AMC 10 · 2008 · #14

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

thirty-sixty-ninety-trianglerotation-isometrycoordinate-geometry identify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

삼각형 OAB에서 O = (0,0), B = (5,0)이고 A는 제1사분면에 있다. 또한 각 ABO는 90도이고 각 AOB는 30도이다. 선분 OA를 O를 중심으로 90도 반시계 방향으로 회전시킨다. A가 옮겨진 점의 좌표는 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \left( - \frac {10}{3}\sqrt {3},5\right)$

(B)

$\ \left( - \frac {5}{3}\sqrt {3},5\right)$

(C)

$\ \left(\sqrt {3},5\right)$

(D)

$\ \left(\frac {5}{3}\sqrt {3},5\right)$

(E)

$\ \left(\frac {10}{3}\sqrt {3},5\right)$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 좌표평면 위에서 일어나므로 그림으로 그려 각 점의 위치를 확정하는 것이 출발점이다. 그러면 문제가 자연스럽게 두 부분으로 나뉜다. 먼저 직각과 30도 각을 이용해 A를 찾고, 그다음 90도 반시계 회전 규칙을 적용한다. 이 회전을 머릿속으로 그려 보면 A가 제2사분면으로 옮겨가는 것을 알 수 있다.

1STEP 1

A를 B 바로 위에 세우기

직각이 B에 있고 OB가 x축 위에 있으므로 A는 B 바로 위에 있다. 즉 A = (5, h) (h ＞ 0)이다.

A = (5, h), h ＞ 0

2STEP 2

세 번째 각 읽기

세 각의 합이 180도이므로 A에서의 각은 60도이고, OAB는 30-60-90 직각삼각형이다.

∠ OAB = 180° - 90° - 30° = 60°

3STEP 3

높이 h 구하기

30-60-90 삼각형에서 빗변은 짧은 변의 두 배이므로 AB = h, OA = 2h, OB = 5, 피타고라스로 3h² = 25이다.

OA = 2h, OA² = OB² + AB² → (2h)² = 5² + h² → 3h² = 25

4STEP 4

풀어서 A 정하기

양의 근을 취해 분모를 유리화하면 h = 5√3/3이므로 A = (5, 5√3/3)이다.

h = √(25/3) = 5/√3 = 5√3/3, A = (5, 5√3/3)

5STEP 5

90도 반시계 회전

반시계 90도 회전은 (x, y)를 (-y, x)로 보내므로 A는 제2사분면의 (-5√3/3, 5)로 간다.

(x,y)↦(-y,x): (5, 5√3/3)↦(-5√3/3, 5)

정답

( - 5/3√(3),5)

제1사분면의 점(x, y 모두 양수)을 90도 반시계로 회전하면 제2사분면(x 음수, y 양수)에 놓여야 하는데, (-5√3/3, 5)가 바로 그렇다. 회전은 O로부터의 거리를 보존한다. OA = 2h = 10/√3 ≈ 5.77이고, 이미지도 √((5√3/3)² + 5²) = √(25/3 + 25) ≈ 5.77을 만족한다. x가 음수이고 y = 5인 보기는 (A)와 (B)뿐이며, 크기 확인으로 (A)가 아닌 (B)가 선택된다.

💡핵심 정리

원점을 중심으로 점을 90도 반시계로 돌리려면, 두 숫자를 맞바꾸고 새 x좌표의 부호를 뒤집으면 된다: (x, y)가 (-y, x)가 된다.

A를 B 바로 위에 세우기
세 번째 각 읽기
높이 h 구하기
풀어서 A 정하기
90도 반시계 회전

A를 B 바로 위에 세우기

세 번째 각 읽기

높이 h 구하기

풀어서 A 정하기

90도 반시계 회전

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