AMC 10 · 2008 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

pythagorean-theoremarea-trianglessystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 직각삼각형의 둘레가 32이고 넓이가 20이다. 빗변의 길이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac{57}{4}$

(B)

$\ \frac{59}{4}$

(C)

$\ \frac{61}{4}$

(D)

$\ \frac{63}{4}$

(E)

$\ \frac{65}{4}$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

세 문장의 도형 정보(직각, 둘레, 넓이)는 변에 이름을 붙이는 순간 세 개의 방정식이 된다. 그래서 도구 #4(변수 도입하기)가 출발점이다. 함정은 두 직각변을 직접 구하려는 것이다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 이렇게 말한다. 빗변만 겨냥하고 직각변은 숨겨진 채로 두어라. 도구 #15(다르게 정리하기)는 다리를 놓는다. 직각변의 합을 제곱하면 둘레와 넓이가 빗변만 미지수로 남는 하나의 방정식으로 다시 묶인다.

1STEP 1

변에 이름 붙이고 세 사실 적기

직각변을 a, b, 빗변을 c라 하자. 둘레는 a+b+c=32, 넓이는 ab=40, 직각은 a²+b²=c²을 준다.

a+b+c=32, ab=40, a²+b²=c²

2STEP 2

직각변이 아니라 빗변을 겨냥하기

구하는 것은 c뿐이다. 둘레에서 a+b=32-c이고 피타고라스로 a²+b²=c²이니, 둘을 연결하면 c만 남는다.

a+b = 32-c, a²+b² = c²

3STEP 3

직각변의 합을 제곱해 아는 것끼리 묶기

a+b을 제곱하면 a²+2ab+b²이라 c²+80이고, a+b=32-c로는 1024-64c+c²이다.

c² + 80 = (32-c)² = 1024 - 64c + c²

4STEP 4

제곱항을 소거하고 c 구하기

c²이 소거되어 80 = 1024-64c, 64c = 944, c = 944/64 = 59/4이다. 답은 (B).

80 = 1024 - 64c → 64c = 944 → c = 944/64 = 59/4 → (B)

정답

59/4

빗변은 두 직각변의 합보다 짧아야 하므로 둘레의 절반, 즉 16보다 작다. 59/4=14.75 ＜ 16은 통과하지만 가장 큰 보기 65/4=16.25는 이 한계를 넘으므로 (E)는 제외된다. 실제 직각변도 존재한다. a+b=32-59/4=69/4이고 ab=40이면 판별식 (69/4)²-4(40)=2201/16 ＞ 0이므로 양수인 두 직각변이 가능하다. 모두 (B)와 일치한다.

💡핵심 정리

빗변만 구하려면 직각변의 합을 제곱하라. 이미 아는 둘레와 넓이가 빗변만 남는 하나의 방정식으로 바뀐다.

변에 이름 붙이고 세 사실 적기
직각변이 아니라 빗변을 겨냥하기
직각변의 합을 제곱해 아는 것끼리 묶기
제곱항을 소거하고 c 구하기

변에 이름 붙이고 세 사실 적기

직각변이 아니라 빗변을 겨냥하기

직각변의 합을 제곱해 아는 것끼리 묶기

제곱항을 소거하고 c 구하기

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