 화면 크기 나타내기

가로와 세로의 비가 $4:3$이므로, 양수 $k$를 써서 가로를 $4k$, 세로를 $3k$로 둔다.
같은 $k$를 쓰면 $k$가 무엇이든 비는 정확히 $4:3$으로 유지된다.

$$\text{가로} = 4k, \quad \text{세로} = 3k$$

💡 배율 하나에 비의 숫자를 곱하면 실제 길이가 모두 살아나면서 모양은 그대로 고정된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

대각선으로 k 구하기

직사각형의 가로, 세로, 대각선은 직각삼각형을 이루므로 피타고라스 정리에 의해 $(4k)^2 + (3k)^2 = 27^2$이다.
즉 $16k^2 + 9k^2 = 25k^2$이므로 대각선은 $\sqrt{25k^2} = 5k$이다.
$5k = 27$에서 $k = 5.4$를 얻는다.

$$(4k)^2 + (3k)^2 = 25k^2 \Rightarrow 5k = 27 \Rightarrow k = 5.4$$

💡 $4:3$ 직사각형은 $3\text{-}4\text{-}5$ 삼각형을 확대한 것이라, 대각선은 항상 같은 단위로 $5$가 된다.

#4 변수 도입하기 5.NBT.B.7 단계 3

화면의 가로와 세로 구하기

$k = 5.4$를 다시 대입한다.
가로는 $4k = 4 \times 5.4 = 21.6$인치, 세로는 $3k = 3 \times 5.4 = 16.2$인치이다.
이는 화면이 가로 $21.6$, 세로 $16.2$로 그려진 그림과 일치한다.

$$\text{가로} = 21.6, \quad \text{세로} = 16.2$$

💡 배율에 비의 각 숫자를 곱하면 실제 치수가 나온다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 4

영화의 높이 구하기

영화는 가로를 꽉 채우므로 영화의 가로도 $21.6$인치이다.
비가 $2:1$이므로 가로가 높이의 두 배, 즉 높이는 가로의 절반이다: $21.6 \div 2 = 10.8$인치.

$$\text{영화 높이} = \tfrac{21.6}{2} = 10.8$$

💡 $2:1$ 모양은 높이보다 가로가 딱 두 배이므로 높이는 가로의 절반이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.7 단계 5

남은 높이를 둘로 나누기

영화 높이는 $10.8$인치이고 화면 높이는 $16.2$인치이므로 어두운 부분은 모두 $16.2 - 10.8 = 5.4$인치이다.
이 남은 높이를 위아래 띠가 똑같이 나눠 가지므로 띠 하나는 $5.4 \div 2 = 2.7$인치이다.
따라서 답은 (D)이다.

$$\text{띠 하나} = \tfrac{16.2 - 10.8}{2} = \tfrac{5.4}{2} = 2.7 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 영화가 쓰지 않은 높이는 모두 어둡고, 같은 두 띠가 그것을 절반씩 나눠 갖는다.

[1] #4 6.RP.A.3 가로와 세로의 비가 $4:3$이므로, 양수 $k$를 써서 가로를 $4k$, 세로를 $3k$로 둔다. 같은 $k$를 쓰면 $k$가 무엇이든 비는

[2] #7 8.G.B.7 직사각형의 가로, 세로, 대각선은 직각삼각형을 이루므로 피타고라스 정리에 의해 $(4k)^2 + (3k)^2 = 27^2$이다. 즉 $16k^2

[3] #4 5.NBT.B.7 $k = 5.4$를 다시 대입한다. 가로는 $4k = 4 \times 5.4 = 21.6$인치, 세로는 $3k = 3 \times 5.4 = 1

[4] #7 6.RP.A.3 영화는 가로를 꽉 채우므로 영화의 가로도 $21.6$인치이다. 비가 $2:1$이므로 가로가 높이의 두 배, 즉 높이는 가로의 절반이다: $21.

[5] #7 5.NBT.B.7 영화 높이는 $10.8$인치이고 화면 높이는 $16.2$인치이므로 어두운 부분은 모두 $16.2 - 10.8 = 5.4$인치이다. 이 남은 높이

검토

합리성 확인: 띠 높이 $2.7$은 $16.2$인치 화면에 비해 작아, 세로로 긴 영화를 감싸는 얇은 두 띠와 잘 맞는다. 합을 확인하면 띠 두 개 $2.7$에 영화 $10.8$을 더해 $2.7 + 10.8 + 2.7 = 16.2$로 화면 높이와 정확히 같다. 그림의 띠는 $0$에서 $2.7$까지, 그리고 $13.5$에서 $16.2$까지로 각각 높이 $2.7$이라 (D)를 확인해 준다.

대안 접근: $k$를 구하지 않고 비만으로 풀 수도 있다. 세로와 가로의 비가 $3:4$이므로 세로 $= \tfrac{3}{4}\times$가로이고, 영화 높이는 $\tfrac{1}{2}\times$가로이다. 둘의 차이는 $\left(\tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{2}\right)\times$가로 $= \tfrac{1}{4}\times$가로이고, 띠 하나는 그 절반인 $\tfrac{1}{8}\times$가로이다. 가로 $= \tfrac{4}{5}\times 27 = 21.6$이므로 띠 하나 $= \tfrac{21.6}{8} = 2.7$, 역시 (D)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.RP.A.3 비와 비율로 실생활 문제 해결하기 ($4:3$과 $2:1$ 비를 실제 길이로 바꾸고, 영화 높이를 가로의 절반으로 구하는 데 사용.)
8.G.B.7 직각삼각형에서 피타고라스 정리로 변의 길이 구하기 ($4k$ 가로, $3k$ 세로, $27$인치 대각선을 연결해 $5k = 27$로 배율을 구하는 데 사용.)
5.NBT.B.7 소수를 소수 둘째 자리까지 더하고 빼고 곱하고 나누기 ($4\times5.4$, $3\times5.4$, $21.6\div2$, $(16.2-10.8)\div2$를 계산해 $2.7$에 도달하는 데 사용.)

⭐ $4:3$ 화면은 $3\text{-}4\text{-}5$ 삼각형을 확대한 것이라 대각선 $27$인치면 세로가 $16.2$가 되고, 높이 $10.8$인 영화가 남긴 어둠 $5.4$가 $2.7$인치 띠 두 개로 나뉜다.