AMC 10 · 2008 · #23

학년 7 counting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

combinations-basicset-partitionsystematic-enumeration caseworkcomplementary-counting ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

집합 S={a,b,c,d,e}의 두 부분집합을 골라, 그 합집합이 S 전체가 되고 교집합이 정확히 두 원소를 갖도록 합니다. 두 부분집합을 고르는 순서는 상관없습니다. 이런 순서 없는 부분집합 쌍이 몇 가지나 되는지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 20$

(B)

$\ 40$

(C)

$\ 60$

(D)

$\ 160$

(E)

$\ 320$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

두 부분집합을 통째로 한 번에 세는 것은 어려우므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 깔끔한 단계로 나눕니다: 어떤 원소가 공유되는지 고르고, 나머지를 정하고, 순서를 보정합니다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 핵심 전환을 맡습니다. 집합을 고르는 대신 원소 하나씩 보면서 그 원소가 세 가지 역할(첫 번째만, 두 번째만, 둘 다) 중 어느 것인지 묻습니다. 합집합 조건이 '어디에도 안 들어감'이라는 네 번째 역할을 금지하기 때문입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 각 세기 단계에서 결과를 나열해 주므로, 독립된 선택들의 곱셈을 추측이 아니라 믿을 수 있게 합니다.

1STEP 1

원소마다 역할 정하기

글자 하나씩 봅시다. 5개 각각은 첫 번째만, 두 번째만, 둘 다 중 하나이고, 합집합이 S라서 '어디에도 안'은 없습니다.

각 원소의 역할 ∈ {첫 번째만, 두 번째만, 둘 다}

2STEP 2

공유되는 두 원소 고르기

5개 중 정확히 2개가 '둘 다' 역할이고, 그런 쌍을 모두 나열하면 10가지입니다.

C(5, 2) = 10

3STEP 3

나머지 세 원소 나누기

남은 3개는 각각 한쪽만 골라야 하므로 2 × 2 × 2 = 8가지입니다.

2³ = 8

4STEP 4

합치고, 두 번 센 것 바로잡기

이름을 붙이면 10 × 8 = 80인데, 두 집합은 늘 서로 달라 각 쌍을 두 번 셉니다. 반으로 나누면 40, 선택지 (B)입니다.

(10 × 8)/2 = 80/2 = 40 (B)

정답

답 40은 작은 함정 20과 이름 붙인 전체 80의 정확히 가운데에 있습니다. 80을 반으로 나누면 40, 선택지 (B)가 됩니다. 남은 세 글자를 제한하지 않고 모든 원소를 자유롭게 나누게 두면 큰 함정 160이나 320으로 넘쳐, 그것들이 부주의한 답이 됩니다. 크기별 경우 확인도 일치합니다: 크기 2와 5의 부분집합은 C(5, 2)=10쌍, 크기 3과 4는 10 × 3 = 30쌍으로, 합하면 10 + 30 = 40입니다.

💡핵심 정리

원소마다 역할을 주세요 — 첫 번째만, 두 번째만, 둘 다. 정확히 둘을 '둘 다'에 고정하고, 나머지 셋은 한 편을 고르게 한 뒤, 두 부분집합에는 순서가 없으니 반으로 나눕니다.

원소마다 역할 정하기
공유되는 두 원소 고르기
나머지 세 원소 나누기
합치고, 두 번 센 것 바로잡기

원소마다 역할 정하기

공유되는 두 원소 고르기

나머지 세 원소 나누기

합치고, 두 번 센 것 바로잡기

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