AMC 10 · 2008 · #25

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

pythagorean-theoremthirty-sixty-ninety-trianglechord-perpendicular-from-center spatial-visualizationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름이 $4$ 인 원탁이 있다. 이 탁자 위에 여섯 개의 직사각형 식탁 매트를 놓는다. 각 매트는 그림과 같이 폭이 $1$ 이고 길이가 $x$ 이다. 각 매트는 두 모서리가 탁자의 가장자리에 놓이도록 배치되며, 이 두 모서리는 길이가 $x$ 인 같은 변의 양 끝점이다. 또한 매트들은 각 안쪽 모서리가 이웃한 매트의 안쪽 모서리와 맞닿도록 배치된다. $x$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 2\sqrt{5}-\sqrt{3}$

(B)

$\ 3$

(C)

$\ \frac{3\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$

(D)

$\ 2\sqrt{3}$

(E)

$\ \frac{5+2\sqrt{3}}{2}$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 4인 둥근 탁자가 있다. 폭 1, 길이 x인 똑같은 직사각형 매트 6장을 탁자 둘레에 놓는다. 각 매트의 길이 x인 긴 변은 탁자 가장자리에 걸치는 현이 되어(바깥쪽 두 꼭짓점이 원 위에 있음), 매트는 안쪽을 향한다. 그리고 각 매트의 안쪽 꼭짓점은 옆 매트의 안쪽 꼭짓점과 딱 맞닿는다. 길이 x를 구하라.

주어진 것: 탁자는 반지름 4인 원이다.; 합동인 매트 6장이 6겹 대칭으로 배치된다.; 각 매트는 폭 1, 길이 x인 직사각형이다.; 매트의 길이 x인 변의 양 끝점이 원 위에 있다.; 각 매트의 안쪽 꼭짓점은 이웃 매트의 안쪽 꼭짓점과 맞닿는다.

구하는 것: 매트의 길이 x.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #17 공간 상상하기, #4 변수 도입하기

이 문제는 결국 꼭짓점들이 원 위 어디에 놓이는지에 관한 것이라, 중심을 표시한 깔끔한 그림이 기준점이 된다. 그림에서 6겹 대칭이 각도를 확정해 주고, 매트의 중심선을 공유하는 두 직각삼각형이 도형을 식으로 바꿔 준다. 중심에서 바깥 변까지의 거리를 변수로 두면 피타고라스 정리와 30-60-90 삼각형이 나머지를 해결한다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 1

중심을 넣어 그림 세우기

탁자의 중심 O를 표시한다.
매트 한 장을 보자.
길이 x인 긴 변은 양 끝이 원 위에 있는 곧은 현이고, 매트는 폭 1만큼 안쪽으로 들어가므로 안쪽 긴 변은 O에 더 가까운 또 하나의 길이 x인 선분이다.
똑같은 매트 6장이 O 둘레에 고르게 놓여 있으므로 서로 60도씩 회전하면 겹쳐지고, 각 매트는 자신을 절반으로 나누는 반지름 위에 놓인다.

$$\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$$

💡 중심 하나를 둘러싼 똑같은 매트 6장은 60도마다 무늬가 반복되므로 매트 한 장만 이해하면 된다.

#17 공간 상상하기 8.G.A.5 단계 2

맞닿는 방향이 30도임을 찾기

매트 한 장의 가운데를 지나는 반지름을 중심선으로 그린다.
매트의 안쪽 두 꼭짓점은 이 중심선을 기준으로 좌우 대칭으로 놓인다.
각 안쪽 꼭짓점은 이웃 매트의 안쪽 꼭짓점과 맞닿는데, 그 접점은 이 매트의 60도 부채꼴과 옆 부채꼴 사이의 경계에 정확히 놓여야 한다.
그 경계는 부채꼴을 절반으로 가르므로, 각 안쪽 꼭짓점은 중심선에서 60도의 절반인 30도만큼 벌어진 방향에 있다.

$$\tfrac{1}{2}\cdot 60^\circ = 30^\circ$$

💡 이웃한 꼭짓점들은 두 부채꼴이 맞닿는 경계선 바로 위에서 만나고, 그 선은 각 매트의 중심선에서 30도 벌어져 있다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 3

바깥 거리를 변수로 두고 피타고라스 쓰기

중심 O에서 매트의 바깥 변까지, 중심선을 따라 잰 거리를 d라 하자.
이 중심선은 바깥 변의 중점에 수직으로 닿으므로 길이 x인 현을 x/2씩 둘로 나눈다.
절반 현, 거리 d, 그리고 길이 4인 반지름은 반지름을 빗변으로 하는 직각삼각형을 이룬다.
여기에 피타고라스 정리를 적용한다.

$$\left(\tfrac{x}{2}\right)^2 + d^2 = 4^2 = 16$$

💡 현의 끝점으로 간 반지름, 중심에서 내린 수선, 그리고 절반 현은 언제나 직각삼각형을 이룬다.

#17 공간 상상하기 8.G.B.7 단계 4

30-60-90 삼각형으로 d와 x 연결하기

안쪽 변은 바깥 변보다 O에 1만큼 더 가까우므로, 그 중점은 중심선을 따라 O에서 d - 1 거리에 있다.
O에서 볼 때, 중심선(길이 d - 1)과 안쪽 변의 절반(길이 x/2)이 안쪽 꼭짓점까지 이루는 직각삼각형을 보자.
2단계에서 이 안쪽 꼭짓점은 중심선에서 30도 벌어져 있으므로 이것은 30-60-90 삼각형이다.
30도 맞은편 변은 짧은 변 x/2이고, 60도 맞은편 변은 d - 1인데, 30-60-90 삼각형에서 60도 쪽 변은 짧은 변에 루트 3을 곱한 값이다.

$$d - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\,x \quad\Longrightarrow\quad d = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\,x$$

💡 30도 꼭짓점이 안쪽 삼각형을 모양이 정해진 30-60-90으로 만들어 d와 x를 서로 묶어 준다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.1 단계 5

대입해서 x에 대한 한 식 만들기

d에 대한 식을 3단계의 피타고라스 식에 넣는다.
합을 제곱하고 같은 항끼리 정리한다.
x 제곱 항 두 개, 즉 4분의 1과 4분의 3이 합쳐져 온전한 x 제곱이 되고, 상수 1은 16의 반대쪽으로 넘어간다.

$$\left(\tfrac{x}{2}\right)^2 + \left(1 + \tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)^2 = 16 \;\Rightarrow\; \tfrac{x^2}{4} + 1 + \sqrt{3}\,x + \tfrac{3x^2}{4} = 16 \;\Rightarrow\; x^2 + \sqrt{3}\,x - 15 = 0$$

💡 같은 매트에 대한 두 사실을 대입하면 모든 것이 x에 대한 한 식으로 합쳐진다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.2 단계 6

양수인 길이 구하기

x 제곱 더하기 루트 3 x 빼기 15가 0인 식을 푼다.
완전제곱(또는 근의 공식)으로 풀면 x는 마이너스 루트 3에 3 더하기 60의 제곱근을 더하거나 뺀 값을 2로 나눈 것이다.
63의 제곱근은 3 곱하기 7의 제곱근이다.
매트 길이는 양수여야 하므로 플러스 부호를 택한다.
그러면 x는 (3 루트 7 빼기 루트 3)을 2로 나눈 값이고, 이것이 보기 (C)이다.

$$x = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 4\cdot 15}}{2} = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{63}}{2} = \frac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$$

💡 이 식은 양수 근과 음수 근을 하나씩 갖는데, 실제 길이가 될 수 있는 것은 양수 근뿐이다.

[1] #1 8.G.A.5 탁자의 중심 O를 표시한다. 매트 한 장을 보자. 길이 x인 긴 변은 양 끝이 원 위에 있는 곧은 현이고, 매트는 폭 1만큼 안쪽으로 들어가므로

[2] #17 8.G.A.5 매트 한 장의 가운데를 지나는 반지름을 중심선으로 그린다. 매트의 안쪽 두 꼭짓점은 이 중심선을 기준으로 좌우 대칭으로 놓인다. 각 안쪽 꼭짓점

[3] #4 8.G.B.7 중심 O에서 매트의 바깥 변까지, 중심선을 따라 잰 거리를 d라 하자. 이 중심선은 바깥 변의 중점에 수직으로 닿으므로 길이 x인 현을 x/2씩

[4] #17 8.G.B.7 안쪽 변은 바깥 변보다 O에 1만큼 더 가까우므로, 그 중점은 중심선을 따라 O에서 d - 1 거리에 있다. O에서 볼 때, 중심선(길이 d -

[5] #4 8.EE.A.1 d에 대한 식을 3단계의 피타고라스 식에 넣는다. 합을 제곱하고 같은 항끼리 정리한다. x 제곱 항 두 개, 즉 4분의 1과 4분의 3이 합쳐져

[6] #4 8.EE.A.2 x 제곱 더하기 루트 3 x 빼기 15가 0인 식을 푼다. 완전제곱(또는 근의 공식)으로 풀면 x는 마이너스 루트 3에 3 더하기 60의 제곱근

검토

합리성 확인: 수치로 보면 (3 루트 7 빼기 루트 3)을 2로 나눈 값은 대략 (7.94 - 1.73) / 2로 약 3.10이다. 이는 보기 3과 2 루트 3(약 3.46) 사이에 있고 지름 8보다 확실히 작으므로 그 길이의 매트는 탁자에 들어간다. 안쪽 꼭짓점의 O로부터의 거리도 확인하면, x가 약 3.10일 때 d = 1 + (루트 3 / 2) x는 약 3.69이고, 바깥 꼭짓점까지 거리는 루트(1.55 제곱 더하기 3.69 제곱)로 정확히 4가 되어 탁자의 반지름과 맞는다. 도형이 앞뒤가 맞으므로 (C)가 확인된다.

대안 접근: 코사인 법칙을 대신 쓸 수 있다. 안쪽 꼭짓점들은 정육각형을 이루므로, 중심 O와 안쪽 꼭짓점 하나, 바깥 꼭짓점 하나로 삼각형을 만들고 알려진 길이들(매트 폭 1, 반지름 4, 60도 간격)을 이용한다. 그 삼각형에 코사인 법칙을 적용하면 똑같은 이차식 x 제곱 더하기 루트 3 x 빼기 15가 0이 나오므로 같은 답 (C)에 이른다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.5 Use informal arguments to establish facts about angle sum and exterior angles (원을 60도짜리 부채꼴 6개로 나누고 각 안쪽 꼭짓점이 매트 중심선에서 30도 벌어진 위치임을 찾는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (바깥 변에 대한 반지름/절반 현 직각삼각형과, 안쪽 변에서 d와 x를 잇는 30-60-90 삼각형에 사용.)
8.EE.A.1 Know and apply the properties of integer exponents (대입한 식을 제곱하고 전개하여 x 제곱 항들을 하나의 식으로 합치는 데 사용.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions (이차식을 풀고 63의 제곱근을 간단히 하여 x를 (3 루트 7 빼기 루트 3)을 2로 나눈 값으로 나타내는 데 사용.)

⭐ 중심을 표시하고, 고른 간격으로 각도를 확정한 뒤, 두 직각삼각형으로 그림을 풀 수 있는 하나의 식으로 바꾸자.