AMC 10 · 2008 · #21

학년 8 geometry-3d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates

coordinate-geometrypythagorean-theoremspatial-visualization spatial-visualizationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변의 길이가 1인 정육면체를 평평한 평면으로 자른다. 이 평면은 정육면체의 마주 보는 두 꼭짓점 A와 C를 지나고, A와 C에 닿지 않는 마주 보는 두 모서리의 중점 B와 D를 지난다. 자른 단면은 평면 위의 사각형 ABCD가 된다. 그 넓이를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac{\sqrt{6}}{2}$

(B)

$\ \frac{5}{4}$

(C)

$\ \sqrt{2}$

(D)

$\ \frac{5}{8}$

(E)

$\ \frac{3}{4}$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 공간 상상하기

3차원 정육면체를 비스듬히 자른 단면은 눈으로 재기 어려우므로, 모든 점을 정육면체 위의 좌표로 고정한다. 네 꼭짓점이 숫자가 되면 거리 공식으로 도형 문제가 계산 문제로 바뀐다. 변의 길이를 확인해 도형의 이름을 정하고, 그다음 대각선을 잰다. 이 도형은 마름모로 밝혀지고, 마름모는 넓이를 구하는 간단한 지름길, 즉 두 대각선의 곱의 절반이 있으므로, 문제 전체가 대각선 두 개의 길이를 찾는 일로 줄어든다.

1STEP 1

정육면체를 좌표에 올리기

꼭짓점 좌표를 0 또는 1로 두면 단면의 네 점은 $A=(1,0,0)$ , $B=(0,0,\frac{1}{2})$ , $C=(0,1,1)$ , $D=(1,1,\frac{1}{2})$ 이다.

A=(1,0,0), B=(0,0,1/2), C=(0,1,1), D=(1,1,1/2)

2STEP 2

ABCD가 마름모임을 보이기

3차원 거리 공식으로 재면 네 변이 모두 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 로 같으므로 ABCD는 마름모이다.

AB=√(1²+0²+(1/2)²)=√5/2=BC=CD=DA

3STEP 3

두 대각선 재기

대각선은 공간 대각선 $AC=\sqrt{3}$ 과 면 대각선 $BD=\sqrt{2}$ 이고, 둘은 직각으로 만난다.

AC=√(1²+1²+1²)=√3, BD=√(1²+1²+0²)=√2

4STEP 4

마름모 넓이 공식 적용하기

수직인 두 대각선 곱의 절반 $\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}$ 는 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ 이고, 곧 선택지 (A)이다.

[ABCD]=1/2 d₁ d₂=1/2·√3·√2=√6/2

정답

√(6)/2

\frac{\sqrt{6}}{2}

는 약 1.22이다. 정육면체의 한 면의 넓이는 1인데, 이 비스듬한 단면은 꼭짓점에서 꼭짓점까지 늘어나므로 한 면보다 조금 커야 한다. 따라서 1보다 살짝 큰 값이 정확히 맞다. 또한 가로 1, 세로

\sqrt{2}

인 직사각형(넓이 1.41은 가장 넓은 단면에 해당)보다는 작으므로, 1.22는 한 면과 그 가장 넓은 단면 사이에 자연스럽게 놓인다.

\frac{5}{8}

= 0.625나

\frac{3}{4}

= 0.75 같은 값은 한 면보다도 작으므로 바로 제외할 수 있다.

💡핵심 정리

3차원 정육면체의 꼭짓점과 중점에 좌표를 주면, 비스듬한 단면은 마름모가 되고 그 넓이는 두 대각선을 곱해 절반으로 나눈 값일 뿐이다.

정육면체를 좌표에 올리기
ABCD가 마름모임을 보이기
두 대각선 재기
마름모 넓이 공식 적용하기

정육면체를 좌표에 올리기

ABCD가 마름모임을 보이기

두 대각선 재기

마름모 넓이 공식 적용하기

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