AMC 10 · 2008 · #19

학년 8 geometry-3d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

circular-sectorvolume-cylinderthirty-sixty-ninety-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

반지름 4피트, 길이 9피트인 원기둥이 옆으로 눕혀져 있고, 가장 낮은 지점에서 잰 물의 깊이가 2피트이다. 물의 부피를 세제곱피트 단위로 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 24\pi - 36 \sqrt {2}$

(B)

$\ 24\pi - 24 \sqrt {3}$

(C)

$\ 36\pi - 36 \sqrt {3}$

(D)

$\ 36\pi - 24 \sqrt {2}$

(E)

$\ 48\pi - 36 \sqrt {3}$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

탱크는 3차원이지만 도구 #1(그림 그리기)로 단순해진다. 옆으로 누운 원기둥은 길이 방향으로 어디를 잘라도 같은 원 단면이므로, 물은 하나의 평면 모양이 9피트 길이에 걸쳐 늘어난 것이고, 부피는 그 젖은 넓이에 9를 곱한 값이다. 즉 문제는 원의 젖은 부분의 넓이를 구하는 것으로 바뀐다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 수면이라는 현(弦)에 잘려 나온 젖은 영역, 곧 활꼴을 부채꼴에서 삼각형을 뺀 두 도형으로 나눈다. 도구 #4(변수 도입하기)로 빠진 길이와 중심각을 처리한다. 중심에서 수면 현에 수선을 내리면 직각삼각형이 생기고, 피타고라스 정리와 30-60-90 삼각형에서 반현과 120° 각이 나온다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 마무리한다. 넓이의 제곱피트에 길이의 피트를 곱하면 부피의 세제곱피트가 된다.

1STEP 1

탱크를 가로로 자르기

가로 단면은 어디나 같은 원이므로, 부피는 원 하나의 젖은 넓이 곱하기 9이다.

V = A_젖은 × 9

2STEP 2

수면 위치 정하기

중심은 바닥에서 4피트 위에 있으므로, 수면은 중심보다 2피트 아래의 현이고 그 아래 조각이 활꼴이다.

중심에서 수면 현까지 거리 = 4 - 2 = 2

3STEP 3

중심각 구하기

중심에서 현에 내린 수선은 2이고 반현은 $2\sqrt{3}$ 이므로, 30-60-90 삼각형이 되어 중심각은 120°이다.

MA=√(16-4)=2√(3), ∠ AOB = 2 × 60° = 120°

4STEP 4

부채꼴 넓이

120°는 한 바퀴의 삼분의 일이고 원 전체 넓이가 $16\pi$ 이므로, 부채꼴은 $\frac{16\pi}{3}$ 이다.

부채꼴 = 120/360 · π · 4² = 16π/3

5STEP 5

삼각형 넓이

밑변 $4\sqrt{3}$ , 높이 2인 삼각형의 넓이는 $4\sqrt{3}$ 이고, 젖은 활꼴은 $\frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$ 이다.

△ AOB = 1/2 · 4√(3) · 2 = 4√(3); A_젖은=16π/3-4√(3)

6STEP 6

길이를 곱하기

젖은 넓이에 길이 9를 곱하면 부피는 $48\pi - 36\sqrt{3}$ 세제곱피트이고, 보기 (E)이다.

9(16π/3-4√(3)) = 48π - 36√(3)

정답

48π - 36 √(3)

반지름 4인 원에서 물 깊이가 2피트뿐이므로, 단면의 절반보다 적게 채워야 한다. 젖은 넓이 16π/3-4√(3)≈ 16.76-6.93≈ 9.8 제곱피트는 전체 16π≈ 50.3의 절반보다 훨씬 작아 예상과 맞는다. 부피 48π-36√(3)≈ 150.8-62.4≈ 88.4 세제곱피트는 가득 찼을 때의 부피 π · 4² · 9 = 144π≈ 452 세제곱피트보다 훨씬 작아, 절반에 한참 못 미치게 채워진 상태와 일치한다. 이는 보기 (E)와 맞는다.

💡핵심 정리

옆으로 누운 탱크에서 물의 부피는 원의 젖은 조각 — 부채꼴에서 삼각형을 뺀 것 — 을 탱크 길이만큼 늘린 것뿐이다.

탱크를 가로로 자르기
수면 위치 정하기
중심각 구하기
부채꼴 넓이
삼각형 넓이
길이를 곱하기