AMC 10 · 2008 · #22

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

probability-basictree-enumerationparity systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

제이콥은 다음과 같은 방법으로 수열을 적는다. 먼저 첫째 항을 6으로 정한다. 그다음 각 항을 만들기 위해 공정한 동전을 던진다. 앞면이 나오면 바로 앞 항을 두 배 한 뒤 1을 빼고, 뒷면이 나오면 바로 앞 항의 절반을 취한 뒤 1을 뺀다. 제이콥의 수열에서 넷째 항이 정수일 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac{1}{6}$

(B)

$\ \frac{1}{3}$

(C)

$\ \frac{1}{2}$

(D)

$\ \frac{5}{8}$

(E)

$\ \frac{3}{4}$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 제이콥이 수열을 만든다. 첫 번째 항은 6이다. 다음 항을 얻을 때마다 공정한 동전을 던진다. 앞면이 나오면 현재 항을 2배 하고 1을 뺀다. 뒷면이 나오면 현재 항을 반으로 나누고 1을 뺀다. 네 번째 항이 정수가 될 확률을 구하여라.

주어진 것: 첫 번째 항은 6이다.; 앞면 규칙: 다음 항은 현재 항의 2배에서 1을 뺀 값이다.; 뒷면 규칙: 다음 항은 현재 항의 절반에서 1을 뺀 값이다.; 동전은 공정하므로 앞면과 뒷면이 나올 확률은 각각 1/2이다.

구하는 것: 수열의 네 번째 항이 정수가 될 확률.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

던지기는 3번뿐이므로 가능한 경로는 8가지밖에 없다. 가지치기 나무 그림을 그리면 모든 경로와 그 경로가 만드는 네 번째 항을 한눈에 펼칠 수 있어, 그중 몇 개가 정수에 도달하는지 세기만 하면 된다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 1

경로의 수 세기

네 번째 항은 첫 항에서 세 단계 뒤에 있다.
각 단계는 결과가 2가지인 동전 던지기 한 번이므로, 던지기 순서의 가짓수는 2 곱하기 2 곱하기 2 = 8이다.
동전이 공정하고 던지기가 독립이므로 8가지 경로는 모두 똑같은 확률로 일어난다.

$$2^3 = 8$$

💡 독립적인 앞면-뒷면 선택 세 번은 언제나 똑같은 확률의 경로 8개로 갈라진다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 2

두 규칙 쓰기

현재 항을 x라 하자.
앞면은 x를 2x - 1로 바꾸고, 뒷면은 x를 x/2 - 1로 바꾼다.
이렇게 규칙을 쓰면 정수든 분수든 어떤 값에도 빠르게 적용할 수 있다.

$$H:\ x \to 2x - 1, \quad T:\ x \to \frac{x}{2} - 1$$

💡 현재 값을 x라 이름 붙이면 각 동전 규칙이 다시 쓸 수 있는 하나의 식이 된다.

#1 그림 그리기 7.NS.A.3 단계 3

나무 키우기

6에서 시작해 각 층마다 두 규칙을 모두 적용한다.
두 번째 항: 앞면은 11, 뒷면은 2.
세 번째 항: 11에서는 21 또는 4.5, 2에서는 3 또는 0.
네 번째 항: 21에서는 41 또는 9.5, 4.5에서는 8 또는 1.25, 3에서는 5 또는 0.5, 0에서는 -1 또는 -1이 된다.

$$6 \to \{11,\ 2\} \to \{21,\ 4.5,\ 3,\ 0\} \to \{41,\ 9.5,\ 8,\ 1.25,\ 5,\ 0.5,\ -1,\ -1\}$$

💡 모든 갈림길에서 두 규칙을 다 적용하면 어떤 결과도 빠뜨리지 않는다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 4

정수 결과 세기

여덟 개의 네 번째 항을 던진 순서대로 나열하면 HHH = 41, HHT = 9.5, HTH = 8, HTT = 1.25, THH = 5, THT = 0.5, TTH = -1, TTT = -1이다.
정수인 결과는 41, 8, 5, -1, -1이며, 8개 경로 중 5개다.

\{41,\ 8,\ 5,\ -1,\ -1\} \Rightarrow 8 \text{개 중 정수 } 5 \text{개}

💡 나무의 잎을 읽으면 확률 문제가 단순한 세기 문제로 바뀐다.

#1 그림 그리기 7.SP.C.7 단계 5

확률 만들기

확률은 정수가 되는 경로의 수를 전체 경로의 수로 나눈 값, 즉 8분의 5이다.
따라서 네 번째 항이 정수일 확률은 5/8이고, 이는 답 (D)이다.

$$P = \frac{5}{8}$$

💡 경로들이 똑같은 확률이면 확률은 원하는 경로 수를 전체 경로 수로 나눈 것일 뿐이다.

[1] #2 7.SP.C.7 네 번째 항은 첫 항에서 세 단계 뒤에 있다. 각 단계는 결과가 2가지인 동전 던지기 한 번이므로, 던지기 순서의 가짓수는 2 곱하기 2 곱하기

[2] #4 6.EE.A.2 현재 항을 x라 하자. 앞면은 x를 2x - 1로 바꾸고, 뒷면은 x를 x/2 - 1로 바꾼다. 이렇게 규칙을 쓰면 정수든 분수든 어떤 값에도

[3] #1 7.NS.A.3 6에서 시작해 각 층마다 두 규칙을 모두 적용한다. 두 번째 항: 앞면은 11, 뒷면은 2. 세 번째 항: 11에서는 21 또는 4.5, 2에서

[4] #2 7.SP.C.8 여덟 개의 네 번째 항을 던진 순서대로 나열하면 HHH = 41, HHT = 9.5, HTH = 8, HTT = 1.25, THH = 5, TH

[5] #1 7.SP.C.7 확률은 정수가 되는 경로의 수를 전체 경로의 수로 나눈 값, 즉 8분의 5이다. 따라서 네 번째 항이 정수일 확률은 5/8이고, 이는 답 (D)

검토

합리성 확인: 5/8은 1/2과 3/4 사이에 있어 그림과 잘 맞는다. 절반보다 조금 많은 경로가 성공하기 때문이다. 지름길로 확인해 보자. 세 번째 항의 값(21, 4.5, 3, 0)은 모두 1/2의 배수이므로, 마지막이 앞면(2x - 1)이면 항상 정수가 되어 4개 경로를 덮는다. 정수가 되는 유일한 뒷면 결과는 뒷면-뒷면 경로로, 이 경로는 0에 도달하며 0/2 - 1 = -1이 된다. 이것이 1개를 더해 모두 5개가 되어 나무에서 센 값과 일치한다.

대안 접근: 여사건을 이용하자. 네 번째 항이 정수가 아니게 되는 경우는 반으로 나누는 단계에서 남는 분수가 생길 때뿐이다. 나무를 살펴보면 분수를 만드는 경로는 정확히 HHT(9.5), HTT(1.25), THT(0.5)로 3개다. 전체 8에서 빼면 8 - 3 = 5개가 정수 경로이므로, 확률은 다시 5/8이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 Develop probability models and use them to find probabilities of events (8가지 던지기 경로를 똑같은 확률로 다루고 확률을 원하는 경로 수 대 전체 경로 수로 세우는 데 사용)
6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (앞면과 뒷면 동전 규칙을 2x - 1, x/2 - 1 식으로 나타내는 데 사용)
7.NS.A.3 Solve real-world problems involving the four operations with rational numbers (4.5, 1.25 같은 분수 값을 포함하여 나무 전체의 각 항을 계산하는 데 사용)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (나무 그림으로 복합 던지기 결과를 빠짐없이 나열하고 정수 결과를 세는 데 사용)

⭐ 동전 던지기가 몇 번뿐일 때는 나무 전체를 그리고 원하는 가지를 세기만 하면 된다.