AMC 10 · 2008 · #22

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

probability-basictree-enumerationparity systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

제이콥이 수열을 만든다. 첫 번째 항은 6이다. 다음 항을 얻을 때마다 공정한 동전을 던진다. 앞면이 나오면 현재 항을 2배 하고 1을 뺀다. 뒷면이 나오면 현재 항을 반으로 나누고 1을 뺀다. 네 번째 항이 정수가 될 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac{1}{6}$

(B)

$\ \frac{1}{3}$

(C)

$\ \frac{1}{2}$

(D)

$\ \frac{5}{8}$

(E)

$\ \frac{3}{4}$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

던지기는 3번뿐이므로 가능한 경로는 8가지밖에 없다. 가지치기 나무 그림을 그리면 모든 경로와 그 경로가 만드는 네 번째 항을 한눈에 펼칠 수 있어, 그중 몇 개가 정수에 도달하는지 세기만 하면 된다.

1STEP 1

경로의 수 세기

1항에서 4항까지 던지기는 세 번, 각각 두 갈래이므로 확률이 같은 경로의 수는 8이다.

2³ = 8

2STEP 2

두 규칙 쓰기

현재 항을 x라 하면 앞면은 $2x-1$ 로, 뒷면은 $\frac{x}{2}-1$ 로 바꾼다.

H: x → 2x - 1, T: x → x/2 - 1

3STEP 3

나무 키우기

각 층에 두 규칙을 다 적용한다. 6은 11과 2로, 다시 21, 4.5, 3, 0으로, 또 네 번째 항 여덟 개로 갈라진다.

6 → {11, 2} → {21, 4.5, 3, 0} → {41, 9.5, 8, 1.25, 5, 0.5, -1, -1}

4STEP 4

정수 결과 세기

던진 순서대로 네 번째 항은 41, 9.5, 8, 1.25, 5, 0.5, -1, -1이고, 정수인 것의 수는 5이다.

{41, 8, 5, -1, -1} → 8 개 중 정수 5 개

5STEP 5

확률 만들기

정수가 되는 경로 수를 전체 경로 수로 나누면 확률은 $\frac{5}{8}$ , 곧 선택지 (D)이다.

P = 5/8

정답

5/8

5/8은 1/2과 3/4 사이에 있어 그림과 잘 맞는다. 절반보다 조금 많은 경로가 성공하기 때문이다. 지름길로 확인해 보자. 세 번째 항의 값(21, 4.5, 3, 0)은 모두 1/2의 배수이므로, 마지막이 앞면(2x - 1)이면 항상 정수가 되어 4개 경로를 덮는다. 정수가 되는 유일한 뒷면 결과는 뒷면-뒷면 경로로, 이 경로는 0에 도달하며 0/2 - 1 = -1이 된다. 이것이 1개를 더해 모두 5개가 되어 나무에서 센 값과 일치한다.

💡핵심 정리

동전 던지기가 몇 번뿐일 때는 나무 전체를 그리고 원하는 가지를 세기만 하면 된다.

경로의 수 세기
두 규칙 쓰기
나무 키우기
정수 결과 세기
확률 만들기

경로의 수 세기

두 규칙 쓰기

나무 키우기

정수 결과 세기

확률 만들기

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