AMC 10 · 2008 · #17

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-rectanglescircular-sectorarea-circles identify-subproblemsphysical-representation ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 변의 길이가 $6$ 인 정삼각형이 있다. 삼각형의 바깥에 있으면서 삼각형의 어떤 점으로부터의 거리가 $3$ 단위를 넘지 않는 모든 점들로 이루어진 영역의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 36+24\sqrt{3}$

(B)

$\ 54+9\pi$

(C)

$\ 54+18\sqrt{3}+6\pi$

(D)

$\ \left(2\sqrt{3}+3\right)^2\pi$

(E)

$\ 9\left(\sqrt{3}+1\right)^2\pi$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $6$인 정삼각형이 있습니다. 삼각형 바깥에 있으면서, 삼각형 위의 어떤 점과의 거리가 $3$ 이하인 모든 점을 생각합니다. 이 점들은 삼각형 바깥을 감싸는 띠를 이룹니다. 그 띠의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 삼각형은 한 변의 길이가 $6$인 정삼각형이다; 점은 삼각형 바깥에 있을 때만 포함된다; 점은 삼각형에서 가장 가까운 점까지의 거리가 $3$ 이하일 때만 포함된다; 선택지: (A) $36+24\sqrt{3}$, (B) $54+9\pi$, (C) $54+18\sqrt{3}+6\pi$, (D) $\left(2\sqrt{3}+3\right)^2\pi$, (E) $9\left(\sqrt{3}+1\right)^2\pi$

구하는 것: 삼각형에서 $3$ 이내에 머무는 바깥 띠의 넓이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #17 공간 상상하기

이 띠는 곡선이 섞인 이상한 모양이라 한 번에 넓이를 구하는 공식이 없습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 띠를 각각 쉬운 공식이 있는 조각들로 자르라고 말합니다. 그 조각을 보려면 도구 #1(그림 그리기)로 띠를 그려서, 변을 따라가는 납작한 띠 조각과 꼭짓점의 둥근 조각으로 이루어져 있음을 확인합니다. 도구 #17(공간 상상하기)은 각 꼭짓점 조각이 도는 정확한 각을 읽는 데 도움이 됩니다. 조각들의 넓이를 더하면 띠의 넓이가 나옵니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

띠를 그리고 조각으로 나누기

삼각형을 그리고, 삼각형에서 $3$ 이내에 있는 바깥 점을 모두 칠합니다.
곧은 변을 따라가면 삼각형에서 가장 가까운 점이 바로 안쪽에 있으므로, 그곳의 띠는 정확히 $3$만큼 바깥으로 뻗은 납작한 조각, 즉 직사각형입니다.
꼭짓점 근처에서는 가장 가까운 점이 꼭짓점 자신이므로, 그 점에서 $3$ 이내의 점들은 반지름 $3$인 원의 한 조각인 둥근 조각을 이룹니다.
그래서 띠는 직사각형 세 개와 꼭짓점 둥근 조각 세 개로 이루어집니다.

$$\text{띠} = \text{직사각형 } 3 + \text{꼭짓점 조각 } 3$$

💡 바깥의 모든 점은 곧은 변에 가장 가깝거나(직사각형 조각) 꼭짓점에 가장 가깝습니다(둥근 조각).

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.3 단계 2

세 변의 직사각형 더하기

각 직사각형은 한 변 전체를 따라가므로 길이가 $6$이고, 바깥으로 $3$만큼 뻗으므로 폭이 $3$입니다.
넓이는 $6 \times 3 = 18$입니다.
똑같은 변이 셋이므로 세 직사각형을 합치면 $3 \times 18 = 54$입니다.

$$3 \times (6 \times 3) = 3 \times 18 = 54$$

💡 변을 따라가는 조각은 그냥 직사각형입니다: 변의 길이 곱하기 바깥으로 뻗은 거리.

#17 공간 상상하기 4.MD.C.7 단계 3

꼭짓점 조각 하나의 각 구하기

한 꼭짓점에서 한 바퀴 $360^\circ$를 돌아봅니다.
그 회전의 일부는 삼각형 안쪽이 막고 있습니다: 정삼각형의 꼭짓점 각은 $60^\circ$입니다.
또 두 부분은 조각이 두 직사각형과 만나는 직각 틈인데, 각 직사각형이 변에 반듯하게 붙어 있으므로 $90^\circ$와 $90^\circ$입니다.
둥근 조각에 남는 각은 $360^\circ - 60^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 120^\circ$입니다.

$$360^\circ - 60^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 120^\circ$$

💡 꼭짓점 둘레의 각은 한 바퀴로 모여야 하므로, 쓰인 부분을 빼면 조각의 각이 남습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

세 조각을 하나의 완전한 원으로 합치기

세 꼭짓점 각각이 반지름 $3$인 원의 $120^\circ$ 조각을 만듭니다.
셋을 합치면 $3 \times 120^\circ = 360^\circ$, 즉 완전한 원 하나가 됩니다.
반지름 $3$인 완전한 원의 넓이는 $\pi r^2 = \pi (3)^2 = 9\pi$입니다.
그래서 세 꼭짓점 조각을 모두 합치면 $9\pi$입니다.

$$3 \times 120^\circ = 360^\circ, \quad \pi (3)^2 = 9\pi$$

💡 $120^\circ$짜리 조각 셋이 딱 맞물려 완전한 원 하나가 되므로 부분 원 공식이 필요 없습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

조각을 더해 전체 넓이 구하기

띠는 직사각형 셋에 조각 셋을 더한 것입니다: $54 + 9\pi$.
이는 선택지 (B)와 일치합니다.

$$54 + 9\pi \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 띠 전체는 납작한 조각과 둥근 모서리를 더한 것일 뿐입니다.

[1] #1 6.G.A.1 삼각형을 그리고, 삼각형에서 $3$ 이내에 있는 바깥 점을 모두 칠합니다. 곧은 변을 따라가면 삼각형에서 가장 가까운 점이 바로 안쪽에 있으므로

[2] #7 4.MD.A.3 각 직사각형은 한 변 전체를 따라가므로 길이가 $6$이고, 바깥으로 $3$만큼 뻗으므로 폭이 $3$입니다. 넓이는 $6 \times 3 = 18

[3] #17 4.MD.C.7 한 꼭짓점에서 한 바퀴 $360^\circ$를 돌아봅니다. 그 회전의 일부는 삼각형 안쪽이 막고 있습니다: 정삼각형의 꼭짓점 각은 $60^\ci

[4] #7 7.G.B.4 세 꼭짓점 각각이 반지름 $3$인 원의 $120^\circ$ 조각을 만듭니다. 셋을 합치면 $3 \times 120^\circ = 360^\ci

[5] #7 6.G.A.1 띠는 직사각형 셋에 조각 셋을 더한 것입니다: $54 + 9\pi$. 이는 선택지 (B)와 일치합니다.

검토

합리성 확인: 넓이는 직사각형에서 나오는 정수 $54$와 둥근 모서리에서 나오는 $\pi$ 항 $9\pi$로 깔끔하게 나뉩니다. 그래서 답은 $54 + (\text{어떤 수})\pi$ 꼴이어야 합니다. (B) $54+9\pi$만이 정확히 그 꼴입니다. (A)는 $\pi$가 아예 없고, (C)는 이 띠의 어떤 조각도 만들지 않는 $\sqrt{3}$가 더 붙어 있으며, (D)와 (E)는 정수 부분이 따로 없는 하나의 $\pi$ 항입니다. 수치로는 $54 + 9\pi \approx 82.3$인데, 한 변 $6$인 삼각형 둘레의 폭 $3$ 띠로는 알맞은 크기입니다.

대안 접근: 조각을 합치지 않고 따로 두어도 됩니다. 각 꼭짓점 조각은 반지름 $3$인 원의 $\tfrac{120}{360} = \tfrac{1}{3}$이므로 넓이가 $\tfrac{1}{3}\,\pi(3)^2 = 3\pi$입니다. 셋이면 $3 \times 3\pi = 9\pi$이고, 직사각형의 $54$를 더하면 다시 $54 + 9\pi$, 선택지 (B)가 됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (바깥 띠를 직사각형 셋과 꼭짓점 조각 셋으로 쪼갠 뒤, 조각을 더해 전체 넓이를 구하는 데 사용.)
4.MD.A.3 Apply area and perimeter formulas for rectangles in real-world problems (각 변 조각을 넓이 $6 \times 3 = 18$인 직사각형으로 계산해 셋을 합쳐 $54$를 얻는 데 사용.)
4.MD.C.7 Recognize angle measure as additive and solve addition and subtraction problems (각 꼭짓점 조각의 각을 $360^\circ - 60^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 120^\circ$로 구하는 데 사용.)
7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (세 개의 $120^\circ$ 조각을 반지름 $3$인 완전한 원으로 바꿔 넓이 $\pi(3)^2 = 9\pi$를 구하는 데 사용.)

⭐ 바깥 띠는 납작한 조각 셋($54$)과 하나의 완전한 원으로 합쳐지는 꼭짓점 조각 셋($9\pi$)이므로, 넓이는 $54 + 9\pi$입니다.