AMC 10 · 2008 · #10

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

chord-perpendicular-from-centerpythagorean-theoremline-symmetry identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

점 $A$ 와 $B$ 는 반지름이 $5$ 인 원 위에 있고 $AB=6$ 이다. 점 $C$ 는 짧은 호 $AB$ 의 중점이다. 선분 $AC$ 의 길이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \sqrt{10}$

(B)

$\ \frac{7}{2}$

(C)

$\ \sqrt{14}$

(D)

$\ \sqrt{15}$

(E)

$\ 4$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 $5$인 원에 길이가 $6$인 현 $AB$를 그었다. 점 $C$는 $A$와 $B$ 사이의 짧은 호의 중점이다. 선분 $AC$의 길이를 구하여라.

주어진 것: 원의 반지름은 $5$이므로 원 위의 모든 점은 중심에서 $5$만큼 떨어져 있다.; $A$와 $B$는 원 위에 있고 현 $AB$의 길이는 $6$이다.; $C$는 짧은(열호) 호 $AB$의 중점이다.

구하는 것: 선분 $AC$의 길이.

이해

문제 재정리: 반지름이 $5$인 원에 길이가 $6$인 현 $AB$를 그었다. 점 $C$는 $A$와 $B$ 사이의 짧은 호의 중점이다. 선분 $AC$의 길이를 구하여라.

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

이 문제는 순수한 원 기하이므로 도구 #1(그림 그리기)이 앞장선다. 중심, 현, 호의 중점을 그려 보면 중심 $O$, 현의 중점 $M$, 그리고 $C$를 한 줄로 세우는 대칭축이 드러난다. 그 축을 그으면 $AC$가 작은 직각삼각형 조각들로 나뉘므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 차례로 처리한다 — 먼저 중심에서 현까지의 거리, 다음으로 짧은 간격 $MC$, 마지막으로 $AC$ 자신이다. 도구 #3(가능성 지우기)이 마무리한다: 답은 $3$보다 살짝 크고, 보기 중 그만큼 작은 것은 하나뿐이다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 8.G.A.1 단계 1

대칭축 그리기

중심을 $O$, 현 $AB$의 중점을 $M$이라 하자.
전체 그림은 $O$와 $M$을 지나는 직선에 대해 대칭이다.
이 직선을 축으로 원을 뒤집으면 $A$와 $B$가 서로 바뀌고 열호가 자기 자신으로 접히므로, 호의 중점 $C$도 이 같은 직선 위에 있어야 하고, 이 직선은 $M$에서 $AB$와 직각으로 만난다.
따라서 $O$, $M$, $C$는 한 직선 위의 세 점이고, $M$은 $AB$를 $AM=MB=3$으로 이등분한다.

$$AM=MB=\tfrac{6}{2}=3$$

💡 호의 중점을 지나는 지름을 축으로 원을 뒤집으면 $A$와 $B$가 맞바뀌므로, 그 지름은 반드시 $C$를 지나고 현을 반으로 가른다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

중심에서 현까지의 거리

삼각형 $OAM$을 보자.
대칭축이 현과 직각으로 만나므로 $M$에서 직각을 이룬다.
변 $OA$는 반지름이므로 $OA=5$이고 $AM=3$이다.
피타고라스 정리로 $OM^2=OA^2-AM^2=25-9=16$이므로 $OM=4$이다.

$$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$$

💡 중심에서 현의 중점으로 그은 선은 현과 수직이므로, 현의 절반과 중심까지의 거리가 직각삼각형의 두 변이 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.6 단계 3

짧은 간격 MC 구하기

한 직선 위의 세 점을 수직선에 놓아 $O$를 $0$에 두자.
$OM=4$이므로 $M$은 $4$에 있다.
점 $C$는 $M$과 같은 쪽에서 원 위에 있으므로 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어 $OC=5$, 즉 $C$는 $5$에 있다.
간격 $MC$는 그 차이일 뿐이다: $MC=OC-OM=5-4=1$.

$$MC=OC-OM=5-4=1$$

💡 $O$, $M$, $C$가 한 직선 위에 있고 $M$이 $O$와 $C$ 사이에 있으므로 거리는 그냥 빼면 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 4

AC 계산하기

이제 삼각형 $AMC$를 쓰자.
$MC$는 대칭축을 따라가고 $AM$은 현을 따라가는데 이 두 방향은 서로 수직이므로 $M$에서 직각을 이룬다.
두 변은 $AM=3$, $MC=1$이므로 $AC^2=AM^2+MC^2=9+1=10$, 즉 $AC=\sqrt{10}$이다.
이것이 보기 (A)이다.

$$AC=\sqrt{AM^2+MC^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$$

💡 $AC$는 현의 절반 $AM$과 짧은 간격 $MC$를 두 변으로 하는 작은 직각삼각형의 빗변이다.

[1] #1 8.G.A.1 중심을 $O$, 현 $AB$의 중점을 $M$이라 하자. 전체 그림은 $O$와 $M$을 지나는 직선에 대해 대칭이다. 이 직선을 축으로 원을 뒤집

[2] #7 8.G.B.7 삼각형 $OAM$을 보자. 대칭축이 현과 직각으로 만나므로 $M$에서 직각을 이룬다. 변 $OA$는 반지름이므로 $OA=5$이고 $AM=3$이다

[3] #7 6.NS.C.6 한 직선 위의 세 점을 수직선에 놓아 $O$를 $0$에 두자. $OM=4$이므로 $M$은 $4$에 있다. 점 $C$는 $M$과 같은 쪽에서 원

[4] #7 8.G.B.7 이제 삼각형 $AMC$를 쓰자. $MC$는 대칭축을 따라가고 $AM$은 현을 따라가는데 이 두 방향은 서로 수직이므로 $M$에서 직각을 이룬다.

검토

합리성 확인: 답 $\sqrt{10}\approx3.16$은 현의 절반 $AM=3$보다 살짝 크다. 이는 정확히 맞는데, $C$가 현에서 $MC=1$만큼만 삐져나오므로 $AC$는 $AM$보다 조금만 길어야 하기 때문이다. 또 지름 $10$보다 훨씬 작으니 한 선분의 길이로 타당하다. 보기 $\sqrt{10}\approx3.16$, $\tfrac{7}{2}=3.5$, $\sqrt{14}\approx3.74$, $\sqrt{15}\approx3.87$, $4$ 중에서 $3$에 이렇게 가까운 것은 $\sqrt{10}$뿐이므로 (A)가 들어맞는다.

대안 접근: 선분 $CM$을 원을 가로질러 반대쪽 점 $D$까지 늘리면 $CD$는 길이 $10$인 지름이고 $MD=CD-MC=9$이다. 두 현 $AB$와 $CD$는 $M$에서 만나므로 교차하는 두 현의 관계 $AM\cdot MB=CM\cdot MD$가 성립한다. 즉 $3\cdot3=CM\cdot 9$이므로 $CM=1$로, 수직선으로 얻은 값과 일치한다. 그러면 다시 $AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.1 Verify experimentally the properties of rotations, reflections, and translations ($M$을 지나는 지름의 반사 대칭을 이용해 $O$, $M$, $C$를 한 직선 위에 놓고 현을 이등분함.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (직각삼각형 $OAM$에서 $OM=4$를, 이어 직각삼각형 $AMC$에서 $AC=\sqrt{10}$을 구함.)
6.NS.C.6 Understand a rational number as a point on the number line ($O$, $M$, $C$를 수직선에 놓아 $MC=OC-OM=5-4=1$을 얻음.)

⭐ 중심을 지나는 대칭축을 그으면 현이 반으로 갈리고, 구하려는 거리가 작은 직각삼각형의 빗변으로 바뀐다.