AMC 10 · 2008 · #14

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

thirty-sixty-ninety-trianglerotation-isometrycoordinate-geometry identify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

삼각형 $OAB$ 는 $O=(0,0)$ , $B=(5,0)$ 이고 $A$ 는 제 $1$ 사분면에 있다. 또한 $\angle ABO=90^\circ$ 이고 $\angle AOB=30^\circ$ 이다. $OA$ 를 $O$ 를 중심으로 반시계 방향으로 $90^\circ$ 회전시킨다고 하자. $A$ 가 옮겨진 점의 좌표는 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \left( - \frac {10}{3}\sqrt {3},5\right)$

(B)

$\ \left( - \frac {5}{3}\sqrt {3},5\right)$

(C)

$\ \left(\sqrt {3},5\right)$

(D)

$\ \left(\frac {5}{3}\sqrt {3},5\right)$

(E)

$\ \left(\frac {10}{3}\sqrt {3},5\right)$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼각형의 꼭짓점이 O=(0,0), B=(5,0)이고 A는 제1사분면에 있다. B에서의 각은 직각이고 O에서의 각은 30도이다. 먼저 A의 좌표를 구한 뒤, 선분 OA를 원점 O를 중심으로 90도 반시계 방향으로 회전시켰을 때 A의 새 좌표를 구하라.

주어진 것: O = (0,0), B = (5,0)이므로 OB는 x축 위에 있고 길이는 5이다; 각 ABO = 90도 (B에서 직각); 각 AOB = 30도 (O에서의 각); A는 제1사분면에 있다; OA를 O를 중심으로 90도 반시계 방향으로 회전시킨다

구하는 것: 회전 후 A의 이미지(상)의 좌표

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #17 공간 상상하기

이 문제는 좌표평면 위에서 일어나므로 그림으로 그려 각 점의 위치를 확정하는 것이 출발점이다. 그러면 문제가 자연스럽게 두 부분으로 나뉜다. 먼저 직각과 30도 각을 이용해 A를 찾고, 그다음 90도 반시계 회전 규칙을 적용한다. 이 회전을 머릿속으로 그려 보면 A가 제2사분면으로 옮겨가는 것을 알 수 있다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

A를 B 바로 위에 세우기

직각은 B에 있고 OB는 x축을 따라 놓여 있다.
B를 지나 x축에 수직인 직선은 세로선이므로 A는 B 바로 위에 있고 x좌표를 B와 공유한다.
따라서 어떤 높이 h > 0에 대해 A = (5, h)로 쓸 수 있다.

$$A = (5,\ h),\quad h > 0$$

💡 가로선에 수직이면 곧게 위로 향하므로 A는 B 바로 위에 쌓인다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 2

세 번째 각 읽기

삼각형 세 각의 합은 180도이다.
B에서 90도, O에서 30도이므로 A에서의 각은 60도이다.
따라서 삼각형 OAB는 변의 길이가 정해진 비율을 따르는 30-60-90 직각삼각형이다.

$$\angle OAB = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$

💡 두 각을 알면 세 번째 각은 저절로 정해지고, 그것이 삼각형의 모양을 알려 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

높이 h 구하기

30-60-90 삼각형에서 빗변은 가장 짧은 변의 두 배이다.
30도 각의 맞은편에 있는 가장 짧은 변 AB는 h와 같고, 빗변 OA는 2h이며, 나머지 변 OB는 5이다.
B에서의 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용한다.

$$OA = 2h,\quad OA^2 = OB^2 + AB^2 \;\Rightarrow\; (2h)^2 = 5^2 + h^2 \;\Rightarrow\; 3h^2 = 25$$

💡 직각이 있으면 피타고라스 정리가 세 변을 하나의 식으로 묶어 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 4

풀어서 A 정하기

3h^2 = 25를 양의 높이에 대해 풀고 분모를 유리화한다.
그러면 제1사분면에 있는 A의 정확한 좌표를 얻는다.

$$h = \sqrt{\tfrac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt3} = \frac{5\sqrt3}{3},\qquad A = \left(5,\ \frac{5\sqrt3}{3}\right)$$

💡 제곱근을 취하면 제곱이 풀리고, 분모의 근호를 없애면 값이 깔끔해진다.

#17 공간 상상하기 8.G.A.3 단계 5

90도 반시계 회전

원점을 중심으로 한 90도 반시계 회전은 임의의 점 (x, y)를 (-y, x)로 보낸다.
이를 A에 적용한다.
그 이미지는 제2사분면에 놓이며, 이는 보기 (B)와 일치한다.

$$(x,y)\mapsto(-y,x):\quad \left(5,\ \tfrac{5\sqrt3}{3}\right)\mapsto\left(-\tfrac{5\sqrt3}{3},\ 5\right)$$

💡 반시계 방향 4분의 1 회전은 두 좌표를 맞바꾸고 새 x좌표의 부호를 뒤집는다.

[1] #1 6.G.A.3 직각은 B에 있고 OB는 x축을 따라 놓여 있다. B를 지나 x축에 수직인 직선은 세로선이므로 A는 B 바로 위에 있고 x좌표를 B와 공유한다.

[2] #7 8.G.A.5 삼각형 세 각의 합은 180도이다. B에서 90도, O에서 30도이므로 A에서의 각은 60도이다. 따라서 삼각형 OAB는 변의 길이가 정해진 비

[3] #7 8.G.B.7 30-60-90 삼각형에서 빗변은 가장 짧은 변의 두 배이다. 30도 각의 맞은편에 있는 가장 짧은 변 AB는 h와 같고, 빗변 OA는 2h이며

[4] #7 8.EE.A.2 3h^2 = 25를 양의 높이에 대해 풀고 분모를 유리화한다. 그러면 제1사분면에 있는 A의 정확한 좌표를 얻는다.

[5] #17 8.G.A.3 원점을 중심으로 한 90도 반시계 회전은 임의의 점 (x, y)를 (-y, x)로 보낸다. 이를 A에 적용한다. 그 이미지는 제2사분면에 놓이며

검토

합리성 확인: 제1사분면의 점(x, y 모두 양수)을 90도 반시계로 회전하면 제2사분면(x 음수, y 양수)에 놓여야 하는데, (-5\sqrt3/3, 5)가 바로 그렇다. 회전은 O로부터의 거리를 보존한다. OA = 2h = 10/\sqrt3 \approx 5.77이고, 이미지도 \sqrt{(5\sqrt3/3)^2 + 5^2} = \sqrt{25/3 + 25} \approx 5.77을 만족한다. x가 음수이고 y = 5인 보기는 (A)와 (B)뿐이며, 크기 확인으로 (A)가 아닌 (B)가 선택된다.

대안 접근: 극좌표로 생각할 수 있다. A는 x축과 arctan((5\sqrt3/3)/5) = 30도의 각을 이루고 반지름은 r = 10/\sqrt3이다. 회전하면 90도가 더해져 같은 반지름에서 각이 120도가 된다: (r\cos120^\circ, r\sin120^\circ) = (-5\sqrt3/3, 5)로 같은 결과를 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.3 좌표평면에서 꼭짓점 좌표가 주어진 다각형 그리기 (O, B, A를 좌표평면에 놓고 세로 변에서 A의 x좌표를 읽어 내기)
8.G.A.5 각의 합과 외각에 관한 사실을 비형식적 논증으로 세우기 (180도 각의 합으로 60도 각을 구하고 30-60-90 삼각형으로 분류하기)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 미지의 변 길이 구하기 (OB, AB, 빗변 OA를 연결해 A의 높이를 구하기)
8.EE.A.2 제곱근과 세제곱근 기호로 해를 나타내기 (3h^2 = 25를 풀고 제곱근을 5\sqrt3/3으로 정리하기)
8.G.A.3 회전과 반사가 도형에 미치는 효과를 좌표로 기술하기 (90도 반시계 규칙 (x, y)에서 (-y, x)를 적용해 A의 이미지 구하기)

⭐ 원점을 중심으로 점을 90도 반시계로 돌리려면, 두 숫자를 맞바꾸고 새 x좌표의 부호를 뒤집으면 된다: (x, y)가 (-y, x)가 된다.