AMC 10 · 2008 · #25
학년 8 geometry-2d
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AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
이 문제는 결국 꼭짓점들이 원 위 어디에 놓이는지에 관한 것이라, 중심을 표시한 깔끔한 그림이 기준점이 된다. 그림에서 6겹 대칭이 각도를 확정해 주고, 매트의 중심선을 공유하는 두 직각삼각형이 도형을 식으로 바꿔 준다. 중심에서 바깥 변까지의 거리를 변수로 두면 피타고라스 정리와 30-60-90 삼각형이 나머지를 해결한다.
중심을 넣어 그림 세우기
중심 O를 표시하자. 매트의 바깥 긴 변은 길이 x인 현이고, 똑같은 매트 6장은 O를 중심으로 60도마다 반복된다.
중심 하나를 둘러싼 똑같은 매트 6장은 60도마다 무늬가 반복되므로 매트 한 장만 이해하면 된다.
한 중심을 둘러싼 같은 깔개 여섯은 한 바퀴의 6분의 1마다 되풀이되므로, 깔개 하나가 전부를 말해 준다.
▸ 왜?
중심 둘레의 각이 한 바퀴를 채우므로, 같은 여섯 몫은 각각 그 6분의 1이다.
▸ 왜?
그 몫만큼 돌리면 각 깔개가 어떤 길이도 바뀌지 않은 채 다음 깔개 위로 옮겨 간다.
맞닿는 방향이 30도임을 찾기
매트의 중심선 반지름이 부채꼴을 절반으로 가르므로, 맞닿는 안쪽 꼭짓점은 중심선에서 30도 벌어져 있다.
이웃한 꼭짓점들은 두 부채꼴이 맞닿는 경계선 바로 위에서 만나고, 그 선은 각 매트의 중심선에서 30도 벌어져 있다.
8.G.A.5Visualize Spatial Relationships바깥 거리를 변수로 두고 피타고라스 쓰기
중심선을 따라 O에서 바깥 변까지의 거리를 d라 하자. 절반 현 x/2, 거리 d, 반지름 4가 직각삼각형을 이룬다.
현의 끝점으로 간 반지름, 중심에서 내린 수선, 그리고 절반 현은 언제나 직각삼각형을 이룬다.
8.G.B.7Introduce A Variable30-60-90 삼각형으로 d와 x 연결하기
안쪽 변은 1만큼 더 가까워 O에서 그 중점까지는 d 빼기 1이고, 30-60-90 삼각형이 이를 x/2의 루트 3배로 묶는다.
30도 꼭짓점이 안쪽 삼각형을 모양이 정해진 30-60-90으로 만들어 d와 x를 서로 묶어 준다.
8.G.B.7Visualize Spatial Relationships대입해서 x에 대한 한 식 만들기
d를 피타고라스 식에 대입하면 x 제곱 항이 합쳐져 x 제곱 더하기 루트 3 x 빼기 15가 0인 식만 남는다.
같은 매트에 대한 두 사실을 대입하면 모든 것이 x에 대한 한 식으로 합쳐진다.
8.EE.A.1Introduce A Variable양수인 길이 구하기
근의 공식으로 풀고 양수 근을 택하면 x는 (3 루트 7 빼기 루트 3)을 2로 나눈 값, 즉 보기 (C)이다.
이 식은 양수 근과 음수 근을 하나씩 갖는데, 실제 길이가 될 수 있는 것은 양수 근뿐이다.
8.EE.A.2Introduce A Variable중심을 표시하고, 고른 간격으로 각도를 확정한 뒤, 두 직각삼각형으로 그림을 풀 수 있는 하나의 식으로 바꾸자.
- 중심을 넣어 그림 세우기
- 맞닿는 방향이 30도임을 찾기
- 바깥 거리를 변수로 두고 피타고라스 쓰기
- 30-60-90 삼각형으로 d와 x 연결하기
- 대입해서 x에 대한 한 식 만들기
- 양수인 길이 구하기