AMC 10 · 2008 · #17

학년 7 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid
area-rectanglescircular-sectorarea-circles identify-subproblemsphysical-representation ↑ 선수 지식: area-circles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
한 변의 길이가 6인 정삼각형이 있습니다. 삼각형 바깥에 있으면서, 삼각형 위의 어떤 점과의 거리가 3 이하인 모든 점을 생각합니다. 이 점들은 삼각형 바깥을 감싸는 띠를 이룹니다. 그 띠의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\ 36+24\sqrt{3}$
(B)
$\ 54+9\pi$
(C)
$\ 54+18\sqrt{3}+6\pi$
(D)
$\ \left(2\sqrt{3}+3\right)^2\pi$
(E)
$\ 9\left(\sqrt{3}+1\right)^2\pi$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

이 띠는 곡선이 섞인 이상한 모양이라 한 번에 넓이를 구하는 공식이 없습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 띠를 각각 쉬운 공식이 있는 조각들로 자르라고 말합니다. 그 조각을 보려면 도구 #1(그림 그리기)로 띠를 그려서, 변을 따라가는 납작한 띠 조각과 꼭짓점의 둥근 조각으로 이루어져 있음을 확인합니다. 도구 #17(공간 상상하기)은 각 꼭짓점 조각이 도는 정확한 각을 읽는 데 도움이 됩니다. 조각들의 넓이를 더하면 띠의 넓이가 나옵니다.

1STEP 1

띠를 그리고 조각으로 나누기

띠를 칠해 보면 곧은 변마다 납작한 직사각형이, 꼭짓점마다 반지름 3인 둥근 조각이 붙습니다.

띠 = 직사각형 3 + 꼭짓점 조각 3
2STEP 2

세 변의 직사각형 더하기

직사각형은 길이 6, 폭 3이므로 6 × 3 = 18이고, 셋을 합치면 54입니다.

3 × (6 × 3) = 3 × 18 = 54
3STEP 3

꼭짓점 조각 하나의 각 구하기

꼭짓점 둘레의 360°에서 내각 60°와 직각 틈 90° 둘을 빼면 조각의 각은 120°입니다.

360° - 60° - 90° - 90° = 120°
4STEP 4

세 조각을 하나의 완전한 원으로 합치기

반지름 3인 120° 조각 셋이 완전한 원 하나가 되므로 합은 π (3)² = 9π입니다.

3 × 120° = 360°, π (3)² = 9π
5STEP 5

조각을 더해 전체 넓이 구하기

직사각형과 조각을 더하면 띠의 넓이는 54 + 9π이고, 선택지 (B)입니다.

54 + 9π → (B)
정답
54+9π
넓이는 직사각형에서 나오는 정수 54와 둥근 모서리에서 나오는 π 항 9π로 깔끔하게 나뉩니다. 그래서 답은 54 + (어떤 수)π 꼴이어야 합니다. (B) 54+9π만이 정확히 그 꼴입니다. (A)는 π가 아예 없고, (C)는 이 띠의 어떤 조각도 만들지 않는 √(3)가 더 붙어 있으며, (D)와 (E)는 정수 부분이 따로 없는 하나의 π 항입니다. 수치로는 54 + 9π ≈ 82.3인데, 한 변 6인 삼각형 둘레의 폭 3 띠로는 알맞은 크기입니다.
💡핵심 정리

바깥 띠는 납작한 조각 셋(54)과 하나의 완전한 원으로 합쳐지는 꼭짓점 조각 셋(9π)이므로, 넓이는 54 + 9π입니다.

  • 띠를 그리고 조각으로 나누기
  • 세 변의 직사각형 더하기
  • 꼭짓점 조각 하나의 각 구하기
  • 세 조각을 하나의 완전한 원으로 합치기
  • 조각을 더해 전체 넓이 구하기

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