AMC 10 · 2008 · #11

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

recursive-sequencesystems-of-equationslinear-equations-two-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

실수로 이루어진 수열 $(u_n)$ 이 $u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n$ 을 만족하고,

$u_3=9$ 이고 $u_6=128$ 이라고 하자. $u_5$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 40$

(B)

$\ 53$

(C)

$\ 68$

(D)

$\ 88$

(E)

$\ 104$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 수열이 규칙 $u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n$을 따른다: 각 항은 바로 앞 항의 두 배에 그 앞 항을 더한 값이다. $u_3=9$, $u_6=128$일 때 $u_5$를 구하여라.

주어진 것: 규칙 $u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n$이 모든 $n$에 대해 성립한다.; $u_3=9$.; $u_6=128$.

구하는 것: $u_5$의 값.

이해

주어진 것: 규칙 $u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n$이 모든 $n$에 대해 성립한다.; $u_3=9$.; $u_6=128$.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

알려진 항 $u_3$과 알려진 항 $u_6$ 사이의 빈틈은 숨은 두 항 $u_4$와 $u_5$가 채운다. 도구 #4(변수 도입하기)로 이 두 미지항에 이름을 붙여 다룰 수 있게 한다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 점화식을 식으로 바꾼다: 규칙을 한 번 쓰면 $u_3,u_4,u_5$ 사이의 관계가, 한 번 더 쓰면 $u_4,u_5,u_6$ 사이의 관계가 나와 두 미지수에 대한 두 식이 생긴다. 이 쌍을 풀면 $u_5$가 정해진다. 도구 #3(가능성 지우기)은 안전장치다: 답은 반드시 다섯 보기 중 하나여야 하고, 대수 계산은 정확히 그중 하나에 떨어진다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

숨은 항에 이름 붙이기

알려진 항 $u_3=9$와 $u_6=128$ 사이에 미지항 $u_4$와 $u_5$ 두 개가 있다.
짧은 이름을 붙이자: $a=u_4$, $b=u_5$라 하자.
우리가 구하려는 값은 $b$이다.

$$a=u_4,\qquad b=u_5$$

💡 빠진 항을 아직 계산할 수 없으니 문자를 붙여 두고, 규칙이 그 값을 정하게 한다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.8 단계 2

규칙에서 나오는 첫 번째 식

규칙 $u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n$에 $n=3$을 넣는다.
그러면 가장 새 항이 $u_5$가 되어 $u_5=2u_4+u_3$이다.
이름을 대입하면 $b=2a+9$이다.

$$u_5=2u_4+u_3\;\Rightarrow\; b=2a+9$$

💡 규칙에 시작 번호 하나를 넣으면 추상적인 점화식이 두 미지수를 잇는 구체적인 식으로 바뀐다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.8 단계 3

규칙에서 나오는 두 번째 식

같은 규칙에 $n=4$를 넣으면 가장 새 항이 $u_6$이다: $u_6=2u_5+u_4$.
$u_6=128$이므로 이름을 대입하면 $128=2b+a$이다.

$$u_6=2u_5+u_4\;\Rightarrow\; 128=2b+a$$

💡 규칙을 한 칸 앞으로 밀면 알려진 끝값 $u_6$을 쓰게 되어 서로 독립인 두 번째 식이 나온다.

#3 가능성 지우기 8.EE.C.7 단계 4

두 식 풀기

첫 번째 식에서 $a=\tfrac{b-9}{2}$이다.
이를 $128=2b+a$에 넣으면 $128=2b+\tfrac{b-9}{2}$이다.
분수를 없애려고 양변에 $2$를 곱하면 $256=4b+(b-9)=5b-9$이다.
따라서 $5b=265$, $b=53$이다.
$b=u_5$이므로 $u_5=53$, 즉 보기 (B)이다.

$$256=5b-9\;\Rightarrow\; 5b=265\;\Rightarrow\; b=53$$

💡 두 미지수에 대한 두 식은 값 하나를 정해 주며, 한 식을 다른 식에 대입하면 $b$에 대한 일차식 하나로 줄어든다.

[1] #4 6.EE.B.6 알려진 항 $u_3=9$와 $u_6=128$ 사이에 미지항 $u_4$와 $u_5$ 두 개가 있다. 짧은 이름을 붙이자: $a=u_4$, $b=u

[2] #13 8.EE.C.8 규칙 $u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n$에 $n=3$을 넣는다. 그러면 가장 새 항이 $u_5$가 되어 $u_5=2u_4+u_3$이다. 이

[3] #13 8.EE.C.8 같은 규칙에 $n=4$를 넣으면 가장 새 항이 $u_6$이다: $u_6=2u_5+u_4$. $u_6=128$이므로 이름을 대입하면 $128=2b

[4] #3 8.EE.C.7 첫 번째 식에서 $a=\tfrac{b-9}{2}$이다. 이를 $128=2b+a$에 넣으면 $128=2b+\tfrac{b-9}{2}$이다. 분수를

검토

합리성 확인: 전체 연결을 확인하자. $u_5=53$이면 첫 번째 식에서 $u_4=\tfrac{53-9}{2}=22$이다. 그러면 규칙이 수열을 되짚어 만든다: $u_5=2\cdot22+9=53$이고 $u_6=2\cdot53+22=128$로, 주어진 $u_6$과 정확히 일치한다. 또 항 $9,22,53,128$은 규칙이 강제하는 대로 대략 세 배씩 커지므로, $22$와 $128$ 사이에 있는 $53$은 크기가 적절하다. 보기 $40,53,68,88,104$ 중에서 규칙이 $u_6=128$을 재현하게 만드는 것은 $53$뿐이다.

대안 접근: 대입 대신 소거로 풀 수도 있다: $b=2a+9$와 $a+2b=128$을 둔다. 두 번째 식에서 $a=128-2b$를 얻어 첫 번째 식에 넣으면 $b=2(128-2b)+9=265-4b$이므로 $5b=265$, $b=53$이다. $a$를 곧바로 없애 같은 값에 이른다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (점화식을 식으로 쓸 수 있도록 미지의 가운데 두 항 $a=u_4$, $b=u_5$에 이름을 붙임.)
8.EE.C.8 Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations ($n=3$과 $n=4$에서의 점화식을 두 식 $b=2a+9$와 $128=2b+a$로 바꿈.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable (대입으로 연립식을 $256=5b-9$로 줄여 $b=53$을 구함.)

⭐ 아는 두 항 사이에 항이 빠져 있으면, 문자로 이름을 붙이고 규칙을 두 번 써서 두 식을 만든 뒤 풀면 된다.