AMC 10 · 2008 · #11

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

recursive-sequencesystems-of-equationslinear-equations-two-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

실수로 이루어진 어떤 수열이 규칙 uₙ₊₂=2uₙ₊₁+uₙ을 따른다. 각 항은 바로 앞 항의 두 배에 그 앞 항을 더한 값이다. u₃=9, u₆=128일 때 u₅를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 40$

(B)

$\ 53$

(C)

$\ 68$

(D)

$\ 88$

(E)

$\ 104$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

알려진 항 u₃과 알려진 항 u₆ 사이의 빈틈은 숨은 두 항 u₄와 u₅가 채운다. 도구 #4(변수 도입하기)로 이 두 미지항에 이름을 붙여 다룰 수 있게 한다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 점화식을 식으로 바꾼다: 규칙을 한 번 쓰면 u₃,u₄,u₅ 사이의 관계가, 한 번 더 쓰면 u₄,u₅,u₆ 사이의 관계가 나와 두 미지수에 대한 두 식이 생긴다. 이 쌍을 풀면 u₅가 정해진다. 도구 #3(가능성 지우기)은 안전장치다: 답은 반드시 다섯 보기 중 하나여야 하고, 대수 계산은 정확히 그중 하나에 떨어진다.

1STEP 1

숨은 항에 이름 붙이기

u₃=9와 u₆=128 사이에 미지항이 둘 있다. a=u₄, b=u₅라 하자. 구하려는 값은 b이다.

a=u₄, b=u₅

2STEP 2

규칙에서 나오는 첫 번째 식

규칙에 n=3을 넣으면 가장 새 항이 u₅이므로 u₅=2u₄+u₃이고, 새 이름으로는 b=2a+9이다.

u₅=2u₄+u₃ → b=2a+9

3STEP 3

규칙에서 나오는 두 번째 식

이제 n=4를 넣으면 u₆이 가장 새 항이라 u₆=2u₅+u₄이고, u₆=128이므로 128=2b+a가 된다.

u₆=2u₅+u₄ → 128=2b+a

4STEP 4

두 식 풀기

a=(b-9)/2를 128=2b+a에 넣고 양변에 2를 곱하면 256=5b-9이므로 b=53, 보기 (B)이다.

256=5b-9 → 5b=265 → b=53

정답

전체 연결을 확인하자. u₅=53이면 첫 번째 식에서 u₄=(53-9)/2=22이다. 그러면 규칙이 수열을 되짚어 만든다: u₅=2·22+9=53이고 u₆=2·53+22=128로, 주어진 u₆과 정확히 일치한다. 또 항 9,22,53,128은 규칙이 강제하는 대로 대략 세 배씩 커지므로, 22와 128 사이에 있는 53은 크기가 적절하다. 보기 40,53,68,88,104 중에서 규칙이 u₆=128을 재현하게 만드는 것은 53뿐이다.

💡핵심 정리

아는 두 항 사이에 항이 빠져 있으면, 문자로 이름을 붙이고 규칙을 두 번 써서 두 식을 만든 뒤 풀면 된다.

숨은 항에 이름 붙이기
규칙에서 나오는 첫 번째 식
규칙에서 나오는 두 번째 식
두 식 풀기

숨은 항에 이름 붙이기

규칙에서 나오는 첫 번째 식

규칙에서 나오는 두 번째 식

두 식 풀기

비슷한 유형 더 풀어보기