AMC 10 · 2008 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

pythagorean-theoremarea-trianglessystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 직각삼각형의 둘레는 $32$ 이고 넓이는 $20$ 이다. 이 삼각형의 빗변의 길이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac{57}{4}$

(B)

$\ \frac{59}{4}$

(C)

$\ \frac{61}{4}$

(D)

$\ \frac{63}{4}$

(E)

$\ \frac{65}{4}$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 직각삼각형의 둘레가 $32$이고 넓이가 $20$이다. 빗변의 길이를 구하여라.

주어진 것: 이 삼각형은 직각을 가진다; 둘레는 $32$이다; 넓이는 $20$이다; 보기: (A) $\tfrac{57}{4}$, (B) $\tfrac{59}{4}$, (C) $\tfrac{61}{4}$, (D) $\tfrac{63}{4}$, (E) $\tfrac{65}{4}$

구하는 것: 빗변의 길이

이해

문제 재정리: 한 직각삼각형의 둘레가 $32$이고 넓이가 $20$이다. 빗변의 길이를 구하여라.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #15 다르게 정리하기

세 문장의 도형 정보(직각, 둘레, 넓이)는 변에 이름을 붙이는 순간 세 개의 방정식이 된다. 그래서 도구 #4(변수 도입하기)가 출발점이다. 함정은 두 직각변을 직접 구하려는 것이다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 이렇게 말한다. 빗변만 겨냥하고 직각변은 숨겨진 채로 두어라. 도구 #15(다르게 정리하기)는 다리를 놓는다. 직각변의 합을 제곱하면 둘레와 넓이가 빗변만 미지수로 남는 하나의 방정식으로 다시 묶인다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

변에 이름 붙이고 세 사실 적기

두 직각변을 $a$, $b$라 하고 빗변을 $c$라 하자.
둘레에서 $a+b+c=32$이다.
직각삼각형의 넓이는 두 직각변 곱의 절반이므로 $\tfrac{1}{2}ab=20$, 즉 $ab=40$이다.
직각이 있으므로 피타고라스 정리가 성립한다.
$a^2+b^2=c^2$.

$$a+b+c=32, \quad ab=40, \quad a^2+b^2=c^2$$

💡 각 변에 문자를 붙이면 세 개의 도형 사실이 마음대로 다룰 수 있는 세 개의 방정식이 된다.

#16 관점 바꾸기 8.G.B.7 단계 2

직각변이 아니라 빗변을 겨냥하기

문제는 $c$만 원한다.
두 방정식이 이미 그 방향을 가리킨다.
피타고라스 정리로 $a^2+b^2$은 바로 $c^2$이고, 둘레를 정리하면 $a+b=32-c$이다.
따라서 합 $a+b$와 제곱합 $a^2+b^2$을 연결할 수 있으면 남는 미지수는 $c$뿐이다.

$$a+b = 32-c, \qquad a^2+b^2 = c^2$$

💡 모든 조각이 다 필요한 경우는 드물다. 여기서는 빗변만 홀로 나오면 직각변은 미지수인 채로 두어도 된다.

#15 다르게 정리하기 6.EE.A.3 단계 3

직각변의 합을 제곱해 아는 것끼리 묶기

$a+b$을 제곱하면 $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$이다.
오른쪽은 모두 이미 아는 양으로 이루어진다.
$a^2+b^2=c^2$이고 $ab=40$이므로 $(a+b)^2 = c^2 + 2(40) = c^2+80$이다.
그런데 $a+b$은 $32-c$와도 같으므로 $(a+b)^2 = (32-c)^2 = 1024-64c+c^2$이다.
$(a+b)^2$에 대한 두 식을 같게 놓으면 모든 것이 하나의 방정식으로 연결된다.

$$c^2 + 80 = (32-c)^2 = 1024 - 64c + c^2$$

💡 합을 제곱하는 것이 다리다. 이미 아는 $a^2+b^2$과 $ab$을 스스로 만들어 낸다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 4

제곱항을 소거하고 c 구하기

$c^2$이 양변에 나타나 소거되고 일차방정식만 남는다.
$80 = 1024 - 64c$이다.
그러면 $64c = 1024-80 = 944$이므로 $c = \tfrac{944}{64} = \tfrac{59}{4}$이다.
빗변의 길이는 $\tfrac{59}{4}$이고, 이는 (B)이다.

$$80 = 1024 - 64c \;\Rightarrow\; 64c = 944 \;\Rightarrow\; c = \tfrac{944}{64} = \tfrac{59}{4} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 제곱항이 소거되고 나면, 이차처럼 보이던 것이 사실은 한 단계 일차 풀이일 뿐이다.

[1] #4 6.EE.B.6 두 직각변을 $a$, $b$라 하고 빗변을 $c$라 하자. 둘레에서 $a+b+c=32$이다. 직각삼각형의 넓이는 두 직각변 곱의 절반이므로 $\

[2] #16 8.G.B.7 문제는 $c$만 원한다. 두 방정식이 이미 그 방향을 가리킨다. 피타고라스 정리로 $a^2+b^2$은 바로 $c^2$이고, 둘레를 정리하면 $a

[3] #15 6.EE.A.3 $a+b$을 제곱하면 $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$이다. 오른쪽은 모두 이미 아는 양으로 이루어진다. $a^2+b^2=c^2$이고

[4] #4 8.EE.C.7 $c^2$이 양변에 나타나 소거되고 일차방정식만 남는다. $80 = 1024 - 64c$이다. 그러면 $64c = 1024-80 = 944$이므

검토

합리성 확인: 빗변은 두 직각변의 합보다 짧아야 하므로 둘레의 절반, 즉 $16$보다 작다. $\tfrac{59}{4}=14.75<16$은 통과하지만 가장 큰 보기 $\tfrac{65}{4}=16.25$는 이 한계를 넘으므로 (E)는 제외된다. 실제 직각변도 존재한다. $a+b=32-\tfrac{59}{4}=\tfrac{69}{4}$이고 $ab=40$이면 판별식 $\left(\tfrac{69}{4}\right)^2-4(40)=\tfrac{2201}{16}>0$이므로 양수인 두 직각변이 가능하다. 모두 (B)와 일치한다.

대안 접근: 직각삼각형의 내접원 반지름 지름길을 쓴다. 어떤 삼각형이든 넓이 $= r\cdot s$이고 여기서 $s$는 둘레의 절반이다. $s=16$, 넓이 $20$이면 $r=\tfrac{20}{16}=\tfrac{5}{4}$이다. 직각삼각형에서는 $r = s - c$가 성립하므로 $c = s - r = 16 - \tfrac{5}{4} = \tfrac{59}{4}$이다. 직각변을 전혀 건드리지 않고도 같은 답 (B)를 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 변수를 사용하여 수를 나타내고 식을 세워 문제 해결하기 (직각변 $a,b$와 빗변 $c$에 이름을 붙이고 둘레, 넓이, 피타고라스 사실을 세 개의 방정식으로 적는 데 사용.)
8.G.B.7 직각삼각형에서 피타고라스 정리로 모르는 변의 길이 구하기 ($a^2+b^2=c^2$을 이용해 제곱한 직각변의 합을 $c^2$으로 바꾸어 빗변을 목표로 유지하는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 적용하여 동치인 식 만들기 ($(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$과 $(32-c)^2 = 1024-64c+c^2$을 전개하여 아는 양들을 하나의 방정식으로 묶는 데 사용.)
8.EE.C.7 일차방정식 풀기 ($c^2$을 소거하고 $80 = 1024-64c$를 풀어 $c=\tfrac{59}{4}$을 얻는 데 사용.)

⭐ 빗변만 구하려면 직각변의 합을 제곱하라. 이미 아는 둘레와 넓이가 빗변만 남는 하나의 방정식으로 바뀐다.