AMC 10 · 2008 · #19

학년 8 geometry-3d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

circular-sectorvolume-cylinderthirty-sixty-ninety-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

반지름이 $4$ 피트이고 높이가 $9$ 피트인 원기둥 모양의 탱크가 옆으로 눕혀져 있다. 이 탱크에는 물이 깊이 $2$ 피트까지 채워져 있다. 물의 부피는 몇 세제곱피트인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 24\pi - 36 \sqrt {2}$

(B)

$\ 24\pi - 24 \sqrt {3}$

(C)

$\ 36\pi - 36 \sqrt {3}$

(D)

$\ 36\pi - 24 \sqrt {2}$

(E)

$\ 48\pi - 36 \sqrt {3}$

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름 $4$피트, 길이 $9$피트인 원기둥이 옆으로 눕혀져 있고, 가장 낮은 지점에서 잰 물의 깊이가 $2$피트이다. 물의 부피를 세제곱피트 단위로 구하여라.

주어진 것: 탱크는 반지름 $4$피트인 원기둥이며, 옆으로 눕혀져 있다.; 원기둥의 길이(수평 방향 축)는 $9$피트이다.; 물의 깊이는 탱크의 가장 낮은 지점에서 위로 $2$피트이다.

구하는 것: 탱크 안 물의 부피(세제곱피트).

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기, #8 단위 살펴보기

탱크는 3차원이지만 도구 #1(그림 그리기)로 단순해진다. 옆으로 누운 원기둥은 길이 방향으로 어디를 잘라도 같은 원 단면이므로, 물은 하나의 평면 모양이 $9$피트 길이에 걸쳐 늘어난 것이고, 부피는 그 젖은 넓이에 $9$를 곱한 값이다. 즉 문제는 원의 젖은 부분의 넓이를 구하는 것으로 바뀐다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 수면이라는 현(弦)에 잘려 나온 젖은 영역, 곧 활꼴을 부채꼴에서 삼각형을 뺀 두 도형으로 나눈다. 도구 #4(변수 도입하기)로 빠진 길이와 중심각을 처리한다. 중심에서 수면 현에 수선을 내리면 직각삼각형이 생기고, 피타고라스 정리와 30-60-90 삼각형에서 반현과 $120^\circ$ 각이 나온다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 마무리한다. 넓이의 제곱피트에 길이의 피트를 곱하면 부피의 세제곱피트가 된다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 7.G.B.6 단계 1

탱크를 가로로 자르기

탱크는 옆으로 누운 원기둥이므로 가로로 자른 단면은 어디서나 같은 원이고, 물은 $9$피트 길이 전체에 걸쳐 같은 모양을 이룬다.
따라서 물의 부피는 원 단면 하나의 젖은 부분 넓이에 길이 $9$를 곱한 값과 같다.
복잡한 3차원 문제가 평면 넓이 문제로 바뀐다.

$$V = A_{\text{젖은}} \times 9$$

💡 원기둥은 같은 단면이 반복된 것이므로, 부피는 단면 하나의 넓이를 길이만큼 늘린 것이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

수면 위치 정하기

반지름 $4$인 원 단면을 그린다.
그 중심은 탱크의 가장 낮은 지점보다 $4$피트 위에 있다.
물이 $2$피트 깊이이므로, 수면은 중심보다 $4-2=2$피트 아래에 있는 수평인 현이다.
젖은 영역은 그 현 아래쪽에 있는 원의 작은 조각이다.
현에 잘려 나온 조각은 활꼴이고, 그 넓이는 중심에서 나온 부채꼴에서 중심과 현 사이의 삼각형을 뺀 것이다.

$$\text{중심에서 수면 현까지 거리} = 4 - 2 = 2$$

💡 평평한 수면은 하나의 현이고, 그 아래 조각은 부채꼴에서 위쪽 삼각형을 뺀 모양이다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.7 단계 3

중심각 구하기

중심을 $O$, 수면 현의 중점을 $M$이라 하면, 선분 $OM$의 길이는 $2$(앞에서 구한 거리)이고 현과 직각으로 만난다.
현의 두 끝점을 $A$, $B$라 하면 $OA=OB=4$는 반지름이다.
피타고라스 정리로 반현은 $MA=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$이다.
직각삼각형 $OMA$의 세 변은 $2$, $2\sqrt{3}$, $4$로 30-60-90 삼각형의 $1:\sqrt{3}:2$ 비율이므로, $O$에서의 각은 $60^\circ$이다.
대칭에 의해 현 전체에 대한 중심각은 $\angle AOB = 2\times 60^\circ = 120^\circ$이다.

$$MA=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3},\quad \angle AOB = 2\times 60^\circ = 120^\circ$$

💡 중심에서 내린 수선이 현을 똑같은 두 직각삼각형으로 나누고, 그 변의 비가 30-60-90 모양을 드러낸다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

부채꼴 넓이

부채꼴은 중심 $O$에서 아래쪽 호까지 뻗은 조각으로, 중심각 $120^\circ$를 차지한다.
$120^\circ$는 한 바퀴의 $\frac{120}{360}=\frac{1}{3}$이므로, 부채꼴은 원 전체의 삼분의 일이다.
원 전체의 넓이는 $\pi r^2 = \pi\cdot 4^2 = 16\pi$이므로, 부채꼴 넓이는 $\frac{1}{3}\cdot 16\pi = \frac{16\pi}{3}$이다.

$$\text{부채꼴} = \frac{120}{360}\cdot \pi\cdot 4^2 = \frac{16\pi}{3}$$

💡 $120^\circ$ 조각은 정확히 원의 삼분의 일이므로, 원 넓이의 삼분의 일을 취한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

삼각형 넓이

삼각형 $AOB$는 수면 현 전체를 밑변으로, 중심 $O$를 꼭짓점으로 한다.
밑변은 현 전체 $AB = 2\times MA = 4\sqrt{3}$이고, $O$에서 현까지 수직으로 잰 높이는 $OM = 2$이다.
따라서 넓이는 $\frac{1}{2}\times \text{밑변}\times \text{높이} = \frac{1}{2}\times 4\sqrt{3}\times 2 = 4\sqrt{3}$이다.
젖은 활꼴은 부채꼴에서 이 삼각형을 뺀 것이다: $\frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$.

$$\triangle AOB = \tfrac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 2 = 4\sqrt{3};\quad A_{\text{젖은}}=\frac{16\pi}{3}-4\sqrt{3}$$

💡 밑변 곱하기 높이를 반으로 나누면 삼각형이 되고, 그것을 부채꼴에서 빼면 물 조각만 남는다.

#8 단위 살펴보기 7.G.B.6 단계 6

길이를 곱하기

젖은 단면의 넓이는 $\frac{16\pi}{3}-4\sqrt{3}$ 제곱피트이다.
여기에 탱크의 길이 $9$피트를 곱해 부피를 얻는다: $9\left(\frac{16\pi}{3}-4\sqrt{3}\right) = \frac{9\cdot 16\pi}{3} - 9\cdot 4\sqrt{3} = 48\pi - 36\sqrt{3}$ 세제곱피트.
이는 보기 $(E)$와 일치한다.

$$9\left(\frac{16\pi}{3}-4\sqrt{3}\right) = 48\pi - 36\sqrt{3}$$

💡 넓이의 제곱피트에 길이의 피트를 곱하면 부피의 세제곱피트가 된다.

[1] #1 7.G.B.6 탱크는 옆으로 누운 원기둥이므로 가로로 자른 단면은 어디서나 같은 원이고, 물은 $9$피트 길이 전체에 걸쳐 같은 모양을 이룬다. 따라서 물의

[2] #7 7.G.B.4 반지름 $4$인 원 단면을 그린다. 그 중심은 탱크의 가장 낮은 지점보다 $4$피트 위에 있다. 물이 $2$피트 깊이이므로, 수면은 중심보다 $

[3] #4 8.G.B.7 중심을 $O$, 수면 현의 중점을 $M$이라 하면, 선분 $OM$의 길이는 $2$(앞에서 구한 거리)이고 현과 직각으로 만난다. 현의 두 끝점을

[4] #7 7.G.B.4 부채꼴은 중심 $O$에서 아래쪽 호까지 뻗은 조각으로, 중심각 $120^\circ$를 차지한다. $120^\circ$는 한 바퀴의 $\frac{

[5] #7 6.G.A.1 삼각형 $AOB$는 수면 현 전체를 밑변으로, 중심 $O$를 꼭짓점으로 한다. 밑변은 현 전체 $AB = 2\times MA = 4\sqrt{3

[6] #8 7.G.B.6 젖은 단면의 넓이는 $\frac{16\pi}{3}-4\sqrt{3}$ 제곱피트이다. 여기에 탱크의 길이 $9$피트를 곱해 부피를 얻는다: $9\

검토

합리성 확인: 반지름 $4$인 원에서 물 깊이가 $2$피트뿐이므로, 단면의 절반보다 적게 채워야 한다. 젖은 넓이 $\frac{16\pi}{3}-4\sqrt{3}\approx 16.76-6.93\approx 9.8$ 제곱피트는 전체 $16\pi\approx 50.3$의 절반보다 훨씬 작아 예상과 맞는다. 부피 $48\pi-36\sqrt{3}\approx 150.8-62.4\approx 88.4$ 세제곱피트는 가득 찼을 때의 부피 $\pi\cdot 4^2\cdot 9 = 144\pi\approx 452$ 세제곱피트보다 훨씬 작아, 절반에 한참 못 미치게 채워진 상태와 일치한다. 이는 보기 $(E)$와 맞는다.

대안 접근: 표준 활꼴 넓이 공식을 바로 쓸 수도 있다. 반지름 $r=4$이고 현이 중심에서 거리 $d=2$일 때 활꼴 넓이는 $r^2\cos^{-1}\!\left(\frac{d}{r}\right) - d\sqrt{r^2-d^2} = 16\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) - 2\sqrt{12} = 16\cdot\frac{\pi}{3} - 4\sqrt{3} = \frac{16\pi}{3}-4\sqrt{3}$로 같은 젖은 넓이가 나온다. 길이 $9$를 곱하면 다시 $48\pi-36\sqrt{3}$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.6 Solve real-world problems involving area, surface area, and volume (원기둥을 (젖은 단면 넓이) 곱하기 길이로 바꾸고, 최종 부피 $48\pi-36\sqrt{3}$를 계산하는 데 사용.)
7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (원 전체 넓이 $16\pi$를 구하고 $120^\circ$ 부채꼴을 그 삼분의 일로 취하는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (반현 $2\sqrt{3}$을 구하고 $120^\circ$ 중심각을 주는 30-60-90 삼각형을 알아내는 데 사용.)
6.G.A.1 Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (부채꼴에서 빼낼 중심-현 삼각형의 넓이 $4\sqrt{3}$를 계산하는 데 사용.)

⭐ 옆으로 누운 탱크에서 물의 부피는 원의 젖은 조각 — 부채꼴에서 삼각형을 뺀 것 — 을 탱크 길이만큼 늘린 것뿐이다.