AMC 10 · 2008 · #23
학년 7 counting집합 S={a,b,c,d,e}의 두 부분집합을, 그 합집합이 S이고 교집합이 정확히 두 개의 원소를 갖도록 선택하려고 한다. 두 부분집합을 선택하는 순서는 구별하지 않는다고 할 때, 이렇게 선택하는 방법은 몇 가지인가?
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AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 집합 $S=\{a,b,c,d,e\}$의 두 부분집합을 골라, 그 합집합이 $S$ 전체가 되고 교집합이 정확히 두 원소를 갖도록 합니다. 두 부분집합을 고르는 순서는 상관없습니다. 이런 순서 없는 부분집합 쌍이 몇 가지나 되는지 구하세요.
주어진 것: $S=\{a,b,c,d,e\}$는 원소가 $5$개; 고른 두 부분집합의 합집합은 $S$ 전체; 두 부분집합의 교집합은 원소가 정확히 $2$개; 부분집합을 고르는 순서는 상관없음; 선택지: (A) $20$, (B) $40$, (C) $60$, (D) $160$, (E) $320$
구하는 것: 두 조건을 모두 만족하는 순서 없는 부분집합 쌍의 개수
이해
문제 재정리: 집합 $S=\{a,b,c,d,e\}$의 두 부분집합을 골라, 그 합집합이 $S$ 전체가 되고 교집합이 정확히 두 원소를 갖도록 합니다. 두 부분집합을 고르는 순서는 상관없습니다. 이런 순서 없는 부분집합 쌍이 몇 가지나 되는지 구하세요.
주어진 것: $S=\{a,b,c,d,e\}$는 원소가 $5$개; 고른 두 부분집합의 합집합은 $S$ 전체; 두 부분집합의 교집합은 원소가 정확히 $2$개; 부분집합을 고르는 순서는 상관없음; 선택지: (A) $20$, (B) $40$, (C) $60$, (D) $160$, (E) $320$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #16 관점 바꾸기
두 부분집합을 통째로 한 번에 세는 것은 어려우므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 깔끔한 단계로 나눕니다: 어떤 원소가 공유되는지 고르고, 나머지를 정하고, 순서를 보정합니다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 핵심 전환을 맡습니다. 집합을 고르는 대신 원소 하나씩 보면서 그 원소가 세 가지 역할(첫 번째만, 두 번째만, 둘 다) 중 어느 것인지 묻습니다. 합집합 조건이 '어디에도 안 들어감'이라는 네 번째 역할을 금지하기 때문입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 각 세기 단계에서 결과를 나열해 주므로, 독립된 선택들의 곱셈을 추측이 아니라 믿을 수 있게 합니다.
실행 — 정답: B
7.SP.C.8 단계 1 원소마다 역할 정하기
- 두 부분집합을 통째로 고르는 대신 원소 하나씩 봅시다.
- $5$개의 원소 각각은 첫 번째 부분집합에만, 두 번째 부분집합에만, 또는 둘 다에 들어갑니다.
- 합집합이 $S$ 전체를 덮어야 하므로 '어디에도 안 들어감'은 불가능합니다.
- 그러므로 두 조건은 결국 몇 개의 원소가 '둘 다' 역할을 맡는지에 관한 규칙입니다.
💡 합집합이 $S$라는 말은 빠지는 원소가 없다는 뜻이므로, 모든 글자는 세 자리 중 하나에 들어가야 합니다.
7.SP.C.8 단계 2 공유되는 두 원소 고르기
- 교집합은 원소가 정확히 $2$개여야 하므로, $5$개 글자 중 정확히 $2$개가 '둘 다' 역할을 맡습니다.
- 모든 쌍을 나열해 세어 봅시다: $ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de$.
- $10$개의 쌍이며, 이는 $\binom{5}{2}=10$입니다.
💡 $5$개 중 공유할 $2$개를 고르는 것은 그저 모든 쌍을 나열하는 일입니다.
6.EE.A.1 단계 3 나머지 세 원소 나누기
- 남은 $3$개 글자는 각각 정확히 한 부분집합에만 들어갑니다 — 첫 번째만 또는 두 번째만.
- '둘 다'는 될 수 없고(그러면 교집합이 $2$보다 커집니다) '어디에도 안'도 될 수 없습니다.
- $3$개 각각 $2$가지 선택이 있고 그 선택들은 서로 독립이므로, $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$가지입니다.
💡 독립된 왼쪽-오른쪽 갈림길 세 번은 동전을 세 번 던지듯 $2^3$가지 결말을 만듭니다.
7.SP.C.8 단계 4 합치고, 두 번 센 것 바로잡기
- 공유 쌍 고르기($10$가지)와 나머지 나누기($8$가지)는 독립이므로, 두 부분집합을 '첫 번째'와 '두 번째'로 이름 붙여 다루면 $10 \times 8 = 80$가지입니다.
- 하지만 순서는 상관없습니다.
- 각 쌍은 이름 붙이는 두 방식 때문에 두 번씩 세어집니다.
- 두 부분집합은 항상 서로 다르기 때문입니다 — 교집합은 $2$개인데 합집합은 $5$개라 결코 같아질 수 없습니다.
- 반으로 나누면 중복이 사라집니다: $80 \div 2 = 40$, 선택지 (B)입니다.
💡 두 집합에 이름을 붙이면 순서 없는 쌍을 두 번 세므로, 전체를 반으로 자릅니다.
7.SP.C.8 두 부분집합을 통째로 고르는 대신 원소 하나씩 봅시다. $5$개의 원소 각각은 첫 번째 부분집합에만, 두 번째 부분집합에만, 또는 둘 다에 들어 7.SP.C.8 교집합은 원소가 정확히 $2$개여야 하므로, $5$개 글자 중 정확히 $2$개가 '둘 다' 역할을 맡습니다. 모든 쌍을 나열해 세어 봅시다: $ 6.EE.A.1 남은 $3$개 글자는 각각 정확히 한 부분집합에만 들어갑니다 — 첫 번째만 또는 두 번째만. '둘 다'는 될 수 없고(그러면 교집합이 $2$보다 7.SP.C.8 공유 쌍 고르기($10$가지)와 나머지 나누기($8$가지)는 독립이므로, 두 부분집합을 '첫 번째'와 '두 번째'로 이름 붙여 다루면 $10 \ 검토
합리성 확인: 답 $40$은 작은 함정 $20$과 이름 붙인 전체 $80$의 정확히 가운데에 있습니다. $80$을 반으로 나누면 $40$, 선택지 (B)가 됩니다. 남은 세 글자를 제한하지 않고 모든 원소를 자유롭게 나누게 두면 큰 함정 $160$이나 $320$으로 넘쳐, 그것들이 부주의한 답이 됩니다. 크기별 경우 확인도 일치합니다: 크기 $2$와 $5$의 부분집합은 $\binom{5}{2}=10$쌍, 크기 $3$과 $4$는 $10 \times 3 = 30$쌍으로, 합하면 $10 + 30 = 40$입니다.
대안 접근: 부분집합 크기별로 경우를 나눠 봅시다. 합집합이 $5$개이고 교집합이 $2$개이므로 두 크기의 합은 $5 + 2 = 7$이어야 하고, 크기는 $2$와 $5$ 또는 $3$과 $4$입니다. 크기 $2$와 $5$일 때 작은 부분집합은 교집합 그 자체이고 큰 것은 $S$ 전체입니다: $\binom{5}{2}=10$가지. 크기 $3$과 $4$일 때는 공유할 $2$개를 고르고, 남은 $3$개 중 어느 하나가 작은 부분집합에 합류할지 고릅니다: $10 \times 3 = 30$가지. 더하면 $10 + 30 = 40$ — 같은 선택지 (B)입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.8Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (세 가지 역할과 $10$개의 공유 쌍을 나열하고, 세기 원리로 독립 단계를 합친 뒤 순서로 인한 이중 계산을 반으로 나눔.)6.EE.A.1Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (남은 세 원소를 두 부분집합 중 하나로 보내는 방법의 수를 $2^3 = 8$로 셈.)
⭐ 원소마다 역할을 주세요 — 첫 번째만, 두 번째만, 둘 다. 정확히 둘을 '둘 다'에 고정하고, 나머지 셋은 한 편을 고르게 한 뒤, 두 부분집합에는 순서가 없으니 반으로 나눕니다.
⭐ 원소마다 역할을 주세요 — 첫 번째만, 두 번째만, 둘 다. 정확히 둘을 '둘 다'에 고정하고, 나머지 셋은 한 편을 고르게 한 뒤, 두 부분집합에는 순서가 없으니 반으로 나눕니다.
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