AMC 10 · 2008 · #10

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

chord-perpendicular-from-centerpythagorean-theoremline-symmetry identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

원의 반지름은 5이고, 그 현 AB의 길이는 6이다. 점 C는 짧은 호 AB의 중점이다. 선분 AC의 길이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \sqrt{10}$

(B)

$\ \frac{7}{2}$

(C)

$\ \sqrt{14}$

(D)

$\ \sqrt{15}$

(E)

$\ 4$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 순수한 원 기하이므로 도구 #1(그림 그리기)이 앞장선다. 중심, 현, 호의 중점을 그려 보면 중심 O, 현의 중점 M, 그리고 C를 한 줄로 세우는 대칭축이 드러난다. 그 축을 그으면 AC가 작은 직각삼각형 조각들로 나뉘므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 차례로 처리한다 — 먼저 중심에서 현까지의 거리, 다음으로 짧은 간격 MC, 마지막으로 AC 자신이다. 도구 #3(가능성 지우기)이 마무리한다: 답은 3보다 살짝 크고, 보기 중 그만큼 작은 것은 하나뿐이다.

1STEP 1

대칭축 그리기

중심을 O, AB의 중점을 M이라 하자. O와 M을 지나는 대칭축은 C도 지나고 AB와 수직이므로 AM=MB=3이다.

AM=MB=6/2=3

2STEP 2

중심에서 현까지의 거리

삼각형 OAM은 M에서 직각이고 반지름 OA=5, AM=3이므로 OM²=25-9=16, 즉 OM=4이다.

OM=√(OA²-AM²)=√(5²-3²)=√(16)=4

3STEP 3

짧은 간격 MC 구하기

그 직선 위에서 M은 4에 있고 C는 원 위에 있어 반지름인 5에 있으므로 간격은 MC=5-4=1이다.

MC=OC-OM=5-4=1

4STEP 4

AC 계산하기

삼각형 AMC는 M에서 직각이고 두 변이 AM=3, MC=1이므로 AC²=9+1=10, 즉 AC=√(10)이다. 보기 (A).

AC=√(AM²+MC²)=√(3²+1²)=√(10)

정답

√(10)

답 √(10)≈3.16은 현의 절반 AM=3보다 살짝 크다. 이는 정확히 맞는데, C가 현에서 MC=1만큼만 삐져나오므로 AC는 AM보다 조금만 길어야 하기 때문이다. 또 지름 10보다 훨씬 작으니 한 선분의 길이로 타당하다. 보기 √(10)≈3.16, 7/2=3.5, √(14)≈3.74, √(15)≈3.87, 4 중에서 3에 이렇게 가까운 것은 √(10)뿐이므로 (A)가 들어맞는다.

💡핵심 정리

중심을 지나는 대칭축을 그으면 현이 반으로 갈리고, 구하려는 거리가 작은 직각삼각형의 빗변으로 바뀐다.

대칭축 그리기
중심에서 현까지의 거리
짧은 간격 MC 구하기
AC 계산하기

대칭축 그리기

중심에서 현까지의 거리

짧은 간격 MC 구하기

AC 계산하기

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